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第一部分 专题六 第三讲 定点、定值、存在性问题A组1平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是( A )A直线B椭圆C圆D双曲线解析设C(x，y)，因为12，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即解得又121，所以1，即x2y5，所以点C的轨迹为直线故选A2过双曲线x21的右支上一点P，分别向圆C1：(x4)2y24和圆C2：(x4)2y21作切线，切点分别为M，N，则|PM|2|PN|2的最小值为( B )A10 B13 C16 D19解析由题意可知，|PM|2|PN|2(|PC1|24)(|PC2|21)，因此|PM|2|PN|2|PC1|2|PC2|23(|PC1|PC2|)(|PC1|PC2|)32(|PC1|PC2|)32|C1C2|313.故选B3已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，且|F1F2|2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF1|2|PF2|，则PF1F2面积的最大值是( B )A1 B C D2解析|PF1|4a，|PF2|2a，设F1PF2，cos，S2PF1F2(4a2asin)216a4(1)9(a2)2，当且仅当a2时，等号成立，故SPF1F2的最大值是.故选B4已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线x3y0是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且0，如果抛物线y216x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么|( B )A21 B14 C7 D0解析设双曲线方程为1(a0，b0)，直线x3y0是双曲线M的一条渐近线，又抛物线的准线为x4，c4又a2b2c2.由得a3.设点P为双曲线右支上一点，由双曲线定义得6又0，在RtPF1F2中|2|282联立，解得|14.5已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k的值为( D )A B C D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x10，x20，|FA|x12，|FB|x22，x122x24，x12x22.由，得k2x2(4k28)x4k20，x1x24，x1x24.由，得xx220，x21，x14，45，k2，k.6已知斜率为的直线l与抛物线y22px(p0)交于位于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1k2的取值范围是(2，).解析设直线l：x2yt，联立抛物线方程消去x得y22p(2yt)y24py2pt0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，16p28pt0t2p，y1y24p，y1y22pt0t0，即2pt0.x1x2(2y1t)(2y2t)4y1y22t(y1y2)t24(2pt)2t4pt2t2，k1k2.2pt2，即k1k2的取值范围是(2，)7已知F1，F2分别是双曲线3x2y23a2(a0)的左、右焦点，P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若|PF1|PF2|12，则抛物线的准线方程为x2.解析将双曲线方程化为标准方程得1，抛物线的准线为x2a，联立x3a，即点P的横坐标为3a.而由|PF2|6a，又易知F2为抛物线的焦点，|PF2|3a2a6a，得a1，抛物线的准线方程为x2.8设抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tanAMB2，则|AB|8.解析依题意作出图象如图所示，设l：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，y24my40，y1y24m，y1y24，x1x21，x1x2m(y1y2)24m22.tanAMBtan(AMFBMF)，2，2，y1y24m2，44m2，m21，|AB|AF|BF|x11x214m248.9(2018抚州一模)已知动圆C与圆x2y22x0外切，与圆x2y22x240内切(1)试求动圆圆心C的轨迹方程；(2)过定点P(0,2)且斜率为k(k0)的直线l与(1)中轨迹交于不同的两点M，N，试判断在x轴上是否存在点A(m,0)，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的范围；若不存在，请说明理由解析(1)由x2y22x0得(x1)2y21，由x2y22x240得(x1)2y225，设动圆C的半径为R，两圆的圆心分别为F1(1,0)，F2(1,0)，则|CF1|R1，|CF2|5R，所以|CF1|CF2|6，根据椭圆的定义可知，点C的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，所以c1，a3，所以b2a2c2918，所以动圆圆心C的轨迹方程为1.(2)存在直线l的方程为ykx2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为E(x0，y0)假设存在点A(m,0)，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，则AEMN，由得(89k2)x236kx360，x1x2，所以x0，y0kx02，因为AEMN，所以kAE，即，所以m，当k0时，9k212，所以m0；当k0时，9k12，所以0b0)经过点A(0，1)，且离心率为.()求椭圆E的方程；()经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解析()由题意知，b1，结合a2b2c2，解得a，所以，椭圆的方程为y21.()证明：由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2.从而直线AP与AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.2设点P是曲线C：x22py(p0)上的动点，点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为.(1)求曲线C的方程；(2)若点P的横坐标为1，过P作斜率为k(k0)的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解析(1)依题意知1，解得p.所以曲线C的方程为x2y.(2)由题意直线PQ的方程为：yk(x1)1，则点M(1，0)联立方程组，消去y得x2kxk10，得Q(k1，(k1)2)所以得直线QN的方程为y(k1)2(xk1)代入曲线方程yx2中，得x2x1(1k)20.解得N(1k，(1k)2)所以直线MN的斜率kMN.过点N的切线的斜率k2(1k)由题意有2(1k)解得k.故存在实数k使命题成立
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