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解答题滚动练41已知ABC中，若角A，B，C对应的边分别为a，b，c，满足a4cosC0，b1.(1)若ABC的面积为，求a；(2)若A，求ABC的面积解(1)由SabsinCasinC，得asinC，即sin C.又a4cos C，那么216cos2C16(1sin2C)16，即a414a2490，得到a27，即a.(2)由题意有a4cos C及余弦定理cosC，则a4，即a21c2，又由b2c2a22bccos A，可知c2a21c，由得到c23c60，亦即0，可知c或c2.经检验知，c或c2均符合题意那么ABC的面积为SbcsinA或 .2已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于一点O，A60，将BDC沿着BD折起得BDC，连接AC.(1)求证：平面AOC平面ABD；(2)若点C在平面ABD上的投影恰好是ABD的重心，求直线CD与平面ADC所成角的正弦值(1)证明因为COBD，AOBD，COAOO，所以BD平面COA，又因为BD平面ABD，所以平面AOC平面ABD.(2)解方法一设C在平面ABD上的投影为H，即CH平面ABD，过点H作HPCD交AD于点P，过点H作HKAD于点K，连接CK，并过H作HQCK于点Q，因为CH平面ABD，即ADCH，且有HKAD，HKCHH，HK，CH平面KCH，所以AD平面KCH，又QH平面KCH，所以ADQH，又因为HQCK，且ADCKK，AD，CK平面ADC，故HQ平面ADC，从而知HPQ是PH与平面ADC所成的角，设ABa，则在RtHPQ中有PH，HQa，所以sinHPQ，所以PH与平面ADC所成角的正弦值为，故CD与平面ADC所成角的正弦值为.方法二如图，以点O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系令ABa，则A，B，D，C，设平面ADC的法向量为m(x，y，z)，由yx，zx，可取m，cos，m，故CD与平面ADC所成角的正弦值为.3已知椭圆C：1(ab0)的焦距与椭圆：x21的短轴长相等，且C与的长轴长相等(1)求椭圆C的方程；(2)设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，不经过F1的直线l与椭圆C交于两个不同的点A，B，如果直线AF1，l，BF1的斜率依次成等差数列，求AOB的面积的最大值解(1)由题意可得故椭圆C的方程为1.(2)设直线l的方程为ykxm，代入椭圆方程1，整理得(34k2)x28kmx4m2120，由(8km)24(34k2)(4m212)0，得m24k23.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.因为F1(1,0)，所以kAF1，kBF1.因为2k，且y1kx1m，y2kx2m，所以(mk)(x1x22)0，因为直线AB：ykxm不过焦点F1(1,0)，所以mk0，所以x1x220，从而x1x22，即m.由得2.过O点作直线AB的垂线，垂足为M，则|OM|，|AB|x1x2|，AOB的面积SAOB|OM|AB|m|，当且仅当k2时等号成立，满足0，故AOB的面积的最大值为.4已知函数f(x).(1)若曲线f(x)在x2处的切线过原点，求实数a的值；(2)若1ax3x2.参考数据：e2.7.(1)解因为f(x)，所以f(x).由题意知，曲线yf(x)在x2处的切线过原点，则切线斜率kf(2)，即，整理得1，所以a1.(2)证明由1a0，所以f(x)x3x2等价于x2x0.设g(x)x2x，则g(x)2x1.由x0且axa1，可知g(x)ea+1(a1)(a2)设ta1，则t(2,3)设h(t)ett(t1)，则h(t)et2t1，设(t)et2t1，则(t)et2，易知当t(2,3)时，(t)0，所以h(t)在(2,3)上单调递增，所以h(t)et2t1e22210，所以h(t)在(2,3)上单调递增，所以h(t)e260，所以ett(t1)0，即ea+1(a1)(a2)0，所以当x(a，a1)时，g(x)0，即当x(a，a1)时，f(x)x3x2.
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