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4.3两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式A组基础题组1.若sin2=33,则cos =()A.-23B.-13C.13D.23答案C由二倍角公式得cos =1-2sin22=1-213=13,选C. 2.(2019衢州质检)在ABC中,cos A=35,cos B=45,则sin(A-B)=() A.-725B.725C.-925D.925答案B在ABC中,cos A=35,cos B=45,sin A=45,sin B=35,sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=725,故选B.3.(2018温州十校联合体期初)若2,且3cos 2=sin4-,则sin 2的值为()A.-118B.118C.-1718D.1718答案C由3cos 2=sin4-可得3(cos2-sin2)=22(cos -sin ),又由2,可知cos -sin 0,所以3(cos +sin )=22,所以1+2sin cos =118,故sin 2=-1718.故选C.4.已知sin+3+sin =-435,则cos+23=() A.-45B.45C.-35D.35答案Bsin+3+sin =32sin +32cos =3sin+6=-435,sin+6=-45,则cos+23=cos2+6=-sin+6=45.5.已知角,均为锐角,且cos =35,tan(-)=-13,则tan =()A.913B.139C.3D.13答案Ccos =35,为锐角,sin =45,tan =43,tan =tan-(-)=tan-tan(-)1+tantan(-)=3.6.已知sin5-=13,则cos2+35=()A.-79B.-19C.19D.79答案Asin5-=13,cos25-2=1-2sin25-=79,cos2+35=cos-25-2=-cos25-2=-79,故选A.7.(2018宁波诺丁汉大学附中高三期中)若sin(+x)+cos(+x)=12,则sin 2x=,1+tanxsinxcosx-4=.答案-34;-823解析sin(+x)+cos(+x)=-sin x-cos x=12,即sin x+cos x=-12,两边平方得sin2x+2sin xcos x+cos2x=14,即1+sin 2x=14,则sin 2x=-34,故1+tanxsinxcosx-4=1+sinxcosx22sinx(cosx+sinx)=2sinxcosx=22sin2x=22-34=-823.8.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(x+)+b(A0),则A=,b=.答案2;1解析2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=2sin2x+4+1,A=2,b=1.9.已知函数f(x)=3sin xcos x-cos2x-12,xR,则函数f(x)的最小值为,函数f(x)的递增区间为.答案-2;-6+k,3+k,kZ解析f(x)=3sin xcos x-cos2x-12=32sin 2x-1+cos2x2-12=sin2x-6-1,故最小值是-2;令-2+2k2x-62+2k,kZ,得-6+kx3+k,kZ,所以f(x)的递增区间是-6+k,3+k,kZ.10.(2019效实中学月考)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,在平面内将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转60后得到矩形ABCD,则点D到直线AB的距离是.答案12+3解析如图所示,连接BD,BD,过D作DHAB于点H,由题意得,cosABD=25,sinABD=15,sinABD=sin(ABD+DBD)=sinABD+3=1512+2532=5+21510,故点D到直线AB的距离为BDsinABD=55+21510=12+3.11.(2017浙江杭州二模)设函数f(x)=2cos x(cos x+3sin x)(xR).(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)当x0,2时,求函数f(x)的最大值.解析(1)f(x)=2cos x(cos x+3sin x)=2sin2x+6+1.函数y=f(x)的最小正周期为.令2k-22x+62k+2(kZ),得k-3xk+6(kZ),函数y=f(x)的单调递增区间为k-3,k+6(kZ).(2)x0,2,2x+66,76,sin2x+6-12,1,函数f(x)的最大值是3.B组提升题组1.已知3tan2+tan22=1,sin =3sin(2+),则tan(+)=() A.43B.-43C.-23D.-3答案B由3tan2+tan22=1得tan21-tan22=13,所以tan =23,由sin =3sin(2+)得sin(+)-=3sin(+)+,展开并整理得,2sin(+)cos =-4cos(+)sin ,所以tan(+)=-2tan ,由得tan(+)=-43. 2.函数y=sinx-12sinx+512的最大值为()A.12B.14C.1D.22答案Ay=sinx-12sinx+512=sinx-12sin2-12-x=sinx-12cos12-x=12sin2x-612,所以该函数的最大值为12.3.已知锐角,满足sin =cos(+)sin ,则tan 的最大值为()A.1B.24C.23D.34答案Bsin =cos(+)sin sin =(cos cos -sin sin )sin sin (1+sin2)=cos cos sin tan =cossin1+sin2=sin23-cos2(可以看作单位圆上的点(cos 2,sin 2)与点(3,0)连线的斜率的相反数).根据几何意义可得tan 的最大值为24此时tan=22.4.(2017温州中学月考)已知向量a=(sin +cos ,1),b=(1,-2cos ),ab=15,0,2,则sin =,cos =,设函数f(x)=5cos(2x-)+cos 2x(xR),则f(x)取得最大值时的x的值是.答案45;35;k+8,kZ解析由题意知sin +cos -2cos =15,即sin -cos =15,故2sin cos =2425,所以(sin +cos )2=4925,因为0,2,所以sin +cos =75,所以sin =45,cos =35.又f(x)=4sin 2x+4cos 2x=42sin2x+4,故当f(x)取最大值时,2x=2k+4,kZ,即x=k+8,kZ.5.已知函数f(x)=23sin xcos x+2cos2x+3.(1)若A为三角形的一个内角,且f(A)=5,求角A的大小;(2)若f(x)=285,且x6,512,求cos 2x的值.解析(1) 由已知得f(x)=3sin 2x+cos 2x+4=2sin2x+6+4,sin2A+6=12,0A,62A+6136,2A+6=56,A=3.(2)由(1)得sin2x+6=45.x6,512,cos2x+6=-35.故cos 2x=cos2x+6-6=4-3310.6.(2017浙江金华十校联考)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于点A,B,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知SOAM=55,点B的纵坐标是210.(1)求cos(-)的值;(2)求2- 的值.解析(1)由SOAM=55和为锐角,知sin =255,cos =55.又点B的纵坐标是210,sin =210,cos =-7210.cos(-)=cos cos +sin sin =55-7210+255210=-1010.(2)cos 2=2cos2-1=2552-1=-35,sin 2=2sin cos =225555=45,22,.2,2-2,2.sin(2-)=sin 2cos -cos 2sin =-22,2-=-4.
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