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2.4.2抛物线的简单几何性质学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题知识点一抛物线的简单几何性质思考观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程y22px(p0)如何确定横坐标x的范围？答案(1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心(2)由抛物线y22px(p0)有所以x0.梳理四种形式的抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标FFFF准线方程xxyy顶点坐标O(0,0)离心率e1通径长2p知识点二直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的个数当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若0，直线与抛物线有一个公共点；若0，b.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x21，bb，由在直线yx3上，即b3，解得b2，联立得解得1已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x4y110上，则此抛物线的方程是()Ay211xBy211xCy222xDy222x考点由抛物线的简单几何性质求方程题点由简单几何性质求抛物线的方程答案C解析在方程2x4y110中，令y0，得x，抛物线的焦点为F，设抛物线方程为y22px(p0)，则，p11，抛物线的方程是y222x，故选C.2已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()AB1CD考点抛物线的简单几何性质题点抛物线性质的综合问题答案C解析因为抛物线C：y22px的准线为x，且点A(2,3)在准线上，故2，解得p4，所以y28x，所以焦点F的坐标为(2,0)，这时直线AF的斜率kAF.3若抛物线y22px(p0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是()A成等差数列B既成等差数列也成等比数列C成等比数列D既不成等比数列也不成等差数列考点抛物线的简单几何性质题点抛物线性质的综合问题答案A解析设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则y2px1，y2px2，y2px3.因为2yyy，所以x1x32x2，即|P1F|P3F|2，所以|P1F|P3F|2|P2F|.4已知过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其他问题答案2解析设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，易知过抛物线y22px(p0)的焦点F，且倾斜角为45的直线的方程为yx，把xy代入y22px，得y22pyp20，y1y22p，y1y2p2.|AB|8，|y1y2|4，(y1y2)24y1y2(4)2，即(2p)24(p2)32.又p0，p2.5已知圆C：x2y26x8y210，抛物线y28x的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m|PC|的最小值为_考点抛物线的定义题点抛物线定义与其他知识结合的应用答案解析圆心C(3，4)，由抛物线的定义知，m|PC|最小时为圆心与抛物线焦点(2,0)间的距离，即.1抛物线的中点弦问题用点差法较简便2轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系3在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化一、选择题1.(2017嘉兴一中期末)已知点A(0,2)，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若，则p的值等于()A.B2C4D8答案B2抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，则p的值为()A2B4C6D8考点由抛物线的简单几何性质求方程题点由简单几何性质求抛物线的方程答案D解析OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径圆的面积为36，圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|，6，p8.3抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是()A.B.C.D3考点直线与抛物线的位置关系题点求距离最小值问题答案A解析设抛物线yx2上一点为(m，m2)，该点到直线4x3y80的距离为，当m时，取得最小值为.4已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，其上的三个点A，B，C的横坐标之比为345，则以|FA|，|FB|，|FC|为边长的三角形()A不存在B必是锐角三角形C必是钝角三角形D必是直角三角形考点抛物线的简单几何性质题点抛物线的简单几何性质应用答案B解析设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，x13k，x24k，x35k(k0)，由抛物线定义，得|FA|3k，|FB|4k，|FC|5k，易知三者能构成三角形，|FC|所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形5等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是()A8p2B4p2C2p2Dp2考点抛物线的简单几何性质题点抛物线的简单几何性质应用答案B解析因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.由方程组得或所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，2p)所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.6(2017牌头中学期中)已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2B3C.D.答案B解析设点A的坐标为(a2，a)，点B的坐标为(b2，b)，直线AB的方程为xtym，与抛物线y2x联立得y2tym0，故abm，由2得a2b2ab2，故ab2或ab1(舍去)，所以m2，所以ABO的面积为m|ab|ab|，AFO的面积等于|a|，所以ABO与AFO的面积之和为23，当且仅当，即|a|时“”成立，故选B.7已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1Bx1Cx2Dx2考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线位置关系的综合应用答案B解析抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，代入y22px消去x，得y22pyp2，即y22pyp20，由根与系数的关系得p2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y24x，准线方程为x1.二、填空题8已知O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4，则点A的坐标是_考点抛物线的简单几何性质题点抛物线性质的综合问题答案(1,2)或(1，2)解析抛物线的焦点为F(1,0)，设A，则，由4，得y02，点A的坐标是(1,2)或(1，2)9(2017嘉兴一中期末)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为_答案10已知在抛物线yx2上存在两个不同的点M，N关于直线ykx对称，则k的取值范围为_考点直线与抛物线位置关系题点直线与抛物线位置关系答案解析设M(x1，x)，N(x2，x)，两点关于直线ykx对称，显然k0时不成立，即x1x2.设MN的中点为P(x0，y0)，则x0，y0k4.又中点P在抛物线yx2内，42，即k2，k或k.三、解答题11(2017嘉兴一中期末)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点解(1)由题意知抛物线焦点坐标为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线y24x，消去x，得y24ty40，16t2160，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x，得y24ty4b0，16t216b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b，x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2.直线l过定点(2,0)若4，则直线l必过一定点(2,0)12已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线截直线x2y10所得的弦长为，求此抛物线的方程考点由抛物线的简单几何性质求方程题点已知弦长求抛物线的方程解设抛物线方程为x2ay(a0)由方程组消去y，得2x2axa0.直线与抛物线有两个交点，(a)242a0，即a0或a8.设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|.|AB|，即a28a480，解得a4或a12，所求抛物线的方程为x24y或x212y.13设抛物线C：y24x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点(1)设l的斜率为2，求|AB|的值；(2)求证：是一个定值考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线的综合问题(1)解依题意得F(1,0)，直线l的方程为y2(x1)设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，整理得x23x10，x1x23，x1x21.方法一|AB|5.方法二|AB|AF|BF|x1x2p325.(2)证明设直线l的方程为xky1，直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去x，整理得y24ky40，y1y24k，y1y24.(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143，是一个定值四、探究与拓展14已知直线l过抛物线y22px(p0)的焦点且与抛物线相交，其中一个交点为(2p,2p)，则其焦点弦的长度为_考点抛物线中过焦点的弦长问题题点求抛物线的焦点弦长答案解析由题意，知直线l过和(2p,2p)，所以直线l：y.设另一交点坐标为(x1，y1)，联立整理得8x217px2p20.由根与系数的关系，得x12p，所以焦点弦的长度为x12pp.15已知抛物线y22x.(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)设点A的坐标为(a,0)，求抛物线上的点到点A的距离的最小值d，并写出df(a)的函数表达式考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线的综合问题解(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则|PA|22y222x2.因为x0，且在此区间上|PA|2随着x的增大而增大，所以当x0时，|PA|min，故距离点A最近的点P的坐标为(0,0)，最短距离是.(2)同(1)求得|PA|2(xa)2y2(xa)22xx(a1)2(2a1)当a10，即a1时，|PA|2a1，解得|PA|min，此时xa1；当a10，即a1时，|PA|a2，解得|PA|min|a|，此时x0.所以df(a)
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