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专题67 取球、比赛与闯关问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考概率统计问题，往往以实际问题为背景，围绕比赛、娱乐“闯关”、取球等设计问题，考查概率、统计、离散型随机变量及其数字特征在实际问题中的应用考查数据处理能力以及分析问题解决问题的能力本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.（一）取球问题在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下：1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同.2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取”3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数.5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解.（二）比赛与闯关问题1、常见的比赛规则（1）局胜制：这种规则的特点为一旦某方获得次胜利即终止比赛.所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到胜.例如：甲，乙两队举行排球比赛，比赛采取5局3胜制，已知甲获胜的概率为，求甲以获胜的概率：解：本题不能认为“四局中甲赢得三局”，从而，因为如果前三局连胜，则结束比赛而不会开始第四局，所以若比分为，则第四局甲获胜，前三局的比分为，所以（2）连胜制：规定某方连胜场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后场连胜且之前没有达到场连胜.例如：甲，乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止.已知甲获胜的概率为，求甲在第5局终止比赛并获胜的概率 解：若第5局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第3,4,5局获胜，且第二局失败（否则若第二局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论胜负不影响获胜结果.所以 （3）比分差距制：规定某方比对方多分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于 （4）“一票否决制”：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰.此类问题要注意若达到第阶段，则意味着前个阶段均能通关2、解答此类题目的技巧：（1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”.例如：表示“第局比赛胜利”，则表示“第局比赛失败”.（2）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用解出所求事件概率.在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件概率【经典例题】例1.【2016高考北京文数】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳（单位：次）63a7560637270a1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛【答案】B【解析】例2.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】C【解析】试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球；A：由于抽到的两个球是红球和黑球的次数是奇数还是偶数无法确定，故无法判定乙盒和丙盒中异色球的大小关系，而抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故选C.例3.【2018届浙江省杭州市第二中学仿真考】已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.例4【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，去除后不放回，直到渠道有两种不同颜色的球时即终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量的数字期望是（ ）A. B. C. D. 【答案】A例5.【2017江苏，23】 已知一个口袋有个白球,个黑球(),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉.123 （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率;（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,是的数学期望,证明:【答案】（1）（2）见解析【解析】解:(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为: .(2)随机变量X的概率分布为: XP随机变量X的期望为：例6. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.（1）求甲在局以内（含局）赢得比赛的概率；（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和期望.【答案】（1）；（2）期望.（2）思路：首先依题意能确定可取的值为，若提前结束比赛，则按（1）的想法，除了最后两场要连胜（或连败），其余各场应“胜负交替”.在每个事件中要分甲获胜和乙获胜两种情况进行讨论解：可取的值为的分布列为：例7. 袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍，每次从袋中摸出一个球，然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束 （1）求摸球四次就停止的事件发生的概率（2）记摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及其期望【答案】（1）；（2）期望.（2）思路：可知可取的值为，当时，摸球是通过完成5次后停止，所以可利用独立重复试验模型计算概率；当时，按照规则有可能摸球提前结束，所以要按摸球的次数（3次，4次，5次）分类讨论后再汇总解：可取的值为 的分布列为：例8. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各任取2个球（1）求取出的4个球中没有红球的概率（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率（3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望【答案】（1）；（2）；（3）【解析】思路：本题这三问的关键在于所取球中红球的个数，考虑红球个数来自于两个盒内拿出红球个数的总和，所以可将红球总数进行分配，从而得到每个盒中出红球的情况，进而计算出概率（1）设事件为“甲盒中取出个红球”，事件为“乙盒中取出个红球”（3）可取的值为 的分布列为：例9.【2016高考山东文数】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：若，则奖励玩具一个； 若，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（I）求小亮获得玩具的概率；（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【答案】（）.（）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【解析】试题分析：用数对表示儿童参加活动先后记录的数，写出基本事件空间与点集一一对应.得到基本事件总数.（）利用列举法，确定事件包含的基本事件，计算即得.（）记“”为事件，“”为事件.确定事件包含的基本事件共有个， 事件包含的基本事件共有个，计算得到，比较即知.（）记“”为事件，“”为事件.则事件包含的基本事件共有个，即所以，则事件包含的基本事件共有个，即所以，因为所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.例10.【2016高考山东理数】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】记事件E：“星队至少猜对3个成语”.由题意， 由事件的独立性与互斥性， ,所以“星队”至少猜对3个成语的概率为. ()由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得 , , , ,.可得随机变量X的分布列为X012346P所以数学期望.【精选精练】1一袋中有6个黑球，4个白球（1）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（3）有放回的依次取出3个球，求取到白球个数的分布列，期望和方差 【答案】（1）（2）（3）分布列见解析，【解析】（2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个黑球，3个白球，取得黑球的概率为解：设事件为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球” 2.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为、，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记成功取法次数为随机变量，求的分布列和数学期望【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】解：（1）设事件为“两只手中所取的球颜色不同”，则为“两只手中所取的球颜色相同”（2）可取的值为左手取球成功的概率右手取球成功的概率 的分布列为3.某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖（1）求分别获得一、二、三等奖的概率；（2）设摸球次数为，求的分布列和数学期望【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】（2）摸球次数可取的值为 的分布列为：4.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球；乙箱子里面装有1个白球，2个黑球；这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏后将球放回原箱）（1）求在一次游戏中 摸出3个白球的概率 获奖的概率（2）求在三次游戏中获奖次数的分布列与期望【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】 设事件为“获奖”（即白球不少于2个） （2）思路：三次游戏可视为独立重复试验，所以获奖次数服从二项分布，由（1）可得 ，从而可利用公式计算概率，列出分布列解：可取的值为，依题意可得： 的分布列为：5.一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的.（1）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；（2）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回），某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】的取值为，依题意可得： 的分布列为：6.袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等.（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】（1）思路：本题的特点在于每个编号都有3个球，若将这12个球视为不同元素，则可利用古典概型进行计算，设为“12个球中任取3个”，则，事件为“三个球数字各不相同”，则计数时第一步要先选出不同的三个编号，即，然后每个编号中都有3个小球可供选择，即，所以.进而可计算出解：设事件为“三个球数字各不相同” 的分布列为：7.一个盒子中装有大小相同的小球个，在小球上分别标有的号码，已知从盒子中随机的取出两个球，两球的号码最大值为的概率为，（1）盒子中装有几个小球？（2）现从盒子中随机的取出4个球，记所取4个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为随机变量（如取2468时，；取1246时，取1235时，）【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】（1）思路：以两球号码最大值为的概率为入手点，则该叙述等价于“取出一个号球和一个其它号码球的概率为，从而利用古典概型列出关于的方程并解出解：设事件为 “两球号码最大值为”即 解得：（2）思路：由（1）可得小球的编号为，结合所给的例子可知的取值为，其概率可用古典概解：的取值为 的分布列为：8.甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是，规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束.棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军.设结束时对弈的总局数为X（1）设事件：“且甲获得冠军”，求A的概率；（2）求X的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】（1）思路：事件代表“对弈3局且甲获胜”所以甲必须在第三场获胜，且前两场为一胜一和或一胜一负（胜负先后顺序均可）.按照这几种情况找到对应概率相乘即可解：设事件为“甲在第局取胜”，事件为“第局和棋”，事件为“乙在第局取胜” （2）思路：依题意可得只要有两个相同的结果就结束比赛，所以最多进行4次比赛，最少进行2次比赛，的分布列为点睛：在随机变量所取的值中，如果只有一个值的概率包含情况较多不易计算，那么可以考虑先计算出其他取值的概率，再用1减去其他概率即可 9某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响（1）求该选手被淘汰的概率；（2）记该选手在考核中回答问题的个数为，求随机变量的分布列与数学期望【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】（1）思路：依题可知，比赛规则为：只要打错一个即被淘汰，如果从问题的正面考虑，则要考虑到是第几轮被淘汰，情况较多.但此问题的反面为“答对所有问题”，概率易于表示，所以考虑利用对立事件进行求解 的分布列为10.某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得分，负者得分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为（1）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率；（2）设在该次比赛中，甲队得分为，求的分布列及期望【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】（1）思路：解决要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件.若甲队第一名，则甲战胜乙且战（2）思路：依题意可知可取的值为，即两战全负；即一胜一负，要分成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种情况讨论；即两战全胜；分别求出概率即可. 可取的值为的分布列为11.甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为 （1）求甲队分别以，获胜的概率；（2）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】 （2）思路：比赛的场数取决于甲是否取胜，所以可取的值为，若，则甲获胜，即胜第五场；若则甲获胜，即乙胜第五场，甲胜第六场；若，则只需前六场打成即可，所以只需乙连赢两场.分别计算概率即可得到分布列和期望比赛场数可取的值为 的分布列为12.某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次机会），已知某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是 （1）求该人获得奖金的概率（2）设该人通过的关数为，求随机变量的分布列及数学期望【答案】（1）（2） 【解析】（1）思路：若该人获得奖金，则前三关必须通过，后两关可以通过，或者只有一次未通过，借助机会再次为第四关通过且第五关失利两次；为五关全部通过获得奖金（即第一问的结果），其中由于情况较为复杂，所以考虑利用进行处理 的取值为 的分布列为：
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