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第8讲函数与方程考纲解读1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，能够判断一元二次方程根的存在性与根的个数(重点、难点)2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存在预测2020年高考将以零点个数的判断或根据零点的个数求参数的取值范围为主要命题方向，以客观题或以解答题中一问的形式呈现.1函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)三个等价关系(3)存在性定理2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与x轴的交点21无零点个数2101概念辨析(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)若f(x)在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内没有零点()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()答案(1)(2)(3)(4)(5) 2小题热身(1)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)42147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5)答案B解析由已知得f(2)f(3)0，所以函数f(x)必有零点的区间为(2,3)(2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()Aycosx BysinxCyln x Dyx21答案A解析ysinx，yln x不是偶函数，yx21不存在零点，所以只有ycosx符合题意(3)函数f(x)xx零点的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析函数f(x)xx零点的个数是方程xx0的解的个数，即方程xx的解的个数，也就是函数yx与yx图象的交点个数在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.(4)若二次函数f(x)x2kxk在R上无零点，则实数k的取值范围是_答案(0,4)解析因为f(x)x2kxk在R上无零点，所以方程x2kxk0无实根，所以k24k0，解得0k4.题型 函数零点所在区间的判断1设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案B解析函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的取值范围作图如右：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)2若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)答案A解析由已知得，f(x)是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，又因为ab0，f(b)(bc)(ba)0.由零点存在性定理得函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内3函数f(x)x23x18在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零点答案存在解析令f(x)0，得x23x180，解得x6或3.显然61,8，31,8，所以f(x)x23x18在区间1,8上存在零点，是6.函数零点所在区间的判断方法及适合题型方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负如举例说明2图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象如举例说明1解方程法可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上当对应方程f(x)0易解时如举例说明3 1在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间可能为()A. B. C. D.答案D解析因为fe43e40，f(0)1320，fe43e10.所以ff0，所以函数f(x)的零点所在的区间可能为.2(2018全国卷)函数f(x)cos在0，的零点个数为_答案3解析0x，3x.由题可知，当3x，3x或3x时，f(x)0.解得x，或.故函数f(x)cos在0，上有3个零点3若x0是函数f(x)2xx2最小的零点，且x0(n，n1)，nZ，则n_.答案1解析函数f(x)2xx2的零点是方程2xx2的实根，也是函数y2x与yx2交点的横坐标，结合图象可知x00.因为f(1)21(1)20，故x0(1,0)故n1.题型 函数零点个数的判定1函数f(x)的零点个数是_答案2解析当x0时，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点；当x0时，易知f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.2(2018日照模拟)已知f(x)则函数y2f2(x)3f(x)1的零点个数是_答案5解析令2f2(x)3f(x)10，解得f(x)1或f(x)，作出f(x)的简图：由图象可得当f(x)1或f(x)时，分别有3个和2个交点，则关于x的函数y2f2(x)3f(x)1的零点的个数为5.条件探究1在举例说明2条件下，判断函数yf2(x)3f(x)零点的个数解令f2(x)3f(x)0得f(x)0或f(x)3.由函数f(x)的图象可知f(x)0有1个实根，f(x)3有3个实根，所以yf2(x)3f(x)有4个零点条件探究2把举例说明2中的“2|x|”改为“2|x|”，其他条件不变，结果又如何？解令2f2(x)3f(x)10得f(x)1或f(x)，作出函数f(x)的简图如下：由图象可知，f(x)1有3个实根，f(x)有3个实根，所以y2f2(x)3f(x)1有6个零点判断函数零点个数的方法(1)解方程法：所对应方程f(x)0有几个不同的实数解就有几个零点如举例说明1.(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题画出两个函数的图象，图象交点的个数，就是函数零点的个数如举例说明2. 1(2019河南南阳月考)函数f(x)cosx在0，)内()A没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点答案B解析先研究f(x)在区间0,1内的零点因为f(x)sinx，0，sinx0，所以f(x)0，故f(x)在0,1上单调递增，且f(0)10，所以f(x)在0,1内有唯一零点当x1时，f(x)cosx0，故函数f(x)在0，)上有且仅有一个零点，故选B.2若f(x)为偶函数，当x0时，f(x)x(1x)，则当x0时，f(x)_；函数y5f(x)1f(x)5的零点个数为_答案x(x1)6解析因为f(x)为偶函数，所以当x0时，f(x)f(x)x(1x)，因为5f(x)1f(x)50的根就是函数y5f(x)1f(x)5的零点，所以就转化为研究yf(x)与y，y5交点个数问题，如图：因此有6个交点题型 函数零点的应用角度1根据函数零点个数求参数1(2015湖南高考)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_答案(0,2)解析将函数f(x)|2x2|b的零点个数问题转化为函数y|2x2|的图象与直线yb的交点个数问题，数形结合求解在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示当0b1时，有交点，即函数g(x)f(x)xm有零点根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决如举例说明2(1)(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解如举例说明1、2(2) 1若函数f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_答案(0,1解析当x0时，由f(x)ln x0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为02x201，所以00.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_答案(3，)解析f(x)的大致图象如图所示，若存在bR，使得方程f(x)b有三个不同的根，只需4mm20，所以m3.思想方法数形结合思想在函数零点问题中的应用函数yf(x)的零点、方程f(x)0的实数根和函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标有密切的联系，解决相关问题时，通常要用到数形结合的方法典例(2018吉林吉大附中四模)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x时，f(x)sinx，则函数f(x)在区间0,6上的零点个数是_答案9解析根据题意得当x时，f(x)sinx，令f(x)0，则sinx0.解得x1.因为函数f(x)是周期为3的周期函数，所以f(x3)f(x)，所以ff.又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)ff0.画出函数的图象，如图所示，由图象可知在0,6上的零点为0,1，2,3,4，5,6，所以共有9个零点
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