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第12练数列的基本运算及性质明晰考情1.命题角度：考查等差数列、等比数列基本量的计算，考查数列的通项及求和.2.题目难度：中档难度或较难难度考点一等差数列与等比数列要点重组(1)在等差数列中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.(2)若an是等差数列，则也是等差数列(3)在等差数列an中，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等差数列(4)在等比数列中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.(5)在等比数列中，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列(当q1时，n不能为偶数)1(2018全国)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5等于()A12B10C10D12答案B解析设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，得32a1d4a1d，将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.故选B.2已知等差数列an的前n项和为Sn，a91，S180，当Sn取最大值时n的值为()A7B8C9D10答案C解析方法一设公差为d，则a18d1且18a1d0，解得a117，d2，所以Sn17nn(n1)n218n，当n9时，Sn取得最大值，故选C.方法二因为S18180，所以a1a18a9a100，所以a101，即数列an中前9项为正值，从第10项开始为负值，故其前9项之和最大故选C.3已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和，a764，a1a5a320，则S5等于()A31B63C16D127答案A解析设公比为q(q0)，因为a1a5a320，所以aa3200，即(a35)(a34)0，a30，a34，a7a3q464，q2，a11.所以S531，故选A.4设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan1(n1,2，)，若数列bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则6q_.答案9解析由题意知，数列bn有连续四项在集合53，23，19,37,82中，说明an有连续四项在集合54，24，18,36,81中，由于an中连续四项至少有一项为负，q1，an的连续四项为24,36，54,81，q，6q9.考点二数列的通项与求和方法技巧(1)已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解(2)利用an求通项时，要注意检验n1的情况5数列an满足a10，1(n2，nN*)，则a2019等于()A.B.C.D.答案C解析数列an满足a10，1(n2，nN*)，1，数列是首项为1，公差为1的等差数列，1(n1)n，2019，解得a2019.6已知数列an满足a1a2a3an(nN*)，且对任意nN*都有t，则t的取值范围为()A.B.C.D.答案D解析数列an满足a1a2a3an(nN*)，当n1时，a12；当n2时，a1a2a3an1，可得an22n1，n2，当n1时，a12满足上式，数列为等比数列，首项为，公比为.对任意nN*都有t，t的取值范围是.7(2018全国)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.答案63解析Sn2an1，当n2时，Sn12an11，anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)当n1时，a1S12a11，得a11.数列an是首项a11，公比q2的等比数列，Sn12n，S612663.8在已知数列an中，a11，Sn为数列an的前n项和，且当n2时，有1成立，则S2017_.答案解析当n2时，由1，得2(SnSn1)anSnSSnSn1，所以1，又2，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以n1，故Sn，则S2017.考点三数列的综合应用方法技巧(1)以函数为背景的数列问题、可以利用函数的性质等确定数列的通项an、前n项和Sn的关系(2)和不等式有关的数列问题，可以利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性等求最值来解决9已知函数f(x)x2ax的图象在点A(0，f(0)处的切线l与直线2xy20平行，若数列的前n项和为Sn，则S20的值为()A.B.C.D.答案A解析因为f(x)x2ax，所以f(x)2xa，又函数f(x)x2ax的图象在点A(0，f(0)处的切线l与直线2xy20平行，所以f(0)a2，所以f(x)x22x，所以，所以S20.10已知等差数列an的前n项和Snn2bnc，等比数列bn的前n项和Tn3nd，则向量a(c，d)的模为()A1B.C.D无法确定答案A解析由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c0，d1，所以向量a(c，d)的模为1.11设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_答案64解析由已知a1a310，a2a4a1qa3q5，两式相除得，解得q，a18，所以a1a2an8n12(n1)，抛物线f(n)的对称轴为n，又nN*，所以当n3或4时，a1a2an取最大值为2664.12已知函数f(x)3|x5|2|x2|，数列an满足a12，an1f(an)，nN*.若要使数列an成等差数列，则a1的取值集合为_答案解析因为f(x)所以若数列an成等差数列，则当a1为直线yx11与直线yx11的交点的横坐标，即a111时，数列an是以11为首项，11为公差的等差数列；当f(a1)a1，即5a119a1或a111a1，即a1或a1时，数列an是以0为公差的等差数列，因此a1的取值集合为.1在数列an中，a11，a22，当整数n1时，Sn1Sn12(SnS1)都成立，则S15等于()A210B211C224D225答案B解析当n1时，Sn1SnSnSn12，an1an2，n2，an1an2，n2.数列an从第二项开始组成公差为2的等差数列，S15a1(a2a15)114211.2已知数列an满足：an1an(12an1)，a11，数列bn满足：bnanan1，则数列bn的前2017项的和S2017_.答案解析由an1an(12an1)，可得2，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，故1(n1)22n1，所以an.又bnanan1，所以S2017.3已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_答案解析由题意，得a2a12，a3a24，anan12(n1)，n2，累加整理可得ann2n33，n2，当n1时，a133也满足，n1(nN*)由函数f(x)x1(x0)的单调性可知，的最小值为f(5)，f(6)中较小的一个又f(6)，f(5)，min.解题秘籍(1)利用anSnSn1寻找数列的关系，一定要注意n2这个条件(2)数列的最值问题可以利用基本不等式或函数的性质求解，但要考虑最值取到的条件1等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an的前6项和为()A24B3C3D8答案A解析由已知条件可得a11，d0，由aa2a6，可得(12d)2(1d)(15d)，解得d2.所以S66124.2(2017浙江)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析方法一数列an是公差为d的等差数列，S44a16d，S55a110d，S66a115d，S4S610a121d，2S510a120d.若d0，则21d20d，10a121d10a120d，即S4S62S5.若S4S62S5，则10a121d10a120d，即21d20d，d0.“d0”是“S4S62S5”的充要条件故选C.方法二S4S62S5S4S4a5a62(S4a5)a6a5a5da5d0.“d0”是“S4S62S5”的充要条件故选C.3已知数列an满足an1an2，a15，则|a1|a2|a6|等于()A9B15C18D30答案C解析由an1an2可得数列an是等差数列，公差d2，又a15，所以an2n7，所以|a1|a2|a3|a4|a5|a6|53113518.4已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A2B3C4D5答案D解析7，验证知，当n1,2,3,5,11时为整数5在数列an中，已知a1a2an2n1，则aaa等于()A(2n1)2B.C4n1D.答案D解析设Sn为an的前n项和，Sna1a2an2n1，当n2时，Sn12n11，an2n1(2n11)2n1，a4n1，当n1时，a11也符合上式，所以aaa.6设Sn是等比数列an的前n项和，若3，则等于()A2B.C.D1或2答案B解析设S2k，则S43k，由数列an为等比数列(易知数列an的公比q1)，得S2，S4S2，S6S4为等比数列，又S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，故选B.7设an是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()A2XZ3YB4XZ4YC2X3Z7YD8XZ6Y答案D解析根据等差数列的性质X，YX，S3nY，ZS3n成等差数列，S3n3Y3X，又2(S3nY)(YX)(ZS3n)，4Y6XYXZ3Y3X，8XZ6Y.8若数列an满足a11，且对于任意的nN*都有an1ann1，则等于()A.B.C.D.答案D解析由an1ann1，得an1ann1，则a2a111，a3a221，a4a331，anan1(n1)1，n2.以上等式相加，得ana1123(n1)n1，n2，把a11代入上式得，an123(n1)n，n2，2，n2，当n1时，a11也满足，2，nN*，则22.9已知数列an的前m(m4)项是公差为2的等差数列，从第m1项起，am1，am，am1，成公比为2的等比数列若a12，则m_，an的前6项和S6_.答案428解析由题意，得am1a1(m2)d2m6，am2m4，则由2，解得m4，所以数列an的前6项依次为2,0,2,4,8,16，所以S628.10若Sn为数列an的前n项和，且2Snan1an，a14，则数列an的通项公式为an_.答案解析因为2Snan1an，a14，所以n1时，244a2，解得a22.n2时，2Sn1anan1，可得2anan1ananan1，所以an0(舍去)或an1an12.n2时，an1an12，可得数列an的奇数项与偶数项分别为等差数列所以a2k142(k1)2k2，kN*，a2k22(k1)2k，kN*.所以an11对于正项数列an，定义Hn为an的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn，则数列an的通项公式为_答案an(nN*)解析由Hn可得a12a23a3nan，所以a1，a12a23a3(n1)an1(n2)，得nan，所以an，n2.又当n1时，a1也满足上式，所以an，nN*.12已知数列an的前n项和为Sn，Snn22n，bnanan1cos(n1)，数列bn的前n项和为Tn，若Tntn2对nN*恒成立，则实数t的取值范围是_答案(，5解析n1时，a1S13.n2，anSnSn1n22n(n1)22(n1)2n1.n1时也成立，所以an2n1.所以bnanan1cos(n1)(2n1)(2n3)cos(n1)，n为奇数时，cos(n1)1，n为偶数时，cos(n1)1.因此当n为奇数时，Tn355779911(2n1)(2n3)354(7112n1)1542n26n7.因为Tntn2对nN*恒成立，所以2n26n7tn2，t272，所以t2.当n为偶数时，Tn355779911(2n1)(2n3)4(59132n1)2n26n.因为Tntn2对nN*恒成立，所以2n26ntn2，t2，所以t5.综上可得t5.
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