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第2课时抛物线的几何性质的应用学习目标1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题知识点直线与抛物线的位置关系1直线与抛物线的位置关系与公共点个数位置关系公共点个数相交有两个或一个公共点相切有且只有一个公共点相离无公共点2.直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的个数当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有一个公共点；当0)的通径长为2a.()题型一直线与抛物线的位置关系例1已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？解由方程组消去y，得k2x2(2k24)xk20，(2k24)24k416(1k2)(1)若直线与抛物线有两个交点，则k20且0，即k20且16(1k2)0，解得k(1,0)(0,1)所以当k(1,0)(0,1)时，直线l和抛物线C有两个交点(2)若直线与抛物线有一个交点，则k20或当k20时，0，解得k0或k1.所以当k0或k1时，直线l和抛物线C有一个交点(3)若直线与抛物线无交点，则k20且1或k1或k0.设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，y1y2，y1y2.P1P2的中点为(4,1)，2，k3，适合式所求直线方程为y13(x4)，即3xy110，y1y22，y1y222，|P1P2|.方法二设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)则y6x1，y6x2，yy6(x1x2)，又y1y22，3，所求直线的斜率k3，所求直线方程为y13(x4)，即3xy110.由得y22y220，y1y22，y1y222，|P1P2|.题型三抛物线性质的综合应用命题角度1抛物线中的定点(定值)问题例3已知点A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点(1)解设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有kOA，kOB.因为OAOB，所以kOAkOB1，所以x1x2y1y20.因为y2px1，y2px2，所以y1y20.因为y10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p2.(2)证明因为y2px1，y2px2，所以(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，所以，所以kAB，故直线AB的方程为yy1(xx1)，所以yy1，即y.因为y2px1，y1y24p2，所以y，所以y(x2p)，即直线AB过定点(2p,0)反思感悟在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化跟踪训练3如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值证明方法一设AB的斜率为k，则AC的斜率为k.把直线AB的方程y2k(x4)与y2x联立得y2k(y24)，即ky2y4k20.y2是此方程的一个解，2yB，yB，xBy，B.kACk，以k代替k代入B点坐标得C.kBC，为定值方法二设B(y，y1)，C(y，y2)，则kBC.kAB，kAC，由题意得kABkAC，则y1y24，则kBC，为定值命题角度2对称问题例4在抛物线y24x上恒有两点A，B关于直线ykx3对称，求k的取值范围解因为A，B两点关于直线ykx3对称，所以可设直线AB的方程为xkym.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线AB的方程代入抛物线方程，得y24ky4m0，设AB的中点坐标为M(x0，y0)，则y02k，x02k2m.因为点M(x0，y0)在直线ykx3上，所以2kk(2k2m)3，即m.因为直线AB与抛物线y24x交于A，B两点，所以16k216m0，把m代入，化简，得0，所以0，所以0，解得1k0，得a0或a0)，则点M到焦点的距离为xM23，p2，y24x.y428，|OM|2.5已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK|AF|，则AFK的面积为()A4B8C16D32考点抛物线的定义题点抛物线定义的其他应用答案B解析易知F(2,0)，K(2,0)，过点A作AM垂直准线于点M，则|AM|AF|.|AK|AM|，AMK为等腰直角三角形设A(m2,2m)(m0)，则AFK的面积S2m44m.又由|AK|AM|，得(m22)28m22(m22)2，解得m.AFK的面积S4m8.6直线ykx2交抛物线y28x于A，B两点，若AB的中点的横坐标为2，则k等于()A2或2B1C2D3答案C解析由题意知得k2x2(4k8)x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2，即x1x24，x1x24，k2或1，经判别式检验知k2符合题意7已知直线l：yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|2|BN|，则k的值是()A.B.C2D.答案D解析设抛物线C：y28x的准线为m：x2.直线yk(x2)(k0)恒过定点P(2,0)，如图，过点A，B分别作AMm于点M，BNm于点N.由|AM|2|BN|，得点B为AP的中点，连接OB，则|OB|AF|，|OB|BF|，点B的横坐标为1，点B的坐标为(1,2)把B(1,2)代入直线l：yk(x2)(k0)，解得k，故选D.二、填空题8平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x1的距离相等若机器人接触不到过点P(1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_答案(，1)(1，)解析由题意知机器人进行的轨迹为以F(1,0)为焦点，x1为准线的抛物线，其方程为y24x.设过点P(1,0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)代入y24x，得k2x2(2k24)xk20.机器人接触不到该直线，(2k24)24k41，k1或k1.9抛物线焦点在y轴上，截得直线yx1的弦长为5，则抛物线的标准方程为_答案x220y或x24y解析设抛物线方程为x2ay(a0)，由得x2xa0.设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2a，|AB|5，得a20或4，经检验，a20或4都符合题意抛物线方程为x220y或x24y.10已知抛物线y2x2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线yxm对称若2x1x21，则2m的值是_答案3解析由题意，得k2(x2x1)1，x2x1.m，y1y2x1x22m，2x2x2m，即2(x1x2)24x1x22m，2m3.11抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.答案6解析抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y.代入1，得|x|.若ABF为等边三角形，则tan，解得p236，p6.三、解答题12已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点(1)求证：OAOB；(2)当OAB的面积等于时，求k的值(1)证明如图所示，由消去x，得ky2yk0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1y21，y1y2.因为A，B在抛物线y2x上，所以yx1，yx2，所以yyx1x2.因为kOAkOB1，所以OAOB.(2)解设直线与x轴交于点N，显然k0，令y0，得x1，即N(1,0)，因为SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|，所以SOAB1.因为SOAB，所以，解得k.13在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点解(1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线方程y24x，消去x，得y24ty40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24.所以x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x，得y24ty4b0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.因为x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，又4，b24b4，解得b2，故直线l过定点(2,0)14如图，已知点F为抛物线C：y24x的焦点，点P是其准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点若点P的纵坐标为m(m0)，点D为准线l与x轴的交点，则DAB的面积S的取值范围为_答案(4，)解析由抛物线C：y24x可得焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PF的方程为yk(x1)(k0)联立方程组消去y，得k2x2(2k24)xk20，则x1x22，x1x21，|AB|.点D(1,0)到直线AB的距离d，Sd|AB|44，DAB的面积S的取值范围为(4，)15已知F是抛物线y22px(p0)的焦点，点A(4,2)为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，|PA|PF|的最小值为8.(1)求抛物线的方程；(2)是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线交于B，C两点(异于坐标原点)，且以BC为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由解(1)设抛物线的准线为l，过点P作PDl于点D，过A作AEl于点E(图略)由抛物线的定义，知|PF|PD|，所以|PA|PF|PA|PD|AE|，当且仅当A，P，E三点共线时取等号由题意知|AE|8，即48，得p8，所以抛物线的方程为y216x.(2)假设存在点M，当直线BC的斜率存在时，设过点M的直线方程为ykxb.显然k0，b0，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由以BC为直径的圆恰好过坐标原点，得0，即x1x2y1y20，把ykxb代入y216x，得k2x22(bk8)xb20，由根与系数的关系，得又y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2bk(x1x2)b2，所以y1y2，所以0，得b16k.所以过点M的直线方程为ykx16kk(x16)，必过定点(16,0)当直线BC的斜率不存在时，直线x16交抛物线于B(16，16)，C(16,16)或B(16,16)，C(16，16)，仍然有0.综上，存在点M(16,0)满足条件
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