2020版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量的线性运算学案（含解析）新人教B版选修2-1.docx

3.1.1空间向量的线性运算学习目标1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.3.掌握数乘向量运算的意义及运算律知识点一空间向量的概念1在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或|.2几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量共线向量或平行向量有向线段所在的直线叫做向量的基线如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量知识点二空间向量的加减运算及运算律1类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算ab，ab.2空间向量加法交换律abba，空间向量加法结合律(ab)ca(bc)知识点三数乘向量运算1实数与向量的积与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作a，其长度和方向规定如下：(1)|a|a|.(2)当0时，a与向量a方向相同；当；若两个非零向量，满足0，则，互为相反向量；的充要条件是A与C重合，B与D重合A1B2C3D4考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案C解析错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小正确，由0，得，所以，互为相反向量错误，的充要条件是|，且，同向但A与C，B与D不一定重合故一共有3个错误命题，正确答案为C.素养评析(1)掌握空间向量的相关概念是正确解答本题的关键(2)准确把握推理的形式和规则，有利于培养学生的合乎逻辑的思维品质.1下列命题中，假命题是()A同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C只有零向量的模等于0D空间中任意两个单位向量必相等答案D2在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，与向量相等的向量共有()A1个B2个C3个D4个答案C解析与相等的向量有，共3个3向量a，b互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是()AabBab为实数0Ca与b方向相同D|a|3答案D解析向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反故D正确4已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则等于()A.B3C3D2答案B解析()23.5在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：()；()；()B1C1；().其中运算的结果为的有_个答案4解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：()；()；()；().所以4个式子的运算结果都是.1一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量2空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.一、选择题1下列命题中为真命题的是()A向量与的长度相等B将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C空间向量就是空间中的一条有向线段D不相等的两个空间向量的模必不相等考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案A解析对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，向量a与向量b不相等，未必它们的模不相等，故选A.2已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则为()A.B.C.D0答案A解析.3如图所示，点D是空间四边形OABC的边BC的中点，a，b，c，则为()A.(ab)cB.(ca)bC.(bc)aDa(bc)答案C解析()a(bc)4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量表达式化简后的结果是()A.B.C.D.答案A解析如图所示，.5.在空间平移ABC到ABC，连接对应顶点，设a，b，c，M是BC的中点，N是BC的中点，如图所示，用向量a，b，c表示向量等于()A.abcB.abcCabD.a答案D解析a.6.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，则下列向量相等的是()A.与B.与C.与D.与答案D解析，|，ABDC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，.7.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()AabcB.abcC.abcDabc答案A解析()c(ab)abc.8P为正六边形ABCDEF所在平面外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则等于()A2B4C6D12答案C解析由O是正六边形ABCDEF的中心，得0，0，0，6.二、填空题9已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|3，|b|2，|c|1，则|abc|_.考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用答案210在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若Ca，Cb，c，则_.答案abc解析如图，()cba.11给出下列几个命题：方向相反的两个向量是相反向量；若|a|b|，则ab或ab；对于任意向量a，b，必有|ab|a|b|.其中正确命题的序号为_考点空间向量的相关概念及其表示方法题点空间向量的定义与模答案解析对于，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错误；对于，若|a|b|，则a与b的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有正确三、解答题12.如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，化简下列表达式(1)；(2)；(3)；(4).解(1).(2).(3).(4)()().13.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)；(2)；(3).解(1).(2)因为M是BB1的中点，所以.又，所以.(3).向量，如图所示14已知正方体ABCDABCD的中心为O，则在下列各结论中正确的共有()与是一对相反向量；与是一对相反向量；与是一对相反向量；与是一对相反相量A1个B2个C3个D4个考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案C解析如图所示，所以()，是一对相反向量；，而，故不是相反向量；同，也是正确的；，是一对相反向量15.如图所示，在正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中(1)化简，并在图中标出表示化简结果的向量；(2)化简，并在图中标出表示化简结果的向量考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算解(1)0.在图中表示如下：(2)0.在图中表示如下：