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第六节直线与圆锥曲线突破点一直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即由消去y，得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的根的判别式为，则(2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点()答案：(1)(2)(3)二、填空题1设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_答案：1,12已知斜率为1的直线l过椭圆y21的右焦点，交椭圆于A，B两点，弦AB的长为_答案：3双曲线1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_答案：典例(1)(2019河南九校联考)已知直线ykxt与圆x2(y1)21相切且与抛物线C：x24y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是()A(，3)(0，)B(，2)(0，)C(3,0)D(2,0)(2)若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，则这样的直线有()A1条B2条C3条 D4条解析(1)因为直线与圆相切，所以1，即k2t22t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x24kx4t0，于是16k216t16(t22t)16t0，解得t0或t3.选A.(2)结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条，分别为直线x0，直线y1以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)故选C.答案(1)A(2)C方法技巧直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数提醒联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况 针对训练1若直线mxny4和圆O：x2y24没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为()A至多一个 B2C1 D0解析：选B直线mxny4和圆O：x2y24没有交点，圆心到直线的距离d 2，m2n24.1m21，点(m，n)在椭圆1的内部，过点(m，n)的直线与椭圆1的交点有2个2双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()Ak BkCk或k Dk解析：选D由双曲线渐近线的几何意义知k.突破点二圆锥曲线中弦长及中点弦问题圆锥曲线的弦长公式设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2| |y1y2| .一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)如果直线xtya与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B (x2，y2)两点，则弦长|AB| |y1y2|.()(2)过抛物线y22px(p0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.()答案：(1)(2)二、填空题1顶点为坐标原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2xy10所得的弦长为，则抛物线方程为_答案：y212x或y24x2椭圆x24y216被直线yx1截得的弦长为_答案：3过双曲线1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为_答案：，考法一弦长问题例1(2019孝义模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(c,0)，(c,0)，由题意可得解得a2，c1，则b2a2c23，故椭圆C的标准方程为1.(2)假设存在斜率为1的直线l，设为yxm，由(1)知F1，F2的坐标分别为(1,0)，(1,0)，所以以线段F1F2为直径的圆为x2y21，由题意知圆心(0,0)到直线l的距离d1，得|m|.|AB|22 ，联立得消去y，得7x28mx4m2120，由题意得(8m)247(4m212)33648m248(7m2)0，解得m27，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|CD|x1x2| |AB|，解得m.即存在符合条件的直线l，其方程为yx.方法技巧求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1x2)2或(y1y2)2，代入两点间的距离公式(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长提醒利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用考法二中点弦问题考向一由中点弦确定直线方程例2在椭圆1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线方程为_解析设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得两式相减得0，所以，即，因为x1x22，y1y24，所以，故该直线方程为y2(x1)，即9x32y730.答案9x32y730考向二由中点弦确定曲线方程例3过点M(2，2p)作抛物线x22py(p0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为_解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y，切线MA的方程是yy1(xx1)，即yx.又点M(2，2p)位于直线MA上，于是有2p2，即x4x14p20；同理有x4x24p20，因此x1，x2是方程x24x4p20的两根，则x1x24，x1x24p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得，y1y212，即12，12，解得p1或p2.故抛物线的方程为x22y或x24y.答案x22y或x24y考向三由中点弦解决对称问题例4已知双曲线x21上存在两点M，N关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物线y218x上，则实数m的值为_解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则由得，(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，显然x1x2.3，即kMN3，M，N关于直线yxm对称，kMN1，y03x0.又y0x0m，P，代入抛物线方程，得m218，解得m0或8，经检验都符合题意答案0或8方法技巧处理中点弦问题常用的2种方法(1)点差法设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解提醒中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足 1.已知P(1,1)为椭圆1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在直线的方程为_解析：法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y1k(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2，又x1x22，2，解得k.故此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1， 1， 得0，x1x22，y1y22，y1y20，k.此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.答案：x2y302.焦点是F(0,5)，并截直线y2x1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为_解析：设所求的椭圆方程为1(ab0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意，可得弦AB的中点坐标为，且，.将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得23，所以a23b2.又c2a2b250，所以a275，b225.故所求椭圆的标准方程为1.答案：13.抛物线x24y与直线x2y20交于A，B两点，且A，B关于直线y2xm对称，则m的值为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2), 联立消去y，得x22x40.则x1x22，1.y1y2(x1x2)23，. A，B关于直线y2xm对称，AB的中点在直线y2xm上，即21m，解得m.答案：4.经过椭圆M：1(ab0)的右焦点的直线xy0交椭圆M于A，B两点，P为AB的中点，且直线OP的斜率为.(1)求椭圆M的方程；(2)C，D为椭圆M上两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD的面积的最大值解：(1)令A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知右焦点为(，0)联立得(a2b2)y22b2yb2(3a2)0，则y1y2，x1x22(y1y2)，即kOPa22b2.因为a2b23，所以a26，b23.所以椭圆M的方程为1.(2)由(1)知方程为3y22y30.由弦长公式得：|AB|y1y2| .令CD的方程为：xym.由得3y22mym260，则y1y2，y1y2.由弦长公式得|CD|4.所以S四边形ACBD|AB|CD|(当且仅当m0时取最大值)故四边形ACBD的面积的最大值为.
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