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2.5直线与圆锥曲线的位置关系学习目标1.了解直线与圆锥曲线的交点个数与相应方程组的解的对应关系.2.能用判别式法研究直线与圆锥曲线的位置关系.3.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的简单问题的基本解法.4.掌握直线与圆锥曲线有关的综合问题的解决方法1直线与圆锥曲线的位置关系(1)相离直线与圆锥曲线无公共点(2)相切直线与圆锥曲线有一个公共点(3)相交2弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|x1x2|y1y2|.3直线与圆锥曲线位置关系的判定直线与圆锥曲线的方程联立，消元得方程ax2bxc0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a0，02相交a0，01相切a0，02相交a0，01相切a0，02相交a0，01相切a0，0，即m2，设中点M(x，y)，交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以消去m，得x24y24y0.2典例中若直线与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长解由得(4m21)x28mx30，64m212(4m21)16m2120，即m或m0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点类型二弦长问题例2(2017宁波检测)设椭圆M：1(ab0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线yxm交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求PAB面积的最大值解(1)由题意可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e.由得a2，c，b，故椭圆M的方程为1.(2)联立方程消去y，得4x22mxm240，由8m216(m24)0，得2mb0)，直线l1：1被椭圆C截得的弦长为2，过椭圆C的右焦点且斜率为的直线l2被椭圆C截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆C的方程解由l1被椭圆C截得的弦长为2，得a2b28.设l2：y(xc)，代入椭圆C的方程并化简，得(b23a2)x26a2cxa2(3c2b2)0.设直线l2与椭圆C交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，从而|x1x2|，则由弦长公式，得|MN|.化简，得a23b2.联立a2b28，a23b2，得a26，b22，故椭圆C的方程为1.类型三圆锥曲线中的综合问题例3已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.椭圆C的方程为y21.(2)证明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设椭圆上一点P(x0，y0)，则y1.当x00时，直线PA的方程为y(x2)，令x0得yM.从而|BM|1yM|.直线PB的方程为yx1.令y0得xN.|AN|2xN|.|AN|BM|4.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值反思与感悟定值问题类型及常见解法(1)直线过定点型，一般通过运算使直线方程中只含一个参数来求定点(2)参数和为定值型，往往把参数用交点坐标表示，根据根与系数的关系代入化简为某一常数跟踪训练3椭圆C：1(ab0)的离心率e，ab3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2mk为定值(1)解因为e，故1，所以a2b.再由ab3，得a2，b1，故椭圆C的方程为y21.(2)证明因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则可设BP的方程为yk(x2).将代入y21，解得P.又直线AD的方程为yx1，与联立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三点共线可解得N.所以MN的斜率为m，则2mkk(定值)例4(2017杭州检测)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点当OPQ的面积最大时，求直线l的方程解(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故椭圆E的方程为y21.(2)当直线lx轴时不合题意，故设直线l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21得，(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，直线l的方程为yx2.反思与感悟最值问题的两种常见求法(1)数形结合法：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时，可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时0等)，通过解不等式(组)求得参数的取值范围(2)目标函数法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域，最后确定最值跟踪训练4已知椭圆1，动直线l与椭圆交于B，C两点若点B的坐标为，求OBC面积的最大值解直线OB的方程为yx，即3x2y0，设经过点C且平行于直线OB的直线l的方程为yxb，则当l与椭圆只有一个公共点时，OBC的面积最大联立化为3x23bxb230，由9b212(b23)0，解得b2.当b2时，C；当b2时，C.所以OBC面积的最大值为.1平面上到定点A(1,0)和到定直线l：x2y30的距离相等的点的轨迹为()A直线B抛物线C双曲线D椭圆答案B2一条直线与双曲线的两支交点个数最多为()A1B2C3D4答案B3抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B4若直线axy10与抛物线y24x有两交点，则实数a的取值范围是_答案(，0)(0,1)5已知椭圆1(ab0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，|AB|2，则该椭圆的方程为_，离心率为_答案11解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切2在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件一、选择题1(2017金华检测)直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为()A1B1或3C0D1或0答案D2(2017台州检测)已知双曲线1(a0，b0)与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1，C(，) D，)答案C3过抛物线y28x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|6，则的值为()A.B.C.D3答案D4已知双曲线1 (b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1答案D5已知双曲线方程为1，过点(2，0)作直线l与双曲线交于两点A，B，记满足|AB|m的直线l的条数为f(m)，则f(m)的可能取值为()A0,2,4B1,2,3,4C0,1,2,3,4D2,4答案A6(2017金华检测)过抛物线x24y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且ABCD，则的最大值等于()A4B16C4D8答案B二、填空题7若斜率为的直线l与椭圆1(ab0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为_答案8抛物线焦点在y轴上，截得直线yx1的弦长为5，则抛物线的标准方程为_，准线方程为_答案x24y或x220yy1或y59设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围为_答案(2,4)解析如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条当k存在时，x1x2，则有2，又y1y22y0，所以y0k2.由CMAB，得k1，即y0k5x0，因此25x0，x03，即M必在直线x3上将x3代入y24x，得y212，则有2y02.因为点M在圆上，所以(x05)2yr2，故r2y44(为保证有4条，在k存在时，y00)，所以4r216，即2rb0)，其中e，焦距为2，过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间，又点A，B的中点横坐标为，且.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数的值解(1)由条件可知，c1，a2，故b2a2c23，椭圆的标准方程是1.(2)由，可知A，B，M三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，显然AB所在直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x4)由消去y，得(34k2)x232k2x64k2120，由的判别式322k44(4k23)(64k212)144(14k2)0，解得k2b0)的左、右顶点分别为A，B，其离心率e，点M为椭圆上的一个动点，MAB面积的最大值是2.(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当0时，求点P的坐标解(1)由题意可知解得a2，b，所以椭圆方程是1.(2)由(1)知B(2,0)，设直线BD的方程为yk(x2)，D(x1，y1)，把yk(x2)代入椭圆方程1.整理得(34k2)x216k2x16k2120，所以2x1，即x1，则D，所以BD中点的坐标为，则直线BD的垂直平分线方程为y，得P，又0，即0，化简得0，即16k47k290，解得k.故P或.13(2017绍兴检测)如图，已知抛物线C1：yx2，圆C2：x2(y1)21，过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点(1)求点A，B的坐标；(2)求PAB的面积解(1)由题意可知，直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为yk(xt)，由消去y整理得x24kx4kt0.因为直线PA与抛物线相切，所以16k216kt0，解得kt.所以x2t，即点A(2t，t2)圆C2的圆心为D(0,1)，设点B的坐标为(x0，y0)，由题意知，点B，O关于直线PD对称，故有解得x0，y0.即点B.(2)由(1)知，|AP|t，直线AP的方程为txyt20，所以点B到直线PA的距离为d.所以PAB的面积为S|AP|d.四、探究与拓展14已知双曲线x21，过点P(2,1)作一条直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为_，方程为_答案66xy11015(2017杭州检测)已知椭圆1(ab0)的离心率为，且经过点P，过它的两个焦点F1，F2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，且l1l2.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围解(1)由，得a2c，所以a24c2，b23c2，将点P的坐标代入椭圆方程得c21，故所求椭圆方程为1.(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积S6.若l1与l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l2的斜率为.不妨设直线l1的方程为yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y整理得，(4k23)x28k2x4k2120，64k44(34k2)(4k212)144k21440，x1x2，x1x2，所以|x1x2|.|AB|x1x2|.同理可得|CD|，所以S|AB|CD|，令k2t(0，)，S66，故S，综上可知，四边形ACBD面积S的取值范围是.
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