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课时分层作业 三十三 数列的综合应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知a,b,c是三个不同的实数,若a,b,c成等差数列,且b,a,c成等比数列,则abc为()A.214B.(-2)14C.124D.1(-2)4【解析】选B.由a,b,c成等差数列,设a=m-d,b=m,c=m+d,d0,因为b,a,c成等比数列,所以a2=bc,即(m-d)2=m(m+d),化简,得d=3m,则a=-2m,b=m,c=4m,所以abc=(-2)14.2.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+f(2n)等于()A.n(2n+3)B.n(n+4)C.2n(2n+3)D.2n(n+4)【解析】选A.由题意可设f(x)=kx+1(k0),则(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+f(2n)=(22+1)+(24+1)+(22n+1)=n(2n+3).3.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9【解析】选D.由题可知a,b是x2-px+q=0的两根,所以a+b=p0,ab=q0,故a,b均为正数.因为a,b,-2适当排序后成等比数列,所以-2是a,b的等比中项,所以ab=4,所以q=4.又a,b,-2适当排序后成等差数列,所以-2是第一项或第三项,不妨设a0,所以a=1,此时b=4,所以p=a+b=5,所以p+q=9.当b0且q1),由a3=a2+a1,得q2-q-1=0,解得q=,而=.答案:5.(2018宜宾模拟)数列an的通项an=n(cos2-sin2),其前n项和为Sn,则S40为()A.10B.15C.20D.25【解析】选C.由题意得,an=n(cos2-sin2)=ncos,则a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n2n,则S40=(a1+a3+a39)+(a2+a4+a6+a40)=-2+4-+40=20.二、填空题(每小题5分,共15分)6.对于每一个正整数n,设曲线y=xn+2在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=log2xn,则a1+a2+a3+a62=_.【解析】因为y=(n+2)xn+1,当x=1时,y=n+2,所以曲线y=xn+2在点(1,1)处的切线方程为y=(n+2)x-(n+1),令y=0,得xn=.所以an=log2xn=log2.所以a1+a2+a3+a62=log2=log2=-5.答案:-57.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN*)等于_.【解析】每天植树的棵数构成以2为首项,2为公比的等比数列,其前n项和Sn=2n+1-2.由2n+1-2100,得2n+1102,由于26=64,27=128,则n+17,即n6.答案:68.(2018襄阳模拟)用g(n)表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数,例如:9的因数有1,3,9,则g(9)=9,10的因数有1,2,5,10,g(10)=5,那么g(1)+g(2)+g(2n-1)=_.世纪金榜导学号37680545【解析】由g(n)的定义易知g(n)=g(2n),且若n为奇数则g(n)=n,令f(n)=g(1)+g(2)+g(3)+g(2n-1)则f(n+1)=g(1)+g(2)+g(3)+g(-1)=1+3+(-1)+g(2)+g(4)+g(-2)=+g(1)+g(2)+g(2n-1)=4n+f(n),即f(n+1)-f(n)=4n,据此可得:f(1)=1,f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(n)-f(n-1)=4n-1,以上各式相加可得:f(n)=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018南宁模拟)某体育场一角的看台共有20排,且此看台的座位是这样排列的:第一排有2个座位,从第二排起每一排比前一排多1个座位,记an表示第n排的座位数.(1)确定此看台共有多少个座位.(2)求数列的前20项和S20.【解析】(1)由题可知数列an是首项为2,公差为1的等差数列,所以an=2+n-1=n+1(1n20).所以此看台的座位数为=230.(2)因为=-,所以S20=1-+-+-=1-=.10.已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比中项.(1)设cn=-,nN*,求证:数列cn是等差数列.(2)设a1=d,Tn=(-1)k,nN*,求证:.【解析】(1)cn=-=an+1an+2-anan+1=2dan+1.cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2为定值.所以数列是等差数列.(2)Tn=(-1)k=c1+c3+c2n-1=nc1+4d2=nc1+2d2n(n-1)(*).由已知c1=-=a2a3-a1a2=2da2=2d(a1+d)=4d2,将c1=4d2代入(*)式得Tn=2d2n(n+1),所以=0,则a3=a1q2,a2=a1q,所以 a1q2=a1+2a1q,所以 q2=1+2q,解得q1=1+,q2=1-(舍),=q2=(+1)2=3+2.答案:3+24.(12分)已知数列an的首项a1=,an+1=,nN*.(1)求证:数列为等比数列.(2)记Sn=+,若Sn100,求最大正整数n.【解析】(1)由an+1=可得=+,所以-1=-=.又因为-1=0,所以-10(nN*).所以数列是首项为,公比为的等比数列.(2)由(1)可得-1=,所以=2+1.Sn=+=n+2=n+2=n+1-,若Sn100,则n+1-0,其前n项和为Sn,且S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差数列.(1)求数列an的通项公式.(2)若数列bn满足an+1=,Tn为数列bn的前n项和,若Tnm恒成立,求m的最大值.【解析】(1)由题意可知:2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2),即2(a1+a2+2a3)=(a1+a1)+(a1+2a2),即4a3=a1,所以q2=,因为q0,所以q=,因为a1=1,所以an=,nN*.(2)因为an+1=,所以=,所以bn=n2n-1,所以Tn=11+22+322+n2n-1,所以2Tn=12+222+323+n2n,所以-得-Tn=1+2+22+2n-1-n2n=-n2n=(1-n)2n-1,所以Tn=1+(n-1)2n.因为Tnm恒成立,只需(Tn)minm.因为Tn+1-Tn=n2n+1-(n-1)2n=(n+1)2n0,所以数列Tn为递增数列,故当n=1时,(Tn)min=1,所以m1,所以m的最大值为1.
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