O第5章方阵的特征值和特征向量.ppt

第五章 相似矩阵及二次型 5 3对称矩阵的对角化 5 2相似矩阵 5 1方阵的特征值与特征向量 5 4二次型及其标准形 5 5用配方法化二次型成标准形 5 6正定二次型 5 1方阵的特征值与特征向量 引言 矩阵的特征值理论在许多领域都有重要的应用 如 工程技术中的振动问题和稳定性问题 经济管理中的主成分分析 PCA 数学中的微分方程组求解和迭代法的收敛性 图像 信息 处理中的压缩存取 本章主要涉及在矩阵理论中非常重要的矩阵相似对角化问题 定义 设A是n阶方阵 如果数和n维非零列向量x满足 则称为A的特征值 非零向量x称为A的对应于 或属于 特征值的特征向量 把 1 改写为 5 1方阵的特征值与特征向量 注 可以求得 称为A的特征多项式 而称为A的特征方程 由代数基本定理 特征方程在复数范围恰有n个根 重根按重数计算 因此 n阶方阵在复数范围内恰有n个特征值 本章关于特征值 特征向量的讨论永远约定在复数范围内 5 1方阵的特征值与特征向量 性质 又 P160 5 1方阵的特征值与特征向量 求矩阵的特征值 两个特征值为 问 特征向量是实的还是复的 5 1方阵的特征值与特征向量 求A的特征值 因此 n个特征值为 问 对角矩阵 下三角矩阵的特征值为 5 1方阵的特征值与特征向量 求矩阵A B的特征值和特征向量 并注意二者的区别 解 对于矩阵A 5 1方阵的特征值与特征向量 A的特征值为 对于 解方程组 同解方程组为 令 得基础解系 因此 对应于特征值的所有特征向量为 5 1方阵的特征值与特征向量 对于 解方程组 同解方程组为 令 得基础解系 因此 对应于特征值的所有特征向量为 5 1方阵的特征值与特征向量 对于矩阵B B的特征值为 5 1方阵的特征值与特征向量 对于 解方程组 同解方程组为 令 得基础解系 因此 对应于特征值的所有特征向量为 5 1方阵的特征值与特征向量 对于 解方程组 同解方程组为 令 得基础解系 因此 对应于特征值的所有特征向量为 5 1方阵的特征值与特征向量 回答问题 1 向量满足 是A的特征向量吗 2 实矩阵的特征值 特征向量 一定是实的吗 3 矩阵A可逆的充要条件是所有特征值 A有一个特征值为 4 A有一个特征值为 可逆 A的特征值一定不等于 5 A的特征值与的特征值有什么关系 5 1方阵的特征值与特征向量 6 一个特征值对应于几个特征向量 一个特征向量对应几个特征值 见例4 7 A的各行元素之和均等于2 则A有一个特征值 是 它对应的特征向量是 特征向量的个数 是的一个特征值 它对应的最大无关的 5 1方阵的特征值与特征向量 证明 一个特征向量只能对应一个特征值 证假设是A的对应特征值和的特征向量 则 5 1方阵的特征值与特征向量 P 157 P 158 设是方阵A的特征值 对应的一个特征向量 证明 1 是kA的特征值 对应的特征向量仍为x 2 是的特征值 对应的特征向量仍为x 3 当A可逆时 是的特征值 对应的 特征向量仍为x 证 5 1方阵的特征值与特征向量 推广 设是方阵A的特征值 则是的特征值 的特征值 是 是 5 1方阵的特征值与特征向量 类似P161例8 设3阶矩阵A的三个特征值为 求 解A的特征值全不为零 故A可逆 的三个特征值为 计算得 因此 5 1方阵的特征值与特征向量 证明A的特征值只能取1或2 设是A的特征值 则 的特征值为 由于是零矩阵 其特征值全是零 故 证 5 1方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵及二次型 5 3对称矩阵的对角化 5 2相似矩阵 5 1方阵的特征值与特征向量 5 4二次型及其标准形 5 5用配方法化二次型成标准形 5 6正定二次型 5 2相似矩阵 设A B都是n阶矩阵 若有可逆矩阵P 使 则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似 对A进行运算称为对A进行相似变换 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵 定义 特别地 如果A与对角矩阵相似 则称A是可对角化的 性质 1 相似关系是一种等价关系 2 A与B相似 则r A r B 3 A与B相似 则 从而A与B有相同的特征值 4 A与B相似 则 5 A与B相似 则 6 A与B相似 则与相似 其中 7 A与B相似 且A可逆 则与相似 5 2相似矩阵 求x与y和A的特征值 求a与b 解 1 A的特征值等于B的特征值为 5 2相似矩阵 2 5 2相似矩阵 下面讨论对角化的问题 说明 如果A可对角化 它必有n个线性无关的特征向量 就是P的n个列 反之 如果A有n个线性无关的特征向量 把它拼成矩阵P 可逆 把上面过程逆过来即知A可对角化 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量 5 2相似矩阵 不同特征值对应的线性无关的特征向量合并以后仍是线性无关的 即设是矩阵A的不同的特征值 又设对应的无关特征向量为 对应的无关特征向量为 对应的无关特征向量为 则 仍是线性无关的 5 2相似矩阵 上式两边左乘A得 再由线性无关得 类似可得 由假设得 5 2相似矩阵 n阶矩阵A如有n个不同的特征值 则它有n个线性无关的特征向量 从而A一定可对角化 5 2相似矩阵 续第2节例3 首先看矩阵A 第1步求特征值 第2步求线性无关的特征向量 即求的基础解系 5 2相似矩阵 第3步如有n个线性无关的特征向量 把它们拼成矩阵P P可逆 令 第4步写出对角化形式 则 问 如果 对吗 5 2相似矩阵 矩阵B只有两个线性无关的特征向量 从而B不可对角化 再看矩阵B 5 2相似矩阵 设的所有不同的特征值为 则 注 称为的 代数 重数 称为的几何重数 记 即 问 单重特征值对应的线性无关特征向量有几个 5 2相似矩阵 证 参考 设对应的最大无关特征向量为 把上面特征向量扩充为n个线性无关的向量 则可逆 5 2相似矩阵 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数 即 设 互不同 此时 则A可对角化的充要条件是 亦即 的重数恰好等于它对应的最大无关特征 向量的个数 简称 几重特征值有几个特征向量 5 2相似矩阵 证 参考 充分性 设 个 它们仍是线性无关的 故可角化 把每个对应的最大无关特征向量合并后 共有 必要性 设A可对角化 5 2相似矩阵 5 2相似矩阵 问x为何值时 A可对角化 是单重根 恰有一个特征向量 不需讨论 是二重根 A可对角化 5 2相似矩阵 提示 A可对角化 5 2相似矩阵 第五章 相似矩阵及二次型 5 3对称矩阵的对角化 5 2相似矩阵 5 1方阵的特征值与特征向量 5 4二次型及其标准形 5 5用配方法化二次型成标准形 5 6正定二次型 5 3 实 对称矩阵的对角化 对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交 对称矩阵的特征值必为实数 证明自学 从而特征向量可取到实的 证 对称矩阵必可正交对角化 即设A是对称矩阵 则存在正交矩阵Q 使得 对称矩阵特征值的重数必等于其几何重数 即等于其对应的最大无关特征向量的个数 即 5 3 实 对称矩阵的对角化 把对称矩阵 正交对角化 第1步 求特征值 特征值必都是实数 5 3 实 对称矩阵的对角化 第2步 求线性无关的特征向量 对 解方程组 求得基础解系 即最大无关特征向量 5 3 实 对称矩阵的对角化 对 解方程组 求得基础解系 即最大无关特征向量 前面的 5 3 实 对称矩阵的对角化 第3步 检验重特征值对应的特征向量是否正交 如果不正交 用施密特过程正交化 再把正交的特征向量单位化 5 3 实 对称矩阵的对角化 第4步 把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵 单位化 则 令 5 3 实 对称矩阵的对角化 设对应于的无关特征向量为 的基础解系 因此上面方程组的任意基础解系都是 对应于的特征向量 解 1 可求得 5 3 实 对称矩阵的对角化 第五章 相似矩阵及二次型 5 3对称矩阵的对角化 5 2相似矩阵 5 1方阵的特征值与特征向量 5 4二次型及其标准形 5 5用配方法化二次型成标准形 5 6正定二次型 5 4二次型及其次标准形 引言 判别下面方程的几何图形是什么 作旋转变换 代入 1 化为 见下图 5 4二次型及其次标准形 称为n维 或n元 的二次型 定义 含有n个变量的二次齐次函数 如三维的二次型为 关于二次型的讨论永远约定在实数范围内 5 4二次型及其次标准形 二次型的矩阵表示 5 4二次型及其次标准形 一般地 对于n维的二次型 上式称为二次型的矩阵表示 也常记为 5 4二次型及其次标准形 任给一个对称矩阵A 令显然可唯一地确定一个二次型 反之 任给一个二次型f可找到对称矩阵A使得 如前 而且对称矩阵A是唯一 5 4二次型及其次标准形 对称矩阵A叫做二次型f的矩阵 f叫做对称矩阵A的二次型 对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩 记作r f n维二次型与n阶对称矩阵之间是一一对应的关系 5 4二次型及其次标准形 写出下面二次型f的矩阵表示 并求f的秩r f 解 问 在二次型中 如不限制A对称 A唯一吗 5 4二次型及其次标准形 定义 只含平方项的二次型 称为二次型的标准形 或法式 平方项系数只在中取值的标准形 5 4二次型及其次标准形 对给定的二次型 找可逆的线性变换 坐标变换 代入 1 式 使之成为标准形 称上面过程为化二次型为标准形 5 4二次型及其次标准形 其中D为对角矩阵 注意到与D都是对称矩阵 而二次型与对称矩阵是一一对应关系 故 化二次型为标准形 又等价于 对给定的对称矩阵A 找可逆矩阵C 使 问 这件事情能够做到吗 以前学过吗 5 4二次型及其次标准形 P132定理8 5 4二次型及其次标准形 用正交变换化二次型为标准形的步骤 5 4二次型及其次标准形 解 化为标准形 求A的特征值 求二次型的矩阵 P132例14 5 4二次型及其次标准形 求A的规范正交的特征向量 单位化 5 4二次型及其次标准形 得正交的基础解系 单位化 求正交变换矩阵 5 4二次型及其次标准形 写出二次型的标准形 用正交变换 二次型f化为标准形为 5 4二次型及其次标准形 解 二次型的矩阵为 由题意 由相似矩阵的性质得 从而 5 4二次型及其次标准形 解得 A与D有相同的特征值 分别为 求得它们对应的特征向量 正交 为 再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵 5 4二次型及其次标准形 定义 设A和B是n阶矩阵 若有可逆矩阵C 使 则称A与B合同 性质 1 合同关系是一种等价关系 2 A与B合同 则r A r B 3 A与B合同 A对称 则B对称 二次型化标准形又相当于把一个对称矩阵合同变换为对角矩阵 在n阶对称矩阵集合中 矩阵的合同等价相当于二次型可以互化 也称二次型等价 5 4二次型及其次标准形 定理 P132推论 二次型必可化为规范形 证设二次型f x xTAx r A r 经正交变换化为 思考为什么一定可化为上面形式 再做一次可逆的线性变换 则f化为 5 4二次型及其次标准形 思考并回答 1 二次型的标准形唯一吗 2 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系 与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系 3 设CTAC D C可逆 D是对角阵 D的对角元是A的特征值吗 如果C是正交矩阵又如何 4 设4阶对称矩阵A的特征值为0 2 2 3 A的二次型的规范形是什么 5 4二次型及其次标准形 第五章 相似矩阵及二次型 5 3对称矩阵的对角化 5 2相似矩阵 5 1方阵的特征值与特征向量 5 4二次型及其标准形 5 5用配方法化二次型成标准形 5 6正定二次型 5 5用配方法化二次型成标准形 配方法的步骤 1 若二次型含有的平方项 则先把含有的乘积项集中 然后配方 再对其余的变量同样进行 直到都配成平方项为止 经过可逆线性变换 就得到标准形 2 若二次型中不含有平方项 但是则先作可逆线性变换 化二次型为含有平方项的二次型 然后再按1中方法配方 P134例15 化二次型 为标准形 并求变换矩阵 5 5用配方法化二次型成标准形 即 令 5 5用配方法化二次型成标准形 所用变换矩阵为 5 5用配方法化二次型成标准形 所给二次型中无平方项 P134例15 化二次型 为规范形 并求变换矩阵 5 5用配方法化二次型成标准形 再配方得 5 5用配方法化二次型成标准形 所用变换矩阵为 5 5用配方法化二次型成标准形 得标准形为 下面做法对吗 5 5用配方法化二次型成标准形 第五章 相似矩阵及二次型 5 3对称矩阵的对角化 5 2相似矩阵 5 1方阵的特征值与特征向量 5 4二次型及其标准形 5 5用配方法化二次型成标准形 5 6正定二次型 5 6正定二次型 本节讨论二次型的分类问题 重点是正定二次型 在n维的二次型中 如果两个二次型xTAx和yTBy可以互化 即 则称这两个二次型等价 这相当于 即在n阶对称矩阵中A与B合同等价 对二次型按等价分类 相当于对对称矩阵按合同等价分类 什么条件决定两个二次型等价 我们知道 等价的二次型有相同的秩 也就是标准形中平方项个数相等 但秩相等的两个二次型不一定等价 例如与不可能等价 因为不存在可逆矩阵C满足 因为 5 6正定二次型 P136定理9 在二次型的标准形中 正项个数与负项个数保持不变 或者说二次型的规范形唯一 二次型的标准形中正项个数称为二次型的正惯性指数 负项个数称为二次型的负惯性指数 设二次型f的秩为r 正惯性指数为p 则负惯性指为r p f的规范形为 惯性定理指出 两个二次型是否等价 被其秩和正惯性指数唯一确定 5 6正定二次型 规范形为的二次型为正定二次型 与单位矩阵合同的对称矩阵为正定矩阵 如果n维的二次型f x xTAx其标准形系数全为正 秩和正惯性指数都等于n 则称之为正定二次型 二次型的矩阵A称为正定矩阵 如果标准形中系数全为负 则称之为负定二次型 二次型的矩阵称为负定矩阵 定义 显然 如果f负定 则 f正定 以后只需讨论正定二次型 正定矩阵 5 6正定二次型 P136定理10 二次型f x xTAx正定的充要条件是对任意x 0 都有f x xTAx 0 注 书上以后者为定义 必要性 设f正定 即 对任意x 0 则 故 充分性 反证 如果有某个 取 与矛盾 5 6正定二次型 P137定理11霍尔维茨定理 对称矩阵A为正定的充要条件是 A的各阶主子式全为正 即 负定矩阵的充要条件是 5 6正定二次型 总结 二次型f x xTAx为正定二次型 A为正定矩阵 5 6正定二次型 方法一 判别二次型是否正定 二次型的矩阵为 其各阶顺序主子式 所以二次型正定 5 6正定二次型 即知A是正定矩阵 故此二次型为正定二次型 求得其特征值 方法二 方法三 配方 知f的标准形系数全为正 从而f为正定二次型 5 6正定二次型 判别二次型 的正定性 P137例17 解 二次型的矩阵 它的各阶顺序主子式 A是负定矩阵 二次型是负定二次型 或者 判别 为正定 5 6正定二次型 与矩阵合同的矩阵是 5 6正定二次型 设是正定矩阵 证明 证明ATA为正定矩阵的充要条件是A为 列满秩矩阵 5 6正定二次型 P140习题29 重要结论 5 6正定二次型