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第2练复数与平面向量明晰考情1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度.考点一复数的概念与四则运算要点重组(1)复数：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i为虚数单位.若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0且b0，则abi为纯虚数.(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR).(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR).(4)复数的模：向量的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|r(r0，rR).(5)复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数.1.(2018全国)等于()A.iB.iC.iD.i答案D解析i.故选D.2.已知a，bR，i是虚数单位.若ai与2bi互为共轭复数，则(abi)2等于()A.54iB.54iC.34iD.34i答案D解析由已知得a2，b1，即abi2i，(abi)2(2i)234i.故选D.3.已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析当ab1时，(abi)2(1i)22i，反过来(abi)2a2b22abi2i，则a2b20,2ab2，解得a1，b1或a1，b1.故“ab1”是“(abi)22i”的充分不必要条件，故选A.4.复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_.答案5解析z(12i)(3i)55i.故z的实部为5.考点二复数的几何意义要点重组(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR).(2)复数zabi(a，bR)平面向量.5.设aR，若(13i)(1ai)R(i是虚数单位)，则a等于()A.3B.3C.D.答案B解析(13i)(1ai)1ai3i3a，(13i)(1ai)R，虚部为0，则a30，a3.6.(2018株洲质检)设复数z满足(1i)zi，则|z|等于()A.B.C.D.2答案A解析由(1i)zi，得zi，|z|.7.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则|z1z2|_.答案2解析由题意知，z12i，z2i，z1z22，|z1z2|2.8.已知复数z，则复数z在复平面内对应的点位于第_象限.答案二解析因为i4nkik(nZ)，且ii2i3i40，所以ii2i3i2019ii2i3i1i1，所以z(1i)i，对应的点为，在第二象限.考点三平面向量的线性运算方法技巧(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减.(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得st，且st1，s，tR.(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.9.(2018全国)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于()A.B.C.D.答案A解析作出示意图如图所示.()().故选A.10.如图，在ABC中，N是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为()A.B.C.1D.3答案B解析，mm.又B，N，P三点共线，m1，m.11.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则等于()A.2B.C.D.答案D解析方法一如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，(1,1).，解得故.方法二以，作为基底，M，N分别为BC，CD的中点，又，因此解得所以.12.若|a|1，|b|，且|a2b|，则向量a与向量b夹角的大小是_.答案解析由|a2b|，得|a|24ab4|b|27，14ab437，ab.cosa，b，又0a，b，a，b.考点四平面向量的数量积方法技巧(1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法.(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法.13.已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若为实数，(ba)c，则的值为()A.B.C.D.答案A解析ba(1,0)(1,2)(1，2)，又c(3,4)，且(ba)c，所以(ba)c0，即3(1)243380，解得.14.(2017全国)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A.2B.C.D.1答案B解析方法一(解析法)建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(1，0)，C(1,0).图设P点的坐标为(x，y)，则P(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，()(x，y)(2x，2y)2(x2y2y)22.当且仅当x0，y时，()取得最小值，最小值为.故选B.方法二(几何法)如图所示，2(D为BC的中点)，则()2.图要使最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2)min2|，问题转化为求|的最大值.又当点P在线段AD上时，|2，|22，()min(2)min2.故选B.15.(2016全国)已知向量，则ABC等于()A.30B.45C.60D.120答案A解析|1，|1，cosABC.又0ABC180，ABC30.16.在平面内，6，动点P，M满足|2，则|2的最大值是_.答案16解析由已知易得ABC是等边三角形且边长为2.设O是ABC的中心，则|2.以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2,0)，B(1，)，C(1，).设P(x，y)，由已知|2，得(x2)2y24.，M，|2，它表示圆(x2)2y24上的点P(x，y)与点D(1，3)的距离的平方的，|max228，|16.1.(2017全国)设有下面四个命题：p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z12；p4：若复数zR，则R.其中的真命题为()A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p4答案B解析设zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R).对于p1，若R，即R，则b0，即zabiaR，所以p1为真命题；对于p2，若z2R，即(abi)2a22abib2R，则ab0.当a0，b0时，zabibiR，所以p2为假命题；对于p3，若z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，则a1b2a2b10.而z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因为a1b2a2b10D/a1a2，b1b2，所以p3为假命题；对于p4，若zR，即abiR，则b0abiaR，所以p4为真命题.故选B.2.在ABC中，有如下命题，其中正确的是_.(填序号)；0；若()()0，则ABC为等腰三角形；若0，则ABC为锐角三角形.答案解析在ABC中，错误；若0，则B是钝角，ABC是钝角三角形，错误.3.已知向量a(1,2)，b(1,1)，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.答案解析ab(1，2)，由a(ab)0，可得.又a与ab不共线，0.故且0.解题秘籍(1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确.(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘以分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到.(3)注意向量夹角的定义和范围.在ABC中，和的夹角为B；向量a，b的夹角为锐角要和ab0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).1.设i是虚数单位，则复数i3等于()A.iB.3iC.iD.3i答案C解析i3ii2ii.故选C.2.已知bi(a，bR)，则ab等于()A.1B.1C.2D.2答案B解析方法一由已知可得a2i(bi)i，即a2ibi1.由复数相等可得所以ab1.方法二2aibi，由复数相等可得解得所以ab1.3.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析1i，由复数的几何意义知，1i在复平面内的对应点为(1,1)，该点位于第二象限，故选B.4.(2018安庆模拟)在ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数和，使得，则等于()A.B.C.2D.2答案B解析因为点D在边BC上，所以存在tR，使得tt.因为M是线段AD的中点，所以()(t1)t.又，所以(t1)，t，所以.5.“复数z在复平面内对应的点在第三象限”是“a0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案D解析由题意得za3i，若z在复平面内对应的点在第三象限，则a0，2，则a等于()A.2B.C.D.1答案B解析2，即a23.又a0，a.8.(2018梧州模拟)在ABC中，AB2，AC3，BC，若向量m满足|m2|3，则|m|的最大值与最小值的和为()A.7B.8C.9D.10答案D解析由AB2，AC3，BC，得BC2AB2AC2，即A为直角.以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,3)，设m的终点坐标为(x，y)，|m2|3，(x4)2(y3)29，故|m|的最大值与最小值分别为圆(x4)2(y3)29上的点到原点距离的最大值和最小值，故最大值为538，最小值为532，即最大值与最小值之和为10，故选D.9.已知z134i，z2ti，且z12是实数，则实数t_.答案解析z2ti，2ti，z12(34i)(ti)3t3i4ti4i2(3t4)(4t3)i.又z12是实数，4t30，即t.10.若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积之比为_.答案解析设AB的中点为D，由53，得3322，即32.故C，M，D三点共线，如图所示，也就是ABM与ABC对于边AB的两高之比为35，则ABM与ABC的面积之比为.11.已知z1i，则z2的共轭复数是_.答案13i解析z1i，z2(1i)22i1i2i13i，z2的共轭复数是13i.12.(2018瓦房店模拟)直线axy20与圆C：x2y24相交于A，B两点，若2，则a_.答案解析圆心到直线的距离是d.又圆的半径是2, 由2，得|cosACB2，解得cosACB，0ACB，ACB，cos，a.
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