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第24练基本初等函数、函数的应用明晰考情1.命题角度：考查二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；能利用函数解决简单的实际问题.2.题目难度：中档偏难.考点一基本初等函数的图象与性质方法技巧(1)指数函数的图象过定点(0,1)，对数函数的图象过定点(1,0).(2)应用指数函数、对数函数的单调性，要注意底数的范围，底数不同的尽量化成相同的底数.(3)解题时要注意把握函数的图象，利用图象研究函数的性质.1.已知函数f(x)则f(2019)等于()A.2018B.2C.2020D.答案D解析f(2019)f(2018)1f(0)2019f(1)2020212020.2.函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是()答案B解析ya|x|的值域为y|y1，a1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称.因此yloga|x|的大致图象应为选项B.3.已知a，b，c，则()A.bacB.abcC.bcaD.ca，所以ab.因为y在(0，)上为单调递增函数，所以ac，即bac，故选A.4.设函数f(x)则满足f(f(t)2f(t)的t的取值范围是_.答案解析若f(t)1，显然成立，则有或解得t.若f(t)1，由f(f(t)2f(t)，可知f(t)1，所以t1，得t3.综上，实数t的取值范围是.考点二函数与方程方法技巧(1)判断函数零点个数的主要方法解方程f(x)0，直接求零点；利用零点存在性定理；数形结合法：通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.(2)解由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.5.函数f(x)log2x的零点所在的区间为()A.B.C.(1,2) D.(2,3)答案C解析函数f(x)的定义域为(0，)，且函数f(x)在(0，)上为增函数.f(1)log21010，f(1)f(2)0，函数f(x)log2x的零点在区间(1,2)内.6.已知函数f(x)lnx3，若函数yf(x)f(kx2)有两个零点，则实数k的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析因为f(x)lnx3在区间(1,1)上单调递增，且是奇函数，令yf(x)f(kx2)0，则f(x)f(kx2)f(x2k).由函数yf(x)f(kx2)有两个零点，等价于方程x2xk0在区间(1,1)上有两个不相等的实根，令g(x)x2xk，则满足解得k200，得1.12n.两边取对数，得nlg1.12lg2lg1.3，n，n4，从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.10.已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3，若存在f(a)g(b)，则实数b的取值范围为()A.1,3B.(1,3)C.2，2 D.(2，2)答案D解析函数f(x)ex1的值域为(1，)，g(x)x24x3的值域为(，1，若存在f(a)g(b)，则需g(b)1，即b24b31，所以b24b20，解得2b2.11.已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_.答案(1，)解析画出函数yf(x)与yax的图象如图所示，所以a1.12.已知f(x)则f(x)2的解集是_.答案(0,4解析当x0时，f(x)2，即2，可转化为1x2x，得x；当x0时，f(x)2，即2，可转化为，解得0x4.综上可知不等式的解集为(0,4.1.若函数f(x)axkax (a0且a1)在(，)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)loga(xk)的大致图象是()答案B解析由题意得f(0)0，解得k1，a1，所以g(x)loga(x1)为(1，)上的增函数，且g(0)0，故选B.2.如果函数ya2x2ax1(a0且a1)在区间1,1上的最大值是14，则a的值为()A.B.1C.3D.或3答案D解析令axt(t0)，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.当a1时，因为x1,1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去)；当0a1时，因为x1,1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，则ymax2214，解得a(负值舍去).综上知a3或a.3.(2018全国)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A.1,0) B.0，)C.1，) D.1，)答案C解析令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x).在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示.若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象可知，当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，仅有1个交点，不符合题意；当yxa在yx1下方，即a1时，有2个交点，符合题意.综上，a的取值范围为1，).故选C.4.已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是_.答案2,0解析由y|f(x)|的图象知，当x0时，只有当a0时，才能满足|f(x)|ax.当x0时，y|f(x)|x22x|x22x.故由|f(x)|ax，得x22xax.当x0时，不等式为00成立.当x0时，不等式等价于x2a.因为x22，所以a2.综上可知，a2,0.解题秘籍(1)基本初等函数的图象可根据特殊点及函数的性质进行判定.(2)与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质，可使用换元法，解题中要优先考虑函数的定义域.(3)数形结合是解决方程、不等式的重要工具，指数函数、对数函数的底数要讨论.1.设a20.3，b30.2，c70.1，则a，b，c的大小关系为()A.cabB.acbC.abcD.cba答案A解析由已知得a80.1，b90.1，c70.1，构造幂函数yx0.1，根据幂函数yx0.1在区间(0，)上为增函数，得ca0，且a1)满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A.(，2 B.2，)C.2，) D.(，2答案B解析由f(1)，得a2，解得a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，所以f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减.3.函数f(x)lnxex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是()A.B.C.(1，e) D.(e，)答案A解析函数f(x)lnxex在(0，)上单调递增，因此函数f(x)最多只有一个零点.又f20，f(1)e0，函数f(x)lnxex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是.4.函数y(0x3)的值域是()A.(0,1 B.(e3，e C.e3,1 D.1，e答案B解析y(0x3)，当0x3时，3(x1)211，e3e1，即e3ye，函数的值域是(e3，e.5.函数f(x)axloga(x1)在0,1上的最大值和最小值之和为a，则a的值为()A.B.C.2D.4答案B解析当a1时，由aloga21a，得loga21，所以a，与a1矛盾；当0a1时，由1aloga2a，得loga21，所以a.6.已知函数f(x)设mn1，且f(m)f(n)，则mf(m)的最小值为()A.4B.2C.D.2答案D解析当1x1时，f(x)52x，f(0)5；当x1时，f(x)15，f(4)，1m0，b0，c0B.a0，c0C.a0，c0D.a0，b0，c0答案C解析由f(x)及图象可知，xc，c0，则c0；当x0时，f(0)0，所以b0；当f(x)0时，axb0，所以x0，所以a0，故选C.9.已知幂函数f(x)(n22n2)(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，那么n的值为_.答案1解析由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验，只有n1符合题意.10.函数f(x)的定义域为实数集R，f(x)对于任意xR都有f(x2)f，若在区间5,3内函数g(x)f(x)mxm恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是_.答案解析f(x2)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)是以4为周期的函数，若在区间5,3上函数g(x)f(x)mxm恰有三个不同的零点，则f(x)和ym(x1)的图象在5,3上有三个不同的交点，ym(x1)恒过点C(1,0)，画出函数f(x)在5,3上的图象，如图所示，由kAC，kBC，结合图象得m.11.设函数f(x)则函数yf(f(x)1的零点个数为_.答案2解析当x0时，yf(f(x)1f(2x)1log22x1x1，令x10，则x1，显然与x0矛盾，所以当x0时，yf(f(x)1无零点.当x0时，分两种情况：当x1时，log2x0，yf(f(x)1f(log2x)1log2(log2x)1，令log2(log2x)10，得log2x2，解得x4；当0x1时，log2x0，yf(f(x)1f(log2x)11x1，令x10，解得x1.综上，函数yf(f(x)1的零点个数为2.12.函数f(x)的图象与函数g(x)2sinx在区间0,4上的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，则f(y1y2yn)g(x1x2xn)_.答案解析如图，画出函数f(x)和g(x)在0,4上的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y1y2y3y40，x1x2x3x48，所以f(y1y2y3y4)g(x1x2x3x4)f(0)g(8)0.
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