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第25练数列的综合问题明晰考情1.命题角度：等差数列与等比数列的综合；等差数列、等比数列与其他知识的综合.2.题目难度：数列在高考中一般是压轴题，高档难度.考点一等差数列、等比数列的判定与证明方法技巧判断等差(比)数列的常用方法(1)定义法：若an1and，d为常数，则an为等差(比)数列.(2)中项公式法.(3)通项公式法.1.(2018江苏省如东高级中学测试)已知各项均为正数的数列an的首项a11, Sn是数列an的前n项和，且满足：anSn1an1Snanan1anan1(0，nN*).(1)若a1，a2，a3成等比数列，求实数的值；(2)若，求证：数列为等差数列；(3)在(2)的条件下，求Sn.(1)解令n1，得a2，令n2，得a2S3a3S2a2a3a2a3，所以a3.由aa1a3，得2，因为0，所以1.(2)证明当时，anSn1an1Snanan1anan1，所以，即，所以数列是以2为首项，公差为的等差数列.(3)解由(2)知2，即，得Sn1an，当n2时，Sn11an1，得，ananan1，即(n1)an(n2)an1，所以(n2)，所以是首项为的常数列，所以an(n2)，代入得Snan1.2.从数列an中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列an的一个子数列，设数列an是一个首项为a1，公差为d(d0)的无穷等差数列(即项数有无限项).(1)若a1，a2，a5成等比数列，求其公比q；(2)若a17d，从数列an中取出第2项，第6项作为一个等比数列的第1项，第2项，试问该数列是否为an的无穷等比子数列，请说明理由.解(1)由题设，得aa1a5，即(a1d)2a1(a14d)，得d22a1d，又d0，于是d2a1，故其公比q3.(2)设等比数列为bm，其公比q，bma2qm18dm1，由题设ana1(n1)d(n6)d.假设数列bm为an的无穷等比子数列，则对任意自然数m(m3)，都存在nN*，使anbm，即(n6)d8dm1，得n8m16，当m5时，n8516N*，与假设矛盾，故该数列不为an的无穷等比子数列.3.已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a1a(a0)，an1rSn(nN*，rR，r1).(1)求数列an的通项公式；(2)若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差数列，试判断：对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2是否成等差数列，并证明你的结论.解(1)由已知an1rSn，可得an2rSn1，两式相减可得an2an1r(Sn1Sn)ran1，即an2(r1)an1，又a2ra1ra，所以当r0时，数列an为：a,0，0，；当r0，r1时，由已知a0，所以an0(nN*)，于是由an2(r1)an1，可得r1(nN*)，a2，a3，an，成等比数列，当n2时，anr(r1)n2a.综上，数列an的通项公式为an(2)对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列，证明如下：当r0时，由(1)知，an对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列，当r0，r1时，Sk2Skak1ak2，Sk1Skak1.若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差数列，则Sk1Sk22Sk，2Sk2ak1ak22Sk，即ak22ak1，由(1)知，a2，a3，am，的公比r12，于是对于任意的mN*，且m2，am12am，从而am24am，am1am22am，即am1，am，am2成等差数列，综上，对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列.4.(2018连云港期末)设an是公差为d(d0)且各项为正数的等差数列，bn是公比为q且各项均为正数的等比数列，cnanbn(nN*).(1)求证：数列是等差数列；(2)若a1b12, c220, c364.求数列an与bn的通项公式；求数列cn的前n项和Sn.(1)证明因为，所以(常数)，由等差数列的定义可知数列是以为公差的等差数列.(2)解因为a1b12, c220, c364，所以因为an的各项为正数，所以则an3n1, bn2n.因为an3n1, bn2n，所以cn(3n1)2n，所以Snci225228232n，2Sn222523(3n4)2n(3n1)2n1，得Sn43(22232n)(3n1)2n143(3n1)2n1412(2n11)(3n1)2n1(3n4)2n18，所以Sn(3n4)2n18.考点二等差数列、等比数列和其他知识的综合方法技巧数列和其他知识的综合问题解题的关键是通过对其他知识的转化得到数列的通项关系式或递推关系式.5.(2018江苏省如东高级中学期中)设数列an的前n项和为Sn，且满足Snn2(nN*).(1)记bn，求数列bn的前n项和Tn；(2)记cn，且数列cn的前n项和为Mn，若不等式Mnk，对任意nN*恒成立，求实数k的最小值.解(1)因为Snn2(nN*)，当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，对n1适用，所以an2n1(nN*)，所以bn22n124n1，所以Tn4n.(2)因为cn，所以Mn0，a11，q2, an2n1(nN*). (2)bn4n1(n1)，Sn(10)(411)(422)4n1(n1)012(n1)(nN*).2.已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明：.(1)解由an13an1，得an13，所以3，所以是等比数列，首项为a1，公比为3，所以an3n1，因此an的通项公式为an(nN*).(2)证明由(1)知，an，所以，因为当n1时，3n123n1，所以，于是1，所以.3.已知数列an满足a1，an1anp3n1nq，nN*，p，qR.(1)若q0，且数列an为等比数列，求p的值；(2)若p1，且a4为数列an的最小项，求q的取值范围.解(1)若q0，则an1anp3n1.设等比数列an的公比为r.若r1，则p0；若r1，则p0，所以r3.此时an1ana1(r1)rn1p3n13n1，所以p1.综上所述，p0或p1.(2)若p1，则an1an3n1qn，nN*，因为a4是数列an的最小项，首先有a3a4且a4a5，得3q.此时，a2a11q0，a3a232q0.记f(n)an1an3n1qn(nN*)，考虑f(n1)f(n)23n1q，当n4时，f(n1)f(n)f(4)0.综上，a1a2a3a4，且a4a5a6a7，满足题意.所以q的取值范围是.4.若数列an中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称an为“等比源数列”.(1)已知在数列an中，a12，an12an1.求an的通项公式；试判断an是否为“等比源数列”，并证明你的结论；(2)已知数列an为等差数列，且a10，anZ(nN*).求证：an为“等比源数列”.(1)解由an12an1，得an112(an1)，且a111，所以数列an1是首项为1，公比为2的等比数列.所以an12n1，所以数列an的通项公式为an2n11.数列an不是“等比源数列”，用反证法证明如下：假设数列an是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(mnk)按一定次序排列构成等比数列.因为an2n11，所以amanak，所以aamak，得(2n11)2(2m11)(2k11)，即22n222n112mk22m12k11，两边同时乘21m，得到22nm12nm12k112km，即22nm12nm12k12km1，又mnk，m，n，kN*，所以2nm11，nm12，k12，km2，所以22nm12nm12k12km必为偶数，不可能为1.所以数列an中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列.综上可得数列an不是“等比源数列”.(2)证明不妨设等差数列an的公差d0.当d0时，等差数列an为非零常数数列，数列an为“等比源数列”.当d0时，因为anZ，则d1，且dZ，所以数列an中必有一项am0.为了使an为“等比源数列”，只需要an中存在第m项，第n项，第k项(mnk)，使得aamak成立.即am(nm)d2amam(km)d，即(nm)2am(nm)dam(km)成立.当namm，k2amamdm时，上式成立.所以an中存在am，an，ak成等比数列.所以数列an为“等比源数列”.
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