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专题能力提升练 十六不等式选讲(30分钟60分)1.设函数f(x)=|2x-a|+5x,其中a0.(1)当a=3时,求不等式f(x)5x+1的解集.(2)若不等式f(x)0的解集为x|x-1,求a的值.【解析】(1)当a=3时,不等式f(x)5x+1,即为|2x-3|+5x5x+1,所以|2x-3|1,解得x2或x1.所以不等式的解集为x|x1或x2.(2)由f(x)0得|2x-a|+5x0,解得xa2,7x-a0或x0,所以不等式的解集为x|x-a3.由题意得-a3=-1,解得a=3.2.(2018全国卷)设函数fx=2x+1+x-1.(1)画出y=fx的图象;(2)当x0,+时, fxax+b,求a+b的最小值.【解析】(1)f(x)=-3x,x-12,x+2,-12x1,3x,x1.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时,f(x)ax+b在0,+)成立,因此a+b的最小值为5.【加固训练】 (2018昆明模拟)已知函数f(x)=ln(|2x+1|-|2x-3|).(1)求不等式f(x)0的解集.(2)当m取何值时,f(x)m恒成立.【解析】(1)由f(x)0有:ln(|2x+1|-|2x-3|)ln 1,所以0|2x+1|-|2x-3|1,即x-12,0-2x-1+2x-31或-12x32,02x+1+2x-31或x32,02x+1-2x+31,解得不等式的解集为x|12x34.(2)由f(x)m恒成立得f(x)maxm即可.由(1)0|2x+1|-|2x-3|得函数f(x)的定义域为12,+,所以有f(x)=ln(4x-2)12xln 4.3.已知实数x,y满足x+y=1.(1)解关于x的不等式|x-2|+|2x+y|5.(2)若x,y0,证明:1x2-11y2-19.【解析】方法一:(1)因为x+y=1,所以|x-2|+|x+1|5,当x2时,原不等式化为2x-15,解得x3,所以2x3;当-1x2时,原不等式化为2-x+x+15,所以-1x2;当x-1时,原不等式化为-2x+15,解得x-2,所以-2x0,y0,所以1x2-11y2-1=(x+y)2-x2x2(x+y)2-y2y2=2xy+y2x22xy+x2y2=2yx+y2x22xy+x2y2=2xy+2yx+522xy2yx+5=9.当且仅当x=y=12时,取“=”.方法二:(1)同方法一;(2)因为x+y=1,且x0,y0,所以1x2-11y2-1=1-x2x21-y2y2=(1+x)(1-x)x2(1+y)(1-y)y2=(1+x)yx2(1+y)xy2=1+x+y+xyxy=2xy+12x+y22+1=9,当且仅当x=y=12时,取“=”.【加固训练】 (2018内江一模)已知函数f(x)=|3x-1|+|x-2|的最小值为m.(1)求m的值.(2)设实数a,b满足2a2+b2=m,证明:2a+b5.【解析】(1)因为f(x)=4x-3,x2,2x+1,13x2,-4x+3,x13所以f(x)在13,+上单调递增,在-,13上单调递减,所以f(x)的最小值为f13=53.(2)由(1)知,2a2+b2=53,因为2aba2+b2,所以(2a+b)2=4a2+b2+4ab4a2+b2+2(a2+b2)=3(2a2+b2)=5,当a=b时取等,所以2a+b5.4.(2018安庆二模)已知f(x)=-x+|2x+1|,不等式f(x)|a|+|b|.【解析】(1)当x-12时,f(x)=-x+2x+1=x+1.由f(x)2,得x1,所以-12x1.当x-12时,f(x)=-x-2x-1=-3x-1.由f(x)-1,所以-1x-12.综上,M=x|-1x1.(2)因为a,bM,所以-1a,b1,即|a|1,|b|0,所以2|ab|+1|a|+|b|.5.(2018南昌二模)已知函数f(x)=-|x-a|+a,g(x)=|2x-1|+|2x+4|.(1)解不等式g(x)6.(2)若对任意的x1R,存在x2R,使得-g(x1)=f(x2)成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)由|2x-1|+|2x+4|6,当x-2时,-2x+1-2x-4-94,即-94x-2;当-2x12时,-2x+1+2x+46,得56,即-2x12;当x12时,2x-1+2x+46,得x34,即12x34;综上,不等式g(x)6的解集是-94,34.(2)对任意的x1R,存在x2R,使得-g(x1)=f(x2)成立,即f(x)的值域包含-g(x)的值域,由f(x)=-|x-a|+a,知f(x)(-,a,由g(x)=|2x-1|+|2x+4|(2x+1)-(2x+4)|=5,且等号能成立,所以-g(x)(-,-5,所以a-5,即a的取值范围为-5,+).6.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=a|x|-1.(1)若不等式g(x-3)-3的解集为2,4,求a的值.(2)当xR,f(x)g(x),求a的取值范围.【解析】方法一:(1)由g(x-3)-3,得a|x-3|-2,因为不等式g(x-3)-3的解集为2,4,所以a0,故不等式可化为|x-3|-2a,解得3+2ax3-2a,所以3+2a=2,3-2a=4,解得a=-2.(2)当x=0时,|x-2|a|x|-1恒成立,所以aR.当x0时,|x-2|a|x|-1可化为a|x-2|+1|x|,设h(x)=|x-2|+1|x|(x0),则h(x)=-3x+1,x0.3x-1,0x2,-1x+1,x2.所以当x=2时,h(x)max=12,所以a12.综上,a的取值范围是-,12.方法二:(1)同方法一.(2)当x=0时,|x-2|a|x|-1恒成立,所以aR.当x0时,f(x)g(x)可化为a|x-2|+1|x|,又|x-2|+1|x|=|x-2|x|+1|x|=21x-12+1x1x-12+1x1x-12-1x=12,当且仅当1x=12且01x12,即x=2时,等号成立,所以a12.综上,a的取值范围是-,12.方法三:(1)同方法一.(2)由f(x)g(x)得|x-2|a|x|-1,当a0时,a|x|-10时,因为函数f(x)=|x-2|的图象经过点(2,0),函数g(x)=a|x|-1的图象过点(0,-1),如图.要使|x-2|a|x|-1恒成立,仅需a0-(-1)2-0,即a12,所以00.(2)若关于x的不等式f(x)2a2-5a的解集为R,求实数a的取值范围.【解析】(1)不等式f(x)+x0可化为|x-1|+x|x+2|,当x-(x+2),解得x-3,即-3x-2;当-2xx+2,解得x-1,即-2xx+2,解得x3,即x3;综上所述,不等式f(x)+x0的解集为-3x3.(2)由不等式f(x)2a2-5a可得|x-1|-|x+2|2a2-5a.因为|x-1|-|x+2|x-1-x-2|=3,所以2a2-5a3,即2a2-5a-30,解得a-12或a3.所以实数a的取值范围是-,-123,+).
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