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第23练解析几何的综合问题明晰考情1.命题角度：直线与椭圆；定点、定值问题；最值问题.2.题目难度：中高档难度.考点一直线与椭圆方法技巧对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理.(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成xmyb(斜率不为0)的形式.(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或求根公式得到交点的横坐标或纵坐标.(3)一般涉及弦长的问题，要用到弦长公式AB|x1x2|或AB|y1y2|.1.(2018江苏省南京外国语学校检测)已知椭圆E：1(ab0)过点M，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，过点P(0,2)的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，求的取值范围.解(1)由题意得所以a24，b21.所以椭圆E的方程为y21. (2)当直线l的斜率不存在时，A(0,1)，B(0，1)，所以1.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y整理得(14k2)x216kx120，由0，可得4k23，因为x1,2，所以x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)41，所以10.因为x1,2，所以|x1x2|，于是，PQ|x1x2|，点O到直线l的距离d.由SOPQ，得，化简得，k42k210，解得k1，且满足0，即k1符合题意.因此，所求直线的方程为xy20或xy20.考点二定点、定值问题方法技巧(1)定点问题的常见解法假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点.从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意.(2)定值问题的常见解法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.5.(2018苏州调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，P为椭圆C上位于第一象限内的一点，PA交y轴于点E，PB交x轴于点D.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，求的值；(3)求证：四边形ABDE的面积为定值.(1)解设右焦点F(c,0)，因为椭圆C的离心率为，所以，又因为右焦点F到右准线的距离为，所以c，由得，a2，c，b1，所以椭圆C的标准方程是y21.(2)解因为，所以E，直线AE的方程为y(x2)，由得x2(x2)24，解得x2(舍)或x，故P，直线PB的方程为yx1，令y0，得D，所以.(3)证明设P(x0，y0)(x00，y00)，则y1，即x4y4.直线AP的方程为y(x2)，令x0，得y.直线BP的方程为y1x，令y0，得x.所以四边形ABDE的面积S2.所以四边形ABDE的面积为定值.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：1(ab0)的左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点.当直线PQ的斜率为时，PQ2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论.解(1)设P，因为当直线PQ的斜率为时，PQ2，所以x23，所以x2.所以1.因为e，所以a24，b22.所以椭圆C的标准方程为1.(2)以MN为直径的圆过定点(，0).设P(x0，y0)，则Q(x0，y0)，且1，即x2y4.因为A(2,0)，所以直线PA的方程为y(x2)，所以M，直线QA的方程为y(x2)，所以N.以MN为直径的圆为(x0)(x0)0，即x2y2y0.因为x42y，所以x2y2y20.令y0，解得x，所以以MN为直径的圆过定点(，0).7.已知椭圆C：1的上顶点为A，直线l：ykxm交椭圆于P，Q两点，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2.(1)当m0时，求k1k2的值；(2)当k1k21时，证明：直线l：ykxm过定点.(1)解当m0时，直线l：ykx.代入椭圆C：1，得x22k2x24，解得P，Q.因为A为椭圆的上顶点，所以A(0，)，所以k1，k2，所以k1k2.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线l：ykxm代入椭圆C：1，并整理得(12k2)x24kmx2m240，则16k2m28(m22)(12k2)8(4k2m22)0，因为x1,2，所以x1x2，x1x2.由k1k21知，1，即y1y2(y1y2)2x1x20，所以(kx1m)(kx2m)(kx1mkx2m)x1x220，所以k2x1x2mk(x1x2)m2k(x1x2)2mx1x220，即(k21)k(m)m22m20，所以(k21)(2m24)k(m)(4km)(m22m2)(12k2)0，所以3m22m20，解得m(舍去)或m，所以直线l：ykx.所以直线l过定点.8.在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，右准线l：xm1与x轴的交点为B，BF2m.(1)已知点在椭圆C上，求实数m的值；(2)已知定点A(2,0).若椭圆C上存在点T，使得，求椭圆C的离心率的取值范围；当m1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，若，求证：为定值.(1)解设椭圆C的方程为1(ab0).由题意，得解得所以椭圆方程为1.因为椭圆C过点，所以1，解得m2或m(舍去).所以m2.(2)解设点T(x，y)，由，得(x2)2y22(x1)2y2，即x2y22.由得y2m2m.因此0m2mm，解得1m2.所以椭圆C的离心率e.证明设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x02，y0)，(x12，y1).由，得从而因为y1，所以(y1)21，即22(1)x12(1)210.因为y1，代入得2(1)x132410.由题意知，1且0，故x1，所以x0.同理可得x0.因此，所以6.考点三范围、最值问题方法技巧圆锥曲线的最值和范围问题解题常见思路(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立相关关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围.9.已知椭圆的右焦点F(m,0)，左、右准线分别为l1：xm1，l2：xm1，且l1，l2分别与直线yx相交于A，B两点.(1)若离心率为，求椭圆的方程；(2)当7时，求椭圆离心率的取值范围.解(1)由已知得椭圆的中心在坐标原点，cm，m1，从而a2m(m1)，b2m.由e得bc，从而m1，故a，b1，得椭圆方程为y21.(2)易得A(m1，m1)，B(m1，m1)，从而(2m1，m1)，(1，m1)，故2m1(m1)2m24m27，得0mb0)的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线l交椭圆于B点，点P在y轴上，且BPx轴，9.(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的方程；(2)若点P的坐标为(0，t)，求实数t的取值范围.解(1)由题意得A(0，b)，l的方程为yxb，由P(0,1)，得B(1b,1)，所以(1b,1b)，(0,1b)，由9，即(1b,1b)(0,1b)9，所以(1b)29，即b2，所以B(3,1)，又B在椭圆上，得1，解得a212, 所以椭圆C的方程为1.(2)由A(0，b), P(0，t)，得B(tb，t)，所以(tb，tb)，(0，tb)，因为9，所以(tb)29，因为A点是短轴顶点，所以t0，tb3，则B(3，t)，代入椭圆方程得1，得a2.因为a2b2，所以(3t)2，解得0tb0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.解(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQdPQ|x1x2|.设t，则t0，SOPQ1.当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以当OPQ的面积最大时，l的方程为2yx40.12.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab1)过点P(2,1)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值.解(1)e2，a24b2.又1，a28，b22.故所求椭圆C的方程为1.(2)设l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，得x22mx2m240，判别式164m20，即m20，故PAB面积的最大值为2.例(16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.求的值；求ABQ面积的最大值.审题路线图(1)(2)规范解答评分标准解(1)由题意知1.又，解得a24，b21.所以椭圆C的方程为y21.4分(2)由(1)知椭圆E的方程为1.设P(x0，y0)，(0)，由题意知Q(x0，y0).因为y1，又1，即1，所以2，即2.7分设A(x1，y1)，B(x2，y2).联立可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2，(*)因为x1,2，所以|x1x2|.9分因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S|m|x1x2|2.11分设t，将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.(*)由(*)和(*)可知0t1，因此S22，12分故0S2，当且仅当t1，即m214k2时取得最大值2.14分由知，ABQ的面积为3S，所以ABQ面积的最大值为6.16分构建答题模板第一步求曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程.第二步联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立，得到方程Ax2BxC0，然后研究判别式，利用求根公式求出交点坐标.第三步找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系.第四步建函数：对范围、最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系.第五步得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件.1.(2018江苏省如东高级中学)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的焦点为F1(4,0), F2(4,0)，且经过点P(3,1).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点M在椭圆上，且，求的值.解(1)依题意，设椭圆C的标准方程为1(ab0)，2aPF1PF26，a3，又c4，b2a2c22，椭圆C的标准方程为1.(2)(7，1)(1，1)，点M的坐标为，点M在椭圆上，221，即202470，解得或.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)过点A(2,1)，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：ykxm(k0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且ABAC，求直线l的方程.解(1)由条件知椭圆1(ab0)的离心率为e，所以b2a2c2a2.又点A(2,1)在椭圆1(ab0)上，所以1, 解得所以椭圆的方程为1. (2)将ykxm(k0)代入椭圆方程，得x24(kxm)280，整理得(14k2)x28mkx4m280. (*)因为xB，C，所以xBxC.由线段BC被y轴平分，得xBxC0，因为k0，所以m0.因为当m0时，B，C关于原点对称，设B(x，kx)，C(x，kx)，由方程(*)，得x2，又因为ABAC，A(2,1)，所以(x2)(x2)(kx1)(kx1)5(1k2)x250，所以k.由于k时，直线yx过点A(2,1)，故k不符合题设.所以直线l的方程为x2y0.3.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，直线l：xmy10(mR)过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点D，连结BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD交于点P，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由.解(1)在xmy10中，令y0，则x1，所以F(1,0).由题设，得解得从而b2a2c23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)令m0，则A，B或A，B.当A，B时，P；当A，B时，P，所以满足题意的定直线l2只能是x4.下面证明点P恒在直线x4上.设A(x1，y1)，B(x2，y2).由于PA垂直于y轴，所以点P的纵坐标为y1，从而只要证明P(4，y1)在直线BD上即可.由消去x得(43m2)y26my90.因为144(1m2)0，且y1,2，所以y1y2，y1y2.因为kDBkDP.将式代入上式，得kDBkDP0，所以kDBkDP.所以点P(4，y1)在直线BD上，从而直线l1、直线BD与直线l2：x4三线恒过同一点P，所以存在一条定直线l2：x4，使得点P恒在直线l2上.4.(2018江苏省溧水七校联考)已知椭圆1(ab0)的右焦点F，离心率为，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求FMN面积的最大值.解(1)由题意得c1, ，a，bc1，椭圆的方程为y21.(2)当直线AB，CD有一条斜率不存在时，直线MN即为直线OF，此时直线MN过点P.当直线AB，CD的斜率均存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有M，联立消去y得(12k2)x24k2x2k220，x1,2，则x1x2，即M，将上式中的k换成，同理可得N，若，解得k1，直线MN斜率不存在，此时直线MN过点P.若直线MN的斜率存在，则k1，则kMN，直线MN为y，令y0，得x.综上，直线MN过定点.(3)由(2)可知直线MN过定点P，又直线AB的斜率k0，故SFMNSFPMSFPN，令t|k|2，)，SFMNf(t)，f(t)在2，)上单调递减，当t2时，f(t)取得最大值，即SFMN取得最大值，此时k1.
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