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第59课时带电粒子在组合场中的运动(题型研究课)命题点一磁场与磁场的组合 典例如图所示xOy坐标系中，在y轴右侧有一平行于y轴的边界PQ，PQ左侧和右侧存在磁感应强度大小分别为B与的匀强磁场，磁场方向均垂直于xOy平面向里。电荷量为q、质量为m的带正电粒子，以某一速度从坐标系原点O处沿x轴正方向射出，经过时间t时恰好到达y轴上的A(0，l)点，不计粒子的重力作用。(1)求粒子在左、右两侧磁场中做圆周运动的半径大小之比r1r2；(2)求边界PQ与y轴的距离d和粒子从O点射出的速度大小v0；(3)若相同的粒子以更大的速度从原点O处沿x轴正方向射出，为使粒子能经过A点，粒子的速度大小应为多大？解析(1)带电粒子在左、右两侧磁场中均做匀速圆周运动，则有qv0B，qv0解得r1r212。(2)粒子射出后经过时间t时恰好到达A点，运动情况如图1所示，设图中圆弧DE对应的圆心角为，则粒子从O点运动到A点的时间为T2T1其中T1，T2解得60C1C2C3为等边三角形，根据几何关系得l2r1(r2r1)，dr1sin 解得PQ与y轴的距离dl粒子从O点射出的速度大小v0满足qv0B解得v0。(3)速度更大的粒子，必从y轴高点处转向下方时经过A点，一个周期的运动轨迹如图2，粒子在一个周期内沿y轴方向的位移为y2r12(r2r1)sin 2r1，其中r22r1即y2r1sin ，其中cos ，粒子经过A点的条件是nyl，n1,2,3，且qvBm得v ，n1,2,3，因vv0，故n只能取1或2，故粒子的速度大小为v或v。答案(1)12(2)l(3)或关注两段圆弧轨迹的衔接点磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。 集训冲关1.(2017全国卷)如图，空间存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的磁场。在x0区域，磁感应强度的大小为B0；x1)。一质量为m、电荷量为q(q0)的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求：(不计重力)(1)粒子运动的时间；(2)粒子与O点间的距离。解析：(1)在匀强磁场中，带电粒子做圆周运动。设在x0区域，圆周半径为R1；在x0区域，圆周半径为R2。由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得qB0v0mqB0v0m粒子速度方向转过180时，所需时间t1为t1粒子再转过180时，所需时间t2为t2联立式得，所求时间为t0t1t2。(2)由几何关系及式得，所求距离为d02(R1R2)。答案：(1)(2)2.如图所示，M、N、P为很长的平行边界，M、N与M、P间距分别为l1、l2，其间分别有磁感应强度为B1和B2的匀强磁场区域，磁场和方向垂直纸面向里，B1B2。有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，以某一初速度垂直边界N及磁场方向射入MN间的磁场区域。不计粒子的重力。求：(1)要使粒子能穿过磁场进入磁场，粒子的初速度v0至少应为多少；(2)若粒子进入磁场的初速度v1，则粒子第一次穿过磁场所用时间t1是多少；(3)粒子初速度v为多少时，才可恰好穿过两个磁场区域。解析：(1)设粒子的初速度为v0时恰好能进入磁场，则进入磁场时速度恰好沿边界M，所以运动半径rl1，由B1qv0m，解得v0。(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，由B1qv1m，解得r12l1，设粒子在磁场中做匀速圆周运动(轨迹如图甲)对应的圆心角为，则有sin ，所以，所以粒子第一次穿过磁场所用时间为t1T。(3)设粒子速度为v时，粒子在磁场中的轨迹恰好与边界P相切，轨迹如图乙所示，由Bqvm可得R1，R2，由几何关系得sin ，粒子在磁场中运动有R2R2sin l2，解得v。答案：(1)(2)(3)命题点二电场与磁场的组合考法1先电场后磁场1带电粒子先在电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图：2带电粒子先在电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图：例1(2018全国卷)如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求：(1)磁场的磁感应强度大小；(2)甲、乙两种离子的比荷之比。解析(1)设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有q1Um1v12由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有q1v1Bm1由几何关系知2R1l由式得B。(2)设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2。同理有q2Um2v22q2v2Bm2由题给条件有2R2由式得，甲、乙两种离子的比荷之比为14。答案(1)(2)14考法2先磁场后电场例2如图所示，真空中有一以O点为圆心的圆形匀强磁场区域，半径为R0.5 m，磁场方向垂直纸面向里。在yR的区域存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E1.0105 V/m。在M点有一正粒子以速率v1.0106 m/s沿x轴正方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小至0后又返回磁场，最终又从磁场离开。已知粒子的比荷为1.0107 C/kg，粒子重力不计。求：(1)圆形磁场区域磁感应强度的大小；(2)沿x轴正方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程。解析(1)沿x轴正方向射入磁场的粒子在进入电场后，速度减小到0，粒子一定是从如图所示的P点竖直向上射出磁场，逆着电场线运动，所以可得粒子在磁场中做圆周运动的半径rR0.5 m，根据Bqv，得B，代入数据得B0.2 T。(2)粒子返回磁场后，经磁场偏转后从N点射出磁场如(1)中图所示，MN的长度等于直径，粒子在磁场中的路程为二分之一圆周长，即s1R，设粒子在电场中运动的路程为s2，根据动能定理得Eqmv2，得s2，则总路程sR，代入数据得s(0.51)m。答案(1)0.2 T(2)(0.51)m考法3先后多个电磁场例3 如图所示，宽度为L的区域被平均分为区域、，其中区域、有匀强磁场，它们的磁感应强度大小相等，方向垂直纸面且相反。长为L、宽为的矩形abcd紧邻磁场下方，与磁场边界对齐，O为dc边中点，P为dc中垂线上一点，OP3L。矩形内有匀强电场，电场强度大小为E，方向由a指向O。电荷量为q、质量为m、重力不计的带电粒子由a点静止释放，经电场加速后进入磁场，运动轨迹刚好与区域的右边界相切。求：(1)该粒子经过O点时的速度大小v0；(2)匀强磁场的磁感应强度大小B；(3)若在aO之间距O点x处静止释放该粒子，粒子在磁场区域中共偏转n次到达P点，x应满足的条件及n的可能取值。解析(1)由题意，根据几何关系可知aOL，粒子在电场中从a到O加速，由动能定理得：qELmv02解得v0 。(2)粒子在磁场区域中的运动轨迹如图，设粒子轨迹半径为R0，由几何关系可得：R0R0cos 60L由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得：qv0B联立式得：B 。(3)若粒子在磁场中一共经过n次偏转到达P，设粒子轨迹半径为R，由图中几何关系有：2n3L依题意有0RR0联立式得n9，且n取正整数设粒子在磁场中的运动速率为v，有：qvB在电场中的加速过程，由动能定理得：qExmv2联立式得：x2L，其中n2,3,4,5,6,7,8。答案(1) (2) (3)x2L，n2,3,4,5,6,7,8(1)带电粒子在电场中加速，一般应用动能定理，即可求出加速后进入磁场前的速度。(2)带电粒子进入磁场，在有界磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，再结合几何关系即可求解运动半径、周期等物理量。(3)在有界磁场中运动时，要根据不同的边界确定临界条件，还要注意多解问题。
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