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第十讲点、线、面的位置关系1.已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出四个命题:若=m,n,nm,则;若m,m,则;若m,n,mn,则;若m,n,mn,则.其中正确的命题是()A.B.C.D.2.如图,在三棱锥P-ABC中,不能证明APBC的条件是()A.APPB,APPCB.APPB,BCPBC.平面BPC平面APC,BCPCD.AP平面PBC3.(2018广西南宁模拟)在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱B1B,AD的中点,异面直线BF与D1E所成角的余弦值为()A.147B.57C.105D.2554.在下列四个正方体中,能得出异面直线ABCD的是()5.(2018广东广州调研)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M为CC1的中点,N为线段DD1上靠近D1的三等分点,平面BMN交AA1于点Q,则线段AQ的长为()A.23B.12C.16D.136.如图,直三棱柱ABC-ABC中,ABC是边长为2的等边三角形,AA=4,点E,F,G,H,M分别是边AA,AB,BB,AB,BC的中点,动点P在四边形EFGH内部运动(包括边界),并且始终有MP平面ACCA,则动点P的轨迹长度为()A.2B.2C.23D.47.(2018广西南宁二中、柳州高中联考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,AA1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.8.已知m,n是两条不同的直线,为两个不同的平面,有下列四个命题:若,m,n,则mn;若m,n,mn,则;若m,n,mn,则;若m,n,则mn.其中所有正确命题的序号是.9.如图,ACB=90,DA平面ABC,AEDB交DB于E,AFDC交DC于F,且AD=AB=2,则三棱锥D-AEF体积的最大值为.10.(2018河南洛阳第一次统考)正方形ABCD和等腰直角三角形DCE组成如图所示的梯形,M,N分别是AC,DE的中点,将DCE沿CD折起(点E始终不在平面ABCD内),则下列说法一定正确的是.(写出所有正确说法的序号)MN平面BCE;在折起过程中,一定存在某个位置,使MNAC;MNAE;在折起过程中,一定存在某个位置,使DEAD.11.(2018湖北武汉调研)如图(1),在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,将ADE沿AE折起,得到如图(2)所示的四棱锥D1-ABCE,其中平面D1AE平面ABCE.(1)证明:BE平面D1AE;(2)设F为CD1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使得MF平面D1AE?若存在,求出AMAB的值;若不存在,请说明理由.12.(2018河北唐山五校联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC底面ABCD,ABCD是直角梯形,ABAD,ABCD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.(1)求证:平面EAC平面PBC;(2)若PC=2,求三棱锥C-PAB的高.13.(2018湖南湘东五校联考)如图,在多面体ABCA1B1C1中,四边形ABB1A1是正方形,A1CB是等边三角形,AC=AB=1,B1C1BC,BC=2B1C1.(1)求证:AB1平面A1C1C;(2)求多面体ABCA1B1C1的体积.14.(2018云南昆明调研)如图,在三棱锥P-ABC中,ABC=90,平面PAB平面ABC,PA=PB,点D在PC上,且BD平面PAC.(1)证明:PA平面PBC;(2)若ABBC=26,求三棱锥D-PAB与三棱锥D-ABC的体积比.答案精解精析1.B两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况,不正确;垂直于同一条直线的两个平面平行,正确;当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时,它们所成的二面角为直二面角,故正确;当两个平面相交时,分别与两个平面平行的直线也可能平行,故不正确.2.BA中,因为APPB,APPC,PBPC=P,所以AP平面PBC.又BC平面PBC,所以APBC,故A正确;C中,因为平面BPC平面APC,平面BPC平面APC=PC,BCPC,所以BC平面APC.又AP平面APC,所以APBC,故C正确;D中,由A知D正确;B中条件不能判断出APBC,故选B.3.D如图,过点E作EMAB,交AA1于点M,过M点作MNAD,交DD1于点N,取MN的中点G,连接EG,NE,D1G,所以平面EMN平面ABCD,易知EGBF,所以异面直线BF与D1E所成的角为D1EG(或其补角),不妨设正方体的棱长为2,则GE=5,D1G=2,D1E=3,在D1EG中,cosD1EG=D1E2+GE2-D1G22D1EGE=255,故选D.4.A对于A,作出过AB的平面ABE,如图,可得直线CD与平面ABE垂直,根据线面垂直的性质知,ABCD成立,故A正确;对于B,作出以AB为边的等边三角形ABE,如图,将CD平移至AE,可得CD与AB所成的角等于60,故B不成立;对于C、D,将CD平移至经过点B的侧棱处,可得AB,CD所成的角都是锐角,故C和D均不成立,故选A.5.D如图所示,过点A作AEBM交DD1于点E,则E是DD1的中点,过点N作NTAE交A1A于点T,此时NTBM,所以B,M,N,T四点共面,所以点Q与点T重合,易知AQ=NE=13,故选D.6.D连接MF,FH,MH,易证明MF平面AACC,FH平面AACC,又MF平面MFH,HF平面MFH,MFHF=F,所以平面MFH平面AACC,所以点P的运动轨迹是线段FH,其长度为4,故选D.7.答案210解析如图,连接AD1,B1D1,因为AD1BC1,所以异面直线AB1与BC1所成的角即为B1AD1(或其补角),根据勾股定理易知AD1=5,AB1=10,B1D1=13,所以在B1AD1中,cosB1AD1=5+10-132510=210.故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为210.8.答案解析对于,当两个平面互相垂直时,分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直,因此不正确;易知正确;对于,分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行,因此不正确;对于,由n得,在平面内必存在直线n1平行于直线n,由m,得m,则mn1,又n1n,因此有mn,正确.综上所述,所有正确命题的序号是.9.答案26解析因为DA平面ABC,所以DABC,又BCAC,DAAC=A,所以BC平面ADC,所以BCAF.又AFCD,BCCD=C,所以AF平面DCB,所以AFEF,AFDB.又DBAE,AEAF=A,所以DB平面AEF,所以DE为三棱锥D-AEF的高.因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高,所以AE=2,DE=2,设AF=a,FE=b,则AEF的面积S=12ab12a2+b22=1222=12,所以三棱锥D-AEF的体积V13122=26(当且仅当a=b=1时等号成立).10.答案解析折起后的图形如图所示,取CD的中点O,连接MO,NO,在ACD中,M,O分别是AC,CD的中点,ADBC,MOADBC,同理NOCE,又BCCE=C,MONO=O,平面MON平面BCE,MN平面BCE,故正确;易知MOCD,NOCD,又MONO=O,CD平面MNO,MNCD,若MNAC,又ACCD=C,MN平面ABCD,MNMO,又MO=12AD=12EC=NO,MN不可能垂直于MO,故MNAC不成立,故错误;取CE的中点Q,连接MQ,则在ACE中,M,Q分别是AC,CE的中点,MQAE,由图知MQ与MN不可能始终垂直,故错误;当平面CDE平面ABCD时,平面CDE平面ABCD=CD,ADDC,AD平面ABCD,AD平面CDE,ADDE,故正确.综上所述,正确的说法是.11.解析(1)证明:四边形ABCD为矩形且AD=DE=EC=BC=2,AEB=90,即BEAE,又平面D1AE平面ABCE,平面D1AE平面ABCE=AE,BE平面D1AE.(2)存在,AMAB=14.理由如下:取D1E的中点L,连接FL,AL,FLCE,又ECAB,FLAB,且FL=14AB,又MAB,M,F,L,A四点共面,若MF平面AD1E,则MFAL.四边形AMFL为平行四边形,AM=LF=14AB,AMAB=14.12.解析(1)证明:因为PC平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACPC.因为AB=2,AD=CD=1,所以AC=BC=2,所以AC2+BC2=AB2,故ACBC.又BCPC=C,所以AC平面PBC.因为AC平面EAC,所以平面EAC平面PBC.(2)由PC=2,PCCB,得SPBC=12(2)2=1.由(1)知,AC为三棱锥A-PBC的高.易知RtPCARtPCBRtACB,则PA=AB=PB=2,于是SPAB=1222sin60=3.设三棱锥C-PAB的高为h,则13SPABh=13SPBCAC,即133h=1312,解得h=63,故三棱锥C-PAB的高等于63.13.解析(1)证明:如图,取BC的中点D,连接AD,B1D,C1D,B1C1BC,BC=2B1C1,BDB1C1,BD=B1C1,CD=B1C1,四边形BDC1B1,CDB1C1是平行四边形,C1DB1B,C1D=B1B,CC1B1D,又B1D平面A1C1C,C1C平面A1C1C,B1D平面A1C1C.在正方形ABB1A1中,BB1AA1,BB1=AA1,C1DAA1,C1D=AA1,四边形ADC1A1为平行四边形,ADA1C1.又AD平面A1C1C,A1C1平面A1C1C,AD平面A1C1C,B1DAD=D,平面ADB1平面A1C1C,AB1平面A1C1C.(2)在正方形ABB1A1中,A1B=2,A1BC是等边三角形,A1C=BC=2,AC2+AA12=A1C2,AB2+AC2=BC2,AA1AC,ACAB.又AA1AB,ABAC=A,AA1平面ABC,AA1CD,易得CDAD,又ADAA1=A,CD平面ADC1A1.易知多面体ABCA1B1C1是由直三棱柱ABD-A1B1C1和四棱锥C-ADC1A1组成的,直三棱柱ABD-A1B1C1的体积为1212111=14,四棱锥C-ADC1A1的体积为1322122=16,多面体ABCA1B1C1的体积为14+16=512.14.解析(1)证明:因为BD平面PAC,PA平面PAC,所以BDPA,因为ABC=90,所以CBAB,又平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,所以CB平面PAB,所以CBPA,又BCBD=B,所以PA平面PBC.(2)因为三棱锥D-PAB的体积VD-PAB=VA-PBD=13SPBDPA=16BDPDPA,三棱锥D-ABC的体积VD-ABC=VA-BCD=13SBCDPA=16BDCDPA,所以VD-PABVD-ABC=PDCD.设AB=2,BC=6,因为PA平面PBC,PB平面PBC,所以PAPB,又PA=PB,所以PB=2.在RtPBC中,PC=BC2+PB2=22,又BD平面PAC,PC平面PAC,所以BDPC,所以CD=BC2PC=322,所以PD=22,所以PDCD=13,故三棱锥D-PAB与三棱锥D-ABC的体积比为13.
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