（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 考点规范练26 数系的扩充与复数的引入.docx

考点规范练26数系的扩充与复数的引入基础巩固组1.已知复数z=(1+i)(1-ai)是实数,则实数a的值为()A.1B.0C.-1D.1答案A解析z=(1+i)(1-ai)=(1+a)+(1-a)i是实数,1-a=0,即a=1,故选A.2.已知i是虚数单位,则z=i1-2i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析z=i1-2i=i(1+2i)(1-2i)(1+2i)=-2+i5=-25+15i,z=i1-2i在复平面内对应的点为-25,15,位于第二象限,故选B.3.(2017浙江高考样卷)已知复数z=1+ii,其中i为虚数单位,则|z|=()A.12B.22C.2D.2答案C解析由题意得z=1-i,|z|=2,故选C.4.(2017山东高考)已知aR,i是虚数单位,若z=a+3i,zz=4,则a=()A.1或-1B.7或-7C.-3D.3答案A解析由z=a+3i,zz=4得a2+3=4,所以a=1,故选A.5.(2018全国3)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i答案D解析(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.6.设复数z=52-i(其中i为虚数单位),则复数z的实部为,虚部为.答案21解析z=52-i=5(2+i)(2-i)(2+i)=2+i,复数z的实部为2,虚部为1.7.(2017浙江嘉兴一模改编)设复数z=1-i(i是虚数单位),则2z+z等于.答案2解析2z+z=21-i+1-i=2(1+i)(1-i)(1+i)+1-i=1+i+1-i=2.8.已知i为虚数单位,aR,如果复数2i-ai1-i是实数,则a的值为.答案4解析依题意,2i-ai1-i=2i-ai(1+i)(1+i)(1-i)=a+(4-a)i2是实数,因此4-a=0,a=4.能力提升组9.(2017课标高考)设有下面四个命题p1:若复数z满足1zR,则zR;p2:若复数z满足z2R,则zR;p3:若复数z1,z2满足z1z2R,则z1=z2;p4:若复数zR,则zR.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4答案B解析令z=a+bi(a,bR),则由1z=1a+bi=a-bia2+b2R得b=0,所以zR,故p1正确;当z=i时,因为z2=i2=-1R,而z=iR知,p2不正确;当z1=z2=i时,满足z1z2=-1R,但z1z2,知p3不正确;对于p4,因为实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确,故选B.10.在复平面中,满足等式|z+i|=|4-3i|的复数z所对应点的轨迹是()A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆答案C解析设z=x+yi(x,yR),代入|z+i|=|4-3i|,得|x+(y+1)i|=|4-3i|,即x2+(y+1)2=42+(-3)2,x2+(y+1)2=5.复数z所对应点的轨迹是圆.故选C.11.已知复数z=1+2i1-i,则1+z+z2+z2 019=()A.1+iB.1-iC.iD.0答案D解析z=1+2i1-i=1+2i(1+i)2=i,1+z+z2+z2019=1(1-z2020)1-z=1-i20201-i=1-i45051-i=0.12.已知(z-1+3i)(2-i)=4+3i(其中i是虚数单位,z是z的共轭复数),则z的虚部为()A.1B.-1C.iD.-i答案A解析因为(z-1+3i)(2-i)=4+3i,所以z=4+3i2-i+1-3i=(4+3i)(2+i)5+1-3i=1+2i+1-3i=2-i.所以z=2+i,虚部为1,故选A.13.已知i是虚数单位,若复数z满足41+z=1-i,则复数z在复平面上对应的点的坐标是,zz=.答案(1,2)5解析由41+z=1-i,得z=41-i-1=1+2i,则复数z对应的点为(1,2),zz=|z|2=5.14.(2017浙江丽水质测)若3+bi1-i=a+bi(a,b为实数,i为虚数单位),则a=,b=.答案03解析3+bi1-i=(3+bi)(1+i)2=12(3-b)+(3+b)i=3-b2+3+b2i.a=3-b2,b=3+b2,解得a=0,b=3.15.已知i是虚数单位,aR,复数z1=3-ai,z2=1+2i,若z1z2是纯虚数,则a=.答案-32解析复数z1=3-ai,z2=1+2i,z1z2=(3-ai)(1+2i)=3+2a+(6-a)i是纯虚数,3+2a=0,6-a0,解得a=-32.16.复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点.(1)求DC所对应的复数;(2)这个正方形的第四个顶点对应的复数.解(1)如图,z1,z2,z3分别对应点A,B,C.AB=OB-OA,AB所对应的复数为z2-z1=(-2+i)-(1+2i)=-3-i.在正方形ABCD中,DC=AB,DC所对应的复数为-3-i.(2)DC=OC-OD,OD=OC-DC所对应的复数为z3-(-3-i)=(-1-2i)-(-3-i)=2-i.第四个顶点对应的复数为2-i.17.设复数z满足4z+2z=33+i,=sin -icos .(1)求z的值;(2)求|z-|的取值范围.解(1)设z=a+bi(a,bR),则z=a-bi.代入4z+2z=33+i,得4(a+bi)+2(a-bi)=33+i,即6a+2bi=33+i.a=32,b=12.z=32+12i.(2)|z-|=32+12i-(sin-icos)=32-sin2+12+cos2=2-2sin-6.-1sin-61,02-2sin-64.0|z-|2.