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22.2双曲线的简单几何性质第一课时双曲线的简单几何性质读教材填要点双曲线的简单几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质焦点(c,0)(0，c)焦距2c2c范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：x轴和y轴，中心：(0,0)顶点(a,0)(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e(1，)渐近线yxyx小问题大思维1你能求出双曲线1的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程吗？提示：由题意得a24，b23，解得a2，b，则c.因此，实轴长2a4，虚轴长2b2.离心率e.渐近线方程为yx.2如何用a，b表示双曲线的离心率？提示： e.3双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？提示：e ，当e越大时，双曲线开口越大，当e越小接近于1时，双曲线开口越小4双曲线1与1的渐近线有什么关系？提示：双曲线1与1的渐近线相同由双曲线的标准方程研究其几何性质 求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程自主解答将9y24x236变形为1，即1，a3，b2，c.因此顶点为A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(，0)，F2(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程yxx.若将“36”改换为“36”呢？解：把方程9y24x236化为标准形式为1，a2，b3，c.顶点为(0，2)，(0,2)，焦点坐标为(0，)，(0，)，实轴长是2a4，虚轴长是2b6，离心率e.渐近线方程为yx.已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2a2b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质1已知双曲线1与1，下列说法正确的是()A两个双曲线有公共顶点B两个双曲线有公共焦点C两个双曲线有公共渐近线D两个双曲线的离心率相等解析：双曲线1的焦点和顶点都在x轴上，而双曲线1的焦点和顶点都在y轴上，因此可排除选项A、B；双曲线1的离心率e1，而双曲线1的离心率e2，因此可排除选项D；易得C正确答案：C2(2017北京高考)若双曲线x21的离心率为，则实数m_.解析：由双曲线的标准方程可知a21，b2m，所以e，解得m2.答案：2由双曲线的几何性质求标准方程 求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)自主解答(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c13，又，所以a5，b12，故其标准方程为1.(2)所求双曲线与双曲线x22y22有公共渐近线，设所求双曲线方程为x22y2.又双曲线过点M(2，2)，则222(2)2，即4.所求双曲线方程为1.(1)待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤是：根据焦点所在的位置设双曲线的标准方程；由已知条件求出待定系数a，b；将求得的系数a，b代入所设方程，即得所求双曲线的标准方程(2)如果已知双曲线的渐近线方程为yx，那么此双曲线方程可设为(0)3根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)已知双曲线的渐近线方程为yx，焦距为10；(2)已知双曲线与曲线1共焦点，与曲线1共渐近线解：(1)当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为1(a0，b0)由渐近线方程为yx，得，2c10.又c2a2b2，得a220，b25，双曲线的标准方程为1；当焦点在y轴上时，可得双曲线的方程为1，所求双曲线的方程为1或1.(2)由1得双曲线的焦点为(0，5)又双曲线1的渐近线为yx，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则：解得b29，a216.所求双曲线方程为1.求双曲线的离心率 过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_自主解答如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2ac)，化简可得离心率e2.答案2求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解，若已知a，b，可利用e 求解(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2c2a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e，转化为关于e的n次方程求解注意求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于a，b，c的不等关系4(1)已知双曲线1(a0，b0)若2，求双曲线的离心率；(2)设点P在双曲线1(a0，b0)的右支上，双曲线两焦点F1，F2，|PF1|4|PF2|，求双曲线离心率的取值范围解：(1)c，e .(2)由双曲线定义得：|PF1|PF2|2a，与已知|PF1|4|PF2|联立解得：|PF1|a，|PF2|a.由|PF1|PF2|F1F2 |得：aa2c，解得10，b0)，依题意，得解得所求双曲线方程为1.法二：由渐近线方程3xy0，可设所求双曲线方程为y2(0)(*)将点P(2，1)的坐标代入(*)，得35，所求的双曲线方程为1.1双曲线1的渐近线方程是()AyxByxCyxDyx解析：由0，得y2x2，即yx.答案：A2双曲线1的离心率是()A.B.C.D.解析：a225，b216，c2a2b241，e.答案：C3已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A.1B.1C.1D.1解析：e，F2(5,0)，c5，a4，b2c2a29，双曲线C的标准方程为1.答案：C4已知双曲线x21(b0)的一条渐近线的方程为y2x，则b_.解析：双曲线x21(b0)的渐近线方程为ybx，比较系数得b2.答案：25已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为_解析：画图可得相似直角三角形，因此有OAAOFF，3，即e3.答案：36求中心在原点，两顶点间距离为6，渐近线为y3x的双曲线的标准方程解：因为两顶点间的距离为6，即2a6，a3.当焦点在x轴上时，则有3，b9.双曲线方程为1.当焦点在y轴上时，则有3，b1.双曲线方程为x21.一、选择题1若双曲线1(a0)的离心率为2，则a等于()A2B.C.D1解析：很明显，双曲线的焦点在x轴上，则离心率e2，解得a1.答案：D2(2017全国卷)若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，)B(，2)C(1，)D(1,2)解析：由题意得双曲线的离心率e.即e21.a1，01，112，1e.答案：C3已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.1B.1C.y21Dx21解析：由双曲线的渐近线yx与圆(x2)2y23相切可知，又解得故所求双曲线的方程为x21.答案：D4设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：设双曲线方程为1(a，b0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB.又渐近线的斜率为，所以由直线垂直关系得1，即b2ac，又c2a2b2，故c2a2ac，两边同除以a2，得方程e2e10，解得e(舍负值)答案：D二、填空题5已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0，则a_.解析：双曲线y21的渐近线为y，已知一条渐近线为xy0，即yx，因为a0，所以，所以a.答案：6已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_解析：法一：双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21.法二：渐近线yx过点(4,2)，而0，b0)由已知条件可得解得双曲线的标准方程为y21.答案：y217已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(，0)，离心率是.故在双曲线中c，e，故a2，b2c2a23，故所求双曲线的方程是1.答案：1.8已知双曲线1的离心率e(，2)，则m的取值范围是_解析：由双曲线方程知a2，b，m0，因为e(，2)，且e21，所以214,13，因此，有13,4m12，所以12m0)，则a4k，由b2c2a29k24得k2，a216k2.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为1或1.(3)由两顶点间的距离是6得2a6，即a3.由两焦点连线被两顶点和中心四等分可得2c4a12，即c6，于是有b2c2a2623227.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为1或1.10.如图所示，已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1与双曲线的交点P满足3，试求双曲线的离心率解：连接PF2，设|F1F2|2c，由3知|PF1|MF1|.又MF1F2为正三角形，|PF1|2cc，PF1F260，由余弦定理可得：|PF2| c.根据双曲线定义有2a|PF2|PF1|c，离心率e.第二课时直线与双曲线的位置关系读教材填要点1直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l：ykxm(m0)双曲线C：1(a0，b0)把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)当b2a2k20，即k时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点(2)当b2a2k20，即k时，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)0直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；0直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；0且x20，点A，B都在双曲线的右支上对于弦长问题，主要是利用弦长公式，而弦长公式的应用，主要是利用根与系数的关系解决另外，在弦的问题中，经常遇到与弦的中点有关的问题，这种问题经常用点差法解决另外，要注意灵活转化，如垂直、相等的问题也可以转化成中点、弦长问题来解决2直线l在双曲线1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l在y轴上的截距m.解：设直线l的方程为y2xm，由得10x212mx3(m22)0.(*)设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得x1x2m，x1x2(m22)|AB|x1x2|4.解得m.由(*)式得24m2240，把m代入上式，得0，符合题意故m的值为.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知直线yax1与双曲线3x2y21交于A，B两点若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值巧思以AB为直径的圆过坐标原点，即OAOB.因此可联立直线与双曲线方程，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则问题可转化为x1x2y1y20求解妙解由消去y，得(3a2)x22ax20.依题意即a且a.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆过原点，OAOB.x1x2y1y20.又y1y2a2x1x2a(x1x2)1，(a21)a10.解得a1且满足，a1.1过双曲线x2y24的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点，则AB的长为()A2B4C8D4解析：双曲线x2y24的焦点为(2，0)，把x2代入并解得y2，|AB|2(2)4.答案：B2过点P(3,0)的直线l与双曲线4x29y236只有一个公共点，则这样的直线l共有()A1条B2条C3条D4条解析：双曲线方程为1，故P(3,0)为双曲线的右顶点，所以过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)答案：C3设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.B.C2D3解析：设双曲线C的方程为1，焦点F(c,0)，将xc代入1可得y2，所以|AB|222a.b22a2，c2a2b23a2，e.答案：B4过双曲线1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|NF2|MN|的值是_解析：|MF2|NF2|MN|MF2|NF2|MF1|NF1|(|MF2|MF1|)(|NF2|NF1|)4a8.答案：85若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是_解析：由得x2(kx2)26.即(1k2)x24kx100有两个不同的正根则得k0，b0)，由题意知c3，a2b29.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，两式作差得.又直线AB的斜率是1，所以4b25a2.代入a2b29得a24，b25，所以双曲线的标准方程是1.答案：B4过双曲线1(a0，b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若2， 则此双曲线的渐近线的斜率是()ABC2D解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程是yx，不妨设过右焦点F(c,0)(c0)的直线l与渐近线yx垂直，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线l的方程为y(xc)，两直线方程联立解得y1；把方程y(xc)与方程yx联立，解得y2，因为2，所以(x2c，y2)2(x1c，y1)，由此得y22y1，故，即2(b2a2)c2a2b2，即ba，故此双曲线的渐近线斜率是.答案：B二、填空题5过双曲线1(a0，b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_解析：由题意知，ac，即a2acc2a2，c2ac2a20，e2e20，解得e2或e1(舍去)答案：26已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线yx1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是_解析：设双曲线方程为1(a0，b0)，依题意c.方程可化为1.由得(72a2)x22a2x8a2a40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2.，解得a22.双曲线的方程为1.答案：17设一个圆的圆心在双曲线1的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O到该圆圆心的距离是_解析：由已知得双曲线的上顶点为A(0,3)，上焦点为F(0，5)，设圆心为P(x0，y0)，则y04.代入双曲线方程得1，所以x，故|PO| .答案：8设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设PF1的中点为M，由|PF2|F1F2|，故F2MPF1，即|F2M|2a，在RtF1F2M中，|F1M|2b，故|PF1|4b，根据双曲线定义得4b2c2a，即2bac，即(2ba)2a2b2，即3b24ab0，即3b4a，又双曲线的渐近线方程是yx，所以yx，即4x3y0.答案：4x3y0三、解答题9设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1交于两个不同的点A，B，求双曲线C的离心率e的取值范围解：由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，可知方程有两组不同的解，消去y，并整理得(1a2)x22a2x2a20，解得0a，且e，故双曲线C的离心率e的取值范围为(，)10已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，且过点P(，1)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线交于两个不同点A，B，且2(O为坐标原点)，求k的取值范围解：(1)由已知e，ca，b2c2a2a2a2a2，即a23b2.又P(，1)在双曲线上，1，b21，a23.故所求双曲线C的方程为y21.(2)联立消去y并整理得：(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C交于不同两点A(x1，y1)和B(x2，y2)得：k22.0.k23.由得k21，故k的取值范围是.
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