MALAT矩阵及其运算.ppt

第2章MATLAB矩阵及其运算2 1变量和数据操作2 2MATLAB矩阵2 3MATLAB运算2 4矩阵分析2 5矩阵的超越函数2 6稀疏矩阵 2 1变量和数据操作 2 1 1变量与赋值1 变量命名在MATLAB6 5中 变量名是以字母开头 后接字母 数字或下划线的字符序列 最多63个字符 在MATLAB中 变量名区分字母的大小写 2 赋值语句 1 变量 表达式 2 表达式其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子 其结果是一个矩阵 a 2a 2 例2 1计算表达式的值 并显示计算结果 在MATLAB命令窗口输入命令 x 1 2i y 3 sqrt 17 z cos abs x y sin 78 pi 180 x abs y 其中pi和i都是MATLAB预先定义的变量 分别代表代表圆周率 和虚数单位 x 1 2i y 3 sqrt 17 z cos abs x y sin 78 pi 180 x abs y z 0 3488 0 3286i 2 1 2预定义变量 在MATLAB工作空间中 还驻留几个由系统本身定义的变量 例如 用pi表示圆周率 的近似值 用i j表示虚数单位 预定义变量有特定的含义 在使用时 应尽量避免对这些变量重新赋值 2 1 3内存变量的管理1 内存变量的删除与修改MATLAB工作空间窗口专门用于内存变量的管理 在工作空间窗口中可以显示所有内存变量的属性 当选中某些变量后 再单击Delete按钮 就能删除这些变量 当选中某些变量后 再单击Open按钮 将进入变量编辑器 通过变量编辑器可以直接观察变量中的具体元素 也可修改变量中的具体元素 clear命令用于删除MATLAB工作空间中的变量 who和whos这两个命令用于显示在MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清单 who命令只显示出驻留变量的名称 whos在给出变量名的同时 还给出它们的大小 所占字节数及数据类型等信息 x 1 2i y 3 sqrt 17 z cos abs x y sin 78 pi 180 x abs y z 0 3488 0 3286i whosNameSizeBytesClassA2x580doublearraya1x18doublearrayans3x124doublearrayx1x116doublearray complex y1x18doublearrayz1x116doublearray complex Grandtotalis17elementsusing152bytes whoYourvariablesare Aaansxyz 2 内存变量文件利用MAT文件可以把当前MATLAB工作空间中的一些有用变量长久地保留下来 扩展名是 mat MAT文件的生成和装入由save和load命令来完成 常用格式为 save文件名 变量名表 append ascii load文件名 变量名表 ascii 其中 文件名可以带路径 但不需带扩展名 mat 命令隐含一定对 mat文件进行操作 变量名表中的变量个数不限 只要内存或文件中存在即可 变量名之间以空格分隔 当变量名表省略时 保存或装入全部变量 2 1 4MATLAB常用数学函数MATLAB提供了许多数学函数 函数的自变量规定为矩阵变量 运算法则是将函数逐项作用于矩阵的元素上 因而运算的结果是一个与自变量同维数的矩阵 函数使用说明 1 三角函数以弧度为单位计算 2 abs函数可以求实数的绝对值 复数的模 字符串的ASCII码值 3 用于取整的函数有fix floor ceil round 要注意它们的区别 4 rem与mod函数的区别 rem x y 和mod x y 要求x y必须为相同大小的实矩阵或为标量 2 1 5数据的输出格式MATLAB用十进制数表示一个常数 具体可采用日常记数法和科学记数法两种表示方法 在一般情况下 MATLAB内部每一个数据元素都是用双精度数来表示和存储的 数据输出时用户可以用format命令设置或改变数据输出格式 format命令的格式为 format格式符其中格式符决定数据的输出格式 基本数论运算下取整 上取整 四舍五入 离0近方向取整 最简有理数 求模的余数 最大公约数 最小公倍数 质因数分解 判定是否为质数 例 对下面的数据进行取整运算 0 2765 0 5772 1 4597 2 1091 1 191 1 6187 A 0 2765 0 5772 1 4597 2 1091 1 191 1 6187 floor A 向 inf方向取整ans 10121 2 ceil A 向 inf方向取整ans 01232 1 round A 取最近的整数ans 01121 2 fix A 向0的方向取整ans 00121 1 formatrat a sin pi 6 a 1 2 abs 1 i ans 1393 985 sym abs 1 i ans sqrt 2 2 2MATLAB矩阵 2 2 1矩阵的建立1 直接输入法最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素 具体方法如下 将矩阵的元素用方括号括起来 按矩阵行的顺序输入各元素 同一行的各元素之间用空格或逗号分隔 不同行的元素之间用分号分隔 例 A 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 7 8 9 0 A 1234345656787890 2 利用M文件建立矩阵对于比较大且比较复杂的矩阵 可以为它专门建立一个M文件 下面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵 例2 2利用M文件建立MYMAT矩阵 1 启动有关编辑程序或MATLAB文本编辑器 并输入待建矩阵 2 把输入的内容以纯文本方式存盘 设文件名为mymatrix m 3 在MATLAB命令窗口中输入mymatrix 即运行该M文件 就会自动建立一个名为MYMAT的矩阵 可供以后使用 3 利用冒号表达式建立一个向量冒号表达式可以产生一个行向量 一般格式是 e1 e2 e3其中e1为初始值 e2为步长 e3为终止值 在MATLAB中 还可以用linspace函数产生行向量 其调用格式为 linspace a b n 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素 n是元素总数 显然 linspace a b n 与a b a n 1 b等价 4 建立大矩阵大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来 v1 0 0 2 piv1 Columns1through900 20000 40000 60000 80001 00001 20001 40001 6000Columns10through161 80002 00002 20002 40002 60002 80003 0000 linspace 0 1 10 ans Columns1through801 92 91 34 95 92 37 9Columns9through108 91 d linspace 0 1 5 d1 0 4 D d d1 D 01 41 23 4101234 D1 d d1 D1 Columns1through801 41 23 41012Columns9through1034 2 2 2矩阵的拆分1 矩阵元素通过下标引用矩阵的元素 例如A 3 2 200采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素 矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序 在MATLAB中 矩阵元素按列存储 先第一列 再第二列 依次类推 例如A 1 2 3 4 5 6 A 3 ans 2显然 序号 Index 与下标 Subscript 是一一对应的 以m n矩阵A为例 矩阵元素A i j 的序号为 j 1 m i 2 矩阵拆分 1 利用冒号表达式获得子矩阵 A j 表示取A矩阵的第j列全部元素 A i 表示A矩阵第i行的全部元素 A i j 表示取A矩阵第i行 第j列的元素 A i i m 表示取A矩阵第i i m行的全部元素 A k k m 表示取A矩阵第k k m列的全部元素 A i i m k k m 表示取A矩阵第i i m行内 并在第k k m列中的所有元素 此外 还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标 从而获得子矩阵 end表示某一维的末尾元素下标 基本语句格式B A v1 v2 v1 v2分别表示提取行 列 号构成的向量 例 A 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 7 8 9 0 A 1234345656787890 B1 A 1 2 end 提取全部奇数行 所有列 B1 12345678 子矩阵提取 B2 A 3 2 1 2 3 4 提取3 2 1行 2 3 4列构成子矩阵 A B2 1234678345645656782347890 B3 A end 1 1 将A矩阵左右翻转 即最后一列排在最前面 B3 4321654387650987 2 利用空矩阵删除矩阵的元素在MATLAB中 定义 为空矩阵 给变量X赋空矩阵的语句为X 注意 X 与clearX不同 clear是将X从工作空间中删除 而空矩阵则存在于工作空间中 只是维数为0 2 2 3特殊矩阵1 通用的特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有 zeros 产生全0矩阵 零矩阵 ones 产生全1矩阵 幺矩阵 eye 产生单位矩阵 rand 产生0 1间均匀分布的随机矩阵 randn 产生均值为0 方差为1的标准正态分布随机矩阵 例2 3分别建立3 3 3 2和与矩阵A同样大小的零矩阵 1 建立一个3 3零矩阵 zeros 3 2 建立一个3 2零矩阵 zeros 3 2 3 设A为2 3矩阵 则可以用zeros size A 建立一个与矩阵A同样大小零矩阵 A 123 456 产生一个2 3阶矩阵Azeros size A 产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵 例2 4建立随机矩阵 1 在区间 20 50 内均匀分布的5阶随机矩阵 2 均值为0 6 方差为0 1的5阶正态分布随机矩阵 命令如下 x 20 50 20 rand 5 y 0 6 sqrt 0 1 randn 5 此外 常用的函数还有reshape A m n 它在矩阵总元素保持不变的前提下 将矩阵A重新排成m n的二维矩阵 x 20 50 20 rand 5 x 26 083020 458232 559545 143635 084425 961742 403645 386620 589241 284138 113833 352935 754640 438332 866828 165647 954426 079431 384429 138525 964433 979840 164144 953925 6896 y 0 6 sqrt 0 1 randn 5 y 0 46320 97660 54100 63600 69310 07330 97600 82950 93730 17750 63960 58810 41400 61870 82590 69100 70351 29040 56981 11340 23750 65520 55690 33680 3812 2 用于专门学科的特殊矩阵 1 魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质 其每行 每列及两条对角线上的元素和都相等 对于n阶魔方阵 其元素由1 2 3 n 2共n 2个整数组成 MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic n 其功能是生成一个n阶魔方阵 M magic n returnsann by nmatrixconstructedfromtheintegers1throughn 2withequalrowandcolumnsums Theordernmustbeascalargreaterthanorequalto3 M magic 3 M 816357492 2 范得蒙矩阵范得蒙 Vandermonde 矩阵最后一列全为1 倒数第二列为一个指定的向量 其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积 可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵 在MATLAB中 函数vander V 生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵 例如 A vander 1 2 3 5 即可得到上述范得蒙矩阵 A vander v returnstheVandermondematrixwhosecolumnsarepowersofthevectorv thatis A i j v i n j wheren length v Examples A vander 1 2 3 5 A 11118421279311252551 3 希尔伯特矩阵在MATLAB中 生成希尔伯特矩阵的函数是hilb n 使用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果 MATLAB中 有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb n 其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵 例2 6求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵 命令如下 formatrat 以有理形式输出H hilb 5 H invhilb 5 formatrat D hilb 5 D 11 21 31 41 51 21 31 41 51 61 31 41 51 61 71 41 51 61 71 81 51 61 71 81 9 D1 invhilb 5 D1 25 3001050 1400630 3004800 1890026880 126001050 1890079380 11760056700 140026880 117600179200 88200630 1260056700 8820044100 det D ans 1 266716800000 4 伴随矩阵MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan p 其中p是一个多项式的系数向量 高次幂系数排在前 低次幂排在后 例如 为了求多项式的x3 7x 6的伴随矩阵 可使用命令 p 1 0 7 6 compan p DescriptionA compan u returnsthecorrespondingcompanionmatrixwhosefirstrowis u 2 n u 1 whereuisavectorofpolynomialcoefficients Theeigenvaluesofcompan u aretherootsofthepolynomial 2 3MATLAB运算2 3 1算术运算1 基本算术运算MATLAB的基本算术运算有 加 减 乘 右除 左除 乘方 注意 运算是在矩阵意义下进行的 单个数据的算术运算只是一种特例 1 矩阵加减运算假定有两个矩阵A和B 则可以由A B和A B实现矩阵的加减运算 运算规则是 若A和B矩阵的维数相同 则可以执行矩阵的加减运算 A和B矩阵的相应元素相加减 如果A与B的维数不相同 则MATLAB将给出错误信息 提示用户两个矩阵的维数不匹配 2 矩阵乘法假定有两个矩阵A和B 若A为m n矩阵 B为n p矩阵 则C A B为m p矩阵 A 123 234 456 A 123234456 B 123 234 131 B 123234131 C A BC 81714122522204138 3 矩阵除法在MATLAB中 有两种矩阵除法运算 和 分别表示左除和右除 如果A矩阵是非奇异方阵 则A B和B A运算可以实现 A B等效于A的逆左乘B矩阵 也就是inv A B 而B A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵 也就是B inv A 对于含有标量的运算 两种除法运算的结果相同 如3 4和4 3有相同的值 都等于0 75 又如 设a 10 5 25 则a 5 5 a 2 10005 0000 对于矩阵来说 左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系 对于矩阵运算 一般A B B A 4 矩阵的乘方一个矩阵的乘方运算可以表示成A x 要求A为方阵 x为标量 2 点运算在MATLAB中 有一种特殊的运算 因为其运算符是在有关算术运算符前面加点 所以叫点运算 点运算符有 和 两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算 要求两矩阵的维参数相同 2 3 2关系运算MATLAB提供了6种关系运算符 大于 大于或等于 等于 不等于 它们的含义不难理解 但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同 关系运算符的运算法则为 1 当两个比较量是标量时 直接比较两数的大小 若关系成立 关系表达式结果为1 否则为0 2 当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时 比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行 并给出元素比较结果 最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵 它的元素由0或1组成 3 当参与比较的一个是标量 而另一个是矩阵时 则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较 并给出元素比较结果 最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵 它的元素由0或1组成 例2 8产生5阶随机方阵A 其元素为 10 90 区间的随机整数 然后判断A的元素是否能被3整除 1 生成5阶随机方阵A A fix 90 10 1 rand 5 10 2 判断A的元素是否可以被3整除 P rem A 3 0其中 rem A 3 是矩阵A的每个元素除以3的余数矩阵 此时 0被扩展为与A同维数的零矩阵 P是进行等于 比较的结果矩阵 2 3 3逻辑运算MATLAB提供了3种逻辑运算符 与 或 和 非 逻辑运算的运算法则为 1 在逻辑运算中 确认非零元素为真 用1表示 零元素为假 用0表示 2 设参与逻辑运算的是两个标量a和b 那么 a ba b全为非零时 运算结果为1 否则为0 a ba b中只要有一个非零 运算结果为1 a当a是零时 运算结果为1 当a非零时 运算结果为0 3 若参与逻辑运算的是两个同维矩阵 那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行 最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵 其元素由1或0组成 4 若参与逻辑运算的一个是标量 一个是矩阵 那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行 最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵 其元素由1或0组成 5 逻辑非是单目运算符 也服从矩阵运算规则 6 在算术 关系 逻辑运算中 算术运算优先级最高 逻辑运算优先级最低 各种允许的比较关系 AA 123456780 find A 5 大于或等于5元素的下标ans 3568 矩阵的比较运算 i j find A 5 i j 显示行标 列标ans 31223223 all A 5 某列元素全大于或等于5时 相应元素为1 否则为0 ans 000 any A 5 某列元素中含有大于或等于5时 相应元素为1 否则为0 ans 111 2 4矩阵分析2 4 1对角阵与三角阵1 对角阵只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵 对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵 对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵 1 提取矩阵的对角线元素设A为m n矩阵 diag A 函数用于提取矩阵A主对角线元素 产生一个具有min m n 个元素的列向量 diag A 函数还有一种形式diag A k 其功能是提取第k条对角线的元素 2 构造对角矩阵设V为具有m个元素的向量 diag V 将产生一个m m对角矩阵 其主对角线元素即为向量V的元素 diag V 函数也有另一种形式diag V k 其功能是产生一个n n n m 对角阵 其第k条对角线的元素即为向量V的元素 例2 10先建立5 5矩阵A 然后将A的第一行元素乘以1 第二行乘以2 第五行乘以5 A 17 0 1 0 15 23 5 7 14 16 4 0 13 0 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 19 D diag 1 5 D A 用D左乘A 对A的每行乘以一个指定常数 2 三角阵三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵 所谓上三角阵 即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵 而下三角阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵 1 上三角矩阵求矩阵A的上三角阵的MATLAB函数是triu A triu A 函数也有另一种形式triu A k 其功能是求矩阵A的第k条对角线以上的元素 例如 提取矩阵A的第2条对角线以上的元素 形成新的矩阵B 2 下三角矩阵在MATLAB中 提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril A 和tril A k 其用法与提取上三角矩阵的函数triu A 和triu A k 完全相同 2 4 2矩阵的转置与旋转1 矩阵的转置转置运算符是单撇号 2 矩阵的旋转利用函数rot90 A k 将矩阵A旋转90 的k倍 当k为1时可省略 3 矩阵的左右翻转对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换 第二列和倒数第二列调换 依次类推 MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr A 4 矩阵的上下翻转MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud A 2 4 3矩阵的逆对于一个方阵A 如果存在一个与其同阶的方阵B 使得 A B B A I I为单位矩阵 则称B为A的逆矩阵 当然 A也是B的逆矩阵 求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作 容易出错 但在MATLAB中 求一个矩阵的逆非常容易 求方阵A的逆矩阵可调用函数inv A 例2 11用求逆矩阵的方法解线性方程组 Ax b其解为 x A 1b 2 4 4方阵的行列式把一个方阵看作一个行列式 并对其按行列式的规则求值 这个值就称为矩阵所对应的行列式的值 在MATLAB中 求方阵A所对应的行列式的值的函数是det A 2 4 5矩阵的秩与迹1 矩阵的秩矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩 在MATLAB中 求矩阵秩的函数是rank A 2 矩阵的迹矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和 也等于矩阵的特征值之和 在MATLAB中 求矩阵的迹的函数是trace A 2 4 6向量和矩阵的范数矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度 范数有多种方法定义 其定义不同 范数值也就不同 1 向量的3种常用范数及其计算函数在MATLAB中 求向量范数的函数为 1 norm V 或norm V 2 计算向量V的2 范数 2 norm V 1 计算向量V的1 范数 3 norm V inf 计算向量V的 范数 2 矩阵的范数及其计算函数MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数 其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同 2 4 7矩阵的条件数在MATLAB中 计算矩阵A的3种条件数的函数是 1 cond A 1 计算A的1 范数下的条件数 2 cond A 或cond A 2 计算A的2 范数数下的条件数 3 cond A inf 计算A的 范数下的条件数 2 4 8矩阵的特征值与特征向量在MATLAB中 计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig A 常用的调用格式有3种 1 E eig A 求矩阵A的全部特征值 构成向量E 2 V D eig A 求矩阵A的全部特征值 构成对角阵D 并求A的特征向量构成V的列向量 3 V D eig A nobalance 与第2种格式类似 但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量 而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量 例2 12用求特征值的方法解方程 3x5 7x4 5x2 2x 18 0p 3 7 0 5 2 18 A compan p A的伴随矩阵x1 eig A 求A的特征值x2 roots p 直接求多项式p的零点 p 3 7 0 5 2 18 A compan p A 2 33330 1 6667 0 66676 00001 0000000001 0000000001 0000000001 00000 x eig A x 2 18371 0000 1 0000i1 0000 1 0000i 0 9252 0 7197i 0 9252 0 7197i x2 roots p x2 2 18371 0000 1 0000i1 0000 1 0000i 0 9252 0 7197i 0 9252 0 7197i 2 5矩阵的超越函数1 矩阵平方根sqrtmsqrtm A 计算矩阵A的平方根 X X A 2 矩阵指数expm expm1 expm2 expm3expm A expm1 A expm2 A expm3 A 的功能都求矩阵指数eA 2 6稀疏矩阵技术 稀疏矩阵的建立 格式S sparse i j s m n 生成一mxn阶的稀疏矩阵 以向量i和j为坐标的位置上对应元素值为s 例 n 5 a1 sparse 1 n 1 n 4 ones 1 n n n a1 1 1 4 2 2 4 3 3 4 4 4 4 5 5 4 例 a2 sparse 2 n 1 n 1 ones 1 n 1 n n a2 2 1 1 3 2 1 4 3 1 5 4 1 full a2 ans 0000010000010000010000010 例 n 5 建立主对角线上元素为4 两条次对角线为1的三对角阵 n 5 a1 sparse 1 n 1 n 4 ones 1 n n n a2 sparse 2 n 1 n 1 ones 1 n 1 n n a a1 a2 a2 a 1 1 4 2 1 1 1 2 1 2 2 4 3 2 1 2 3 1 3 3 4 4 3 1 3 4 1 4 4 4 5 4 1 4 5 1 5 5 4 full a ans 4100014100014100014100014 格式A spdiags B d m n 生成一mxn阶的稀疏矩阵 使得B的列放在由d指定的位置 例 n 5 b spdiags ones n 1 4 ones n 1 ones n 1 1 0 1 n n full b ans 4100014100014100014100014 格式 spconvert dd 对于无规律的稀疏矩阵 可使用此命令由外部数据转化为稀疏矩阵 调用形式为 先用load函数加载以行表示对应位置和元素值的 dat文本文件 再用此命令转化为稀疏矩阵 例 无规律稀疏矩阵的建立 首先编制文本文件sp dat如下 515 00358 00442 00550 loadsp dat spconvert sp ans 5 1 5 4 4 2 3 5 8 full ans ans 0000000000000080002050000