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阶段质量检测（二） 平面向量(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知平面向量a(2，1)，b(1,3)，那么|ab|等于()A5B.C. D13解析：选B因为ab(3,2)，所以|ab|，故选B.2已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则()A4 B3C2 D1解析：选B因为mn(23,3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(mn)(mn)(23,3)(1，1)260，解得3.3设点A(1,2)，B(2,3)，C(3，1)，且23，则点D的坐标为()A(2,16) B(2，16)C(4,16) D(2,0)解析：选A设D(x，y)，由题意可知(x1，y2)，(3,1)，(1，4)，232(3,1)3(1，4)(3,14)故选A.4某人在静水中游泳，速度为4 km/h，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为()A90 B30C45 D60解析： 选D如图，用表示水速，表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为AOC.于是tanAOC，AOC60，故选D. 5设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且2，2，2，则与 ()A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直解析：选A()()()，()与平行且方向相反6设a，b是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|解析：选C若|ab|a|b|，则a，b共线，即存在实数，使得ab，故C正确；选项A：当|ab|a|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若ab，由矩形得|ab|a|b|不成立；选项D：若存在实数，使得ba，a，b可为同向的共线向量，此时显然 |ab|a|b|不成立7已知平面上直线l与e所在直线平行且e，点O(0,0)和A(1，2)在l上的射影分别是O和A，则e，其中等于()A. BC2 D2解析：选D由题意可知|cos()(为与e的夹角)O(0,0)，A(1，2)，(1，2)e，e1(2)2|e|cos ，|cos 2.又|e|，2.又由已知可得0，则ABC为锐角三角形其中正确的命题有()A BC D解析：选C，错误0，正确由()()0，得|，ABC为等腰三角形，正确0cos，0，即cos A0，A为锐角，但不能确定B，C的大小，不能判定ABC是否为锐角三角形，错误，故选C.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分请把正确答案填在题中横线上)9已知向量a，b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|_.解析：|5ab| 7.答案：710在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_，y_.解析：2，.，()，().又xy，x，y.答案：11已知向量a，b是互相垂直的单位向量，且cacb1，则|c|_，|a2b3c|_.解析：不妨设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则cax1，cby1，所以c(1，1)，|c|.所以a2b3c(2，5)，所以|a2b3c|.答案：12若向量a与b满足|a|，|b|2，(ab)a.则向量a与b的夹角等于_，|ab|_.解析：因为(ab)a，所以(ab)aa2ab0，所以ab2，所以cosa，b，所以a，b.因为|ab|2a22abb2222410，所以|ab|.答案：13设非零向量a，b的夹角为，记f(a，b)acos bsin ，若e1，e2均为单位向量，且e1e2，则向量f(e1，e2)的模为_，向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为_解析：e1e2，且e1，e2均为单位向量，向量e1与e2的夹角为30，f(e1，e2)e1cos 30e2sin 30e1e2，|f(e1，e2)| .向量e1与e2的夹角为30，向量e2与e1的夹角为150，f(e2，e1)e2cos 150e1sin 150e1e2，f(e1，e2)f(e2，e1)ee1e2e0，故向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为.答案：14已知向量与的夹角为120 ，且|3，|2.若，且，则实数的值为_解析：，由于，所以0，即()()22(1)94(1)320，解得.答案：15.如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，AB2，ADDC1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，(1)，则的取值范围是_解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,1)，C(1,1)设Q(m，n)，由得，(m，n1)(1,0)，即m，n1.又B(2,0)，设P(s，t)，由(1)得，(s1，t1)(1)(1，1)，即s2，t，所以(2)23，0,1故0,2答案：0,2三、解答题(本大题共5小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)平面内有向量(1,7)，(5,1)，(2,1)，点M为直线OP上的一动点(1)当取最小值时，求的坐标；(2)在(1)的条件下，求cosAMB的值解：(1)设(x，y)，点M在直线OP上，向量与共线，又(2,1)x1y20，即x2y.(2y，y)又，(1,7)，(12y,7y)同理(52y,1y)于是(12y)(52y)(7y)(1y)5y220y12.可知当y2时，有最小值8，此时(4,2)(2)当(4,2)，即y2时，有(3,5)，(1，1)，|，|，(3)15(1)8.cosAMB.17(本小题满分15分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足20，(1)用，表示.(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形解：(1)因为2 0，所以2()()0，220，所以2.(2)证明：如图，(2)故.即DAOC，且DAOC，故四边形OCAD为梯形18(本小题满分15分) 如图，平行四边形ABCD中，a，b，H，M分别是AD，DC的中点，F使BFBC.(1)以a，b为基底表示向量与；(2)若|a|3，|b|4，a与b的夹角为120，求.解：(1)连接AF，由已知得DMab.ab，HAbab.(2)由已知得ab|a|b|cos 120346，从而|a|2ab|b|232(6)42.19(本小题满分15分)在ABC中，0，|12，|15，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点(1)求的值；(2)判断的值是否为一个常数，并说明理由解：(1)0，ABAC.又|12，|15，|9.由已知可得()，()()()(14481).(2)的值为一个常数理由：l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点，0.故().20(本小题满分15分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(1,2)，且点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin ，t)，.(1)若a，且|，求向量；(2)若向量与向量a共线，当k4，且tsin 取最大值4时，求.解：(1)因为(n8，t)，且a，所以8n2t0，即n82t.又|，所以564(n8)2t25t2，解得t8.所以(24,8)或(8，8)(2)因为(ksin 8，t)，与a共线，所以t2ksin 16.又tsin (2ksin 16)sin 2k2，当k4时，10，所以当sin 时，tsin 取得最大值；由4，得k8，此时，故(4,8)，所以848032.
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