高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.1 函数的概念学案 苏教版必修1.doc

函数的概念一、考点突破1. 理解函数的概念，了解函数构成的要素；2. 会求一些简单函数的定义域，函数值，知道两函数相等的条件。二、重难点提示重点：函数的三要素：定义域、值域和对应关系；难点：一些简单函数的定义域的求法。1. 函数的定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应法则f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记做yf（x），xA。2. 函数的定义域、值域在函数yf（x），xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。两个函数的定义域和对应法则完全一致时，则认为两个函数相等。3. 常见函数定义域的求法（1）分式函数中分母不等于零。（2）偶次根式函数被开方式大于或等于0。（3）一次函数、二次函数的定义域为R。【重要提示】在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点。4. 函数解析式的求法求函数解析式的常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法。例题1 有以下判断：f（x）与g（x）表示同一函数；函数yf（x）的图象与直线x1的交点最多有1个；f（x）x22x1与g（t）t22t1是同一函数；若f（x）|x1|x|，则0；其中正确判断的序号是_。思路分析：对于（1），由于函数f（x）的定义域为x|xR且x0，而函数g（x）的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于（2），若x1不是yf（x）定义域的值，则直线x1与yf（x）的图象没有交点，如果x1是yf（x）定义域内的值，由函数定义可知，直线x1与yf（x）的图象只有一个交点，即yf（x）的图象与直线x1最多有一个交点；对于（3），f（x）与g（t）的定义域、值域和对应关系均相同，所以f（x）和g（t）表示同一函数；对于（4），由于0，所以f（0）1。综上可知，正确的判断是（2）（3）。答案：（2）（3）例题2 给出下列两个条件：（1）f（1）x2；（2）f（x）为二次函数，且f（0）3，f（x2）f（x）4x2，请试着分别求出f（x）的解析式。思路分析：（1）将 +1 当作一个整体，利用换元法设其为t，求出f(t)关于t的函数关系式，就是f(x)的解析式。（2）设二次函数f（x）ax2bxc，先求出c，再代入到f(x+2)-f(x)=4x+2中，根据一次项系数与常数项分别相等，列出关于a,b的方程即可分别求出a,b.答案：解：（1）令t1，t1，x（t1）2，则f（t）（t1）22（t1）t21，f（x）x21（x1）；（2）设f（x）ax2bxc （a0），又f（0）c3，f（x）ax2bx3，f（x2）f（x）a（x2）2b（x2）3（ax2bx3）4ax4a2b4x2，f（x）x2x3。【方法提炼】1. 函数三要素函数的三要素：定义域、值域、对应关系。这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同时，函数才是同一函数。特别值得说明的是，对应关系是就结果而言的（判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同），而不是指形式上的，即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断。2. 函数定义域的求解方法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含的运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集。复合函数求定义域的方法（1）若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域；（2）若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。（3）若的定义域为，求的定义域，可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求的定义域。【满分训练】求下列函数的定义域：（1）已知函数，求函数f（x）的定义域；（2）已知函数的定义域为，求的定义域；（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域；（4）函数定义域是，求的定义域。思路分析：（1）要使该函数有意义，应满足，即， 函数的定义域为；（2）的定义域为，故函数的定义域为；（3）由，得；令，则，故的定义域为；（4）先求的定义域的定义域是，即的定义域是，再求的定义域为，的定义域是。总结：已知f（x）的定义域是a，b，求fg（x）的定义域，是指求满足ag（x）b的x的取值范围，而已知fg（x）的定义域是a，b，指的是xa，b。3. 函数解析式的求法（1）配凑法：由已知条件f（g（x）F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），便得到f（x）的解析式；（2）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法；（3）换元法：已知复合函数f（g（x）的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；（4）消去法：已知关于f（x）与或f（-x）的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f（x）。