(浙江专版)2018-2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 直线与圆锥曲线的位置关系学案 新人教A版选修2-1.doc

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2.5直线与圆锥曲线的位置关系学习目标1.了解直线与圆锥曲线的交点个数与相应方程组的解的对应关系.2.能用判别式法研究直线与圆锥曲线的位置关系.3.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的简单问题的基本解法.4.掌握直线与圆锥曲线有关的综合问题的解决方法1直线与圆锥曲线的位置关系(1)相离直线与圆锥曲线无公共点(2)相切直线与圆锥曲线有一个公共点(3)相交2弦长公式当直线与圆锥曲线相交时,往往涉及弦的长度,可利用弦长公式表示弦长,从而研究相关的问题,弦长公式为:若直线l的斜率为k,与圆锥曲线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|x1x2|y1y2|.3直线与圆锥曲线位置关系的判定直线与圆锥曲线的方程联立,消元得方程ax2bxc0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a0,02相交a0,01相切a0,02相交a0,01相切a0,02相交a0,01相切a0,0,即m2,设中点M(x,y),交点A(x1,y1),B(x2,y2),所以消去m,得x24y24y0.2典例中若直线与椭圆相交于A,B两点,求弦AB的长解由得(4m21)x28mx30,64m212(4m21)16m2120,即m或m0,即3m3时,方程有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0,即m3时,方程有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0,即m3时,方程没有实数根,可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点类型二弦长问题例2(2017宁波检测)设椭圆M:1(ab0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数,且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程;(2)若直线yxm交椭圆M于A,B两点,P(1,)为椭圆M上一点,求PAB面积的最大值解(1)由题意可知,双曲线的离心率为,则椭圆的离心率e.由得a2,c,b,故椭圆M的方程为1.(2)联立方程消去y,得4x22mxm240,由8m216(m24)0,得2mb0),直线l1:1被椭圆C截得的弦长为2,过椭圆C的右焦点且斜率为的直线l2被椭圆C截得的弦长是椭圆长轴长的,求椭圆C的方程解由l1被椭圆C截得的弦长为2,得a2b28.设l2:y(xc),代入椭圆C的方程并化简,得(b23a2)x26a2cxa2(3c2b2)0.设直线l2与椭圆C交于点M(x1,y1),N(x2,y2)由根与系数的关系,得x1x2,x1x2,从而|x1x2|,则由弦长公式,得|MN|.化简,得a23b2.联立a2b28,a23b2,得a26,b22,故椭圆C的方程为1.类型三圆锥曲线中的综合问题例3已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:|AN|BM|为定值(1)解由已知,ab1.又a2b2c2,解得a2,b1,c.椭圆C的方程为y21.(2)证明由(1)知,A(2,0),B(0,1)设椭圆上一点P(x0,y0),则y1.当x00时,直线PA的方程为y(x2),令x0得yM.从而|BM|1yM|.直线PB的方程为yx1.令y0得xN.|AN|2xN|.|AN|BM|4.当x00时,y01,|BM|2,|AN|2,|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值反思与感悟定值问题类型及常见解法(1)直线过定点型,一般通过运算使直线方程中只含一个参数来求定点(2)参数和为定值型,往往把参数用交点坐标表示,根据根与系数的关系代入化简为某一常数跟踪训练3椭圆C:1(ab0)的离心率e,ab3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2mk为定值(1)解因为e,故1,所以a2b.再由ab3,得a2,b1,故椭圆C的方程为y21.(2)证明因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设BP的方程为yk(x2).将代入y21,解得P.又直线AD的方程为yx1,与联立解得M.由D(0,1),P,N(x,0)三点共线可解得N.所以MN的斜率为m,则2mkk(定值)例4(2017杭州检测)已知点A(0,2),椭圆E:1(ab0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点(1)求椭圆E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点当OPQ的面积最大时,求直线l的方程解(1)设F(c,0),由条件知,得c.又,所以a2,b2a2c21.故椭圆E的方程为y21.(2)当直线lx轴时不合题意,故设直线l:ykx2,P(x1,y1),Q(x2,y2)将ykx2代入y21得,(14k2)x216kx120.当16(4k23)0,即k2时,x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d,所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t,则t0,SOPQ.因为t4,当且仅当t2,即k时等号成立,且满足0,所以当OPQ的面积最大时,直线l的方程为yx2.反思与感悟最值问题的两种常见求法(1)数形结合法:当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时,可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(如双曲线的范围,直线与圆锥曲线相交时0等),通过解不等式(组)求得参数的取值范围(2)目标函数法:当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时,则可先建立目标函数,进而转化为求解函数的值域,最后确定最值跟踪训练4已知椭圆1,动直线l与椭圆交于B,C两点若点B的坐标为,求OBC面积的最大值解直线OB的方程为yx,即3x2y0,设经过点C且平行于直线OB的直线l的方程为yxb,则当l与椭圆只有一个公共点时,OBC的面积最大联立化为3x23bxb230,由9b212(b23)0,解得b2.当b2时,C;当b2时,C.所以OBC面积的最大值为.1平面上到定点A(1,0)和到定直线l:x2y30的距离相等的点的轨迹为()A直线B抛物线C双曲线D椭圆答案B2一条直线与双曲线的两支交点个数最多为()A1B2C3D4答案B3抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B4若直线axy10与抛物线y24x有两交点,则实数a的取值范围是_答案(,0)(0,1)5已知椭圆1(ab0),F(,0)为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,|AB|2,则该椭圆的方程为_,离心率为_答案11解决直线与圆锥曲线的交点问题时,主要方法是构建一元二次方程,判断其解的个数确定斜率与直线的倾斜角时,应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形,以及在双曲线和抛物线中,直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切2在探求最值时,常结合几何图形的直观性,充分利用平面几何结论,借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解同时,要注意未知数的取值范围、最值存在的条件一、选择题1(2017金华检测)直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点,则k的值为()A1B1或3C0D1或0答案D2(2017台州检测)已知双曲线1(a0,b0)与直线y2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A(1,) B(1,C(,) D,)答案C3过抛物线y28x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交抛物线的准线于C,若|AF|6,则的值为()A.B.C.D3答案D4已知双曲线1 (b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1答案D5已知双曲线方程为1,过点(2,0)作直线l与双曲线交于两点A,B,记满足|AB|m的直线l的条数为f(m),则f(m)的可能取值为()A0,2,4B1,2,3,4C0,1,2,3,4D2,4答案A6(2017金华检测)过抛物线x24y的焦点F作直线AB,CD与抛物线交于A,B,C,D四点,且ABCD,则的最大值等于()A4B16C4D8答案B二、填空题7若斜率为的直线l与椭圆1(ab0)有两个不同的交点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为_答案8抛物线焦点在y轴上,截得直线yx1的弦长为5,则抛物线的标准方程为_,准线方程为_答案x24y或x220yy1或y59设直线l与抛物线y24x相交于A,B两点,与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围为_答案(2,4)解析如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则两式相减得,(y1y2)(y1y2)4(x1x2)当l的斜率k不存在时,符合条件的直线l必有两条当k存在时,x1x2,则有2,又y1y22y0,所以y0k2.由CMAB,得k1,即y0k5x0,因此25x0,x03,即M必在直线x3上将x3代入y24x,得y212,则有2y02.因为点M在圆上,所以(x05)2yr2,故r2y44(为保证有4条,在k存在时,y00),所以4r216,即2rb0),其中e,焦距为2,过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A,B,点B在AM之间,又点A,B的中点横坐标为,且.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求实数的值解(1)由条件可知,c1,a2,故b2a2c23,椭圆的标准方程是1.(2)由,可知A,B,M三点共线,设点A(x1,y1),点B(x2,y2),显然AB所在直线l的斜率存在,设直线l的方程为yk(x4)由消去y,得(34k2)x232k2x64k2120,由的判别式322k44(4k23)(64k212)144(14k2)0,解得k2b0)的左、右顶点分别为A,B,其离心率e,点M为椭圆上的一个动点,MAB面积的最大值是2.(1)求椭圆的方程;(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D,线段BD的垂直平分线与y轴交于点P,当0时,求点P的坐标解(1)由题意可知解得a2,b,所以椭圆方程是1.(2)由(1)知B(2,0),设直线BD的方程为yk(x2),D(x1,y1),把yk(x2)代入椭圆方程1.整理得(34k2)x216k2x16k2120,所以2x1,即x1,则D,所以BD中点的坐标为,则直线BD的垂直平分线方程为y,得P,又0,即0,化简得0,即16k47k290,解得k.故P或.13(2017绍兴检测)如图,已知抛物线C1:yx2,圆C2:x2(y1)21,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点(1)求点A,B的坐标;(2)求PAB的面积解(1)由题意可知,直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为yk(xt),由消去y整理得x24kx4kt0.因为直线PA与抛物线相切,所以16k216kt0,解得kt.所以x2t,即点A(2t,t2)圆C2的圆心为D(0,1),设点B的坐标为(x0,y0),由题意知,点B,O关于直线PD对称,故有解得x0,y0.即点B.(2)由(1)知,|AP|t,直线AP的方程为txyt20,所以点B到直线PA的距离为d.所以PAB的面积为S|AP|d.四、探究与拓展14已知双曲线x21,过点P(2,1)作一条直线交双曲线于A,B两点,并使P为AB的中点,则直线AB的斜率为_,方程为_答案66xy11015(2017杭州检测)已知椭圆1(ab0)的离心率为,且经过点P,过它的两个焦点F1,F2分别作直线l1与l2,l1交椭圆于A,B两点,l2交椭圆于C,D两点,且l1l2.(1)求椭圆的标准方程;(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围解(1)由,得a2c,所以a24c2,b23c2,将点P的坐标代入椭圆方程得c21,故所求椭圆方程为1.(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为0,此时四边形的面积S6.若l1与l2的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l2的斜率为.不妨设直线l1的方程为yk(x1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y整理得,(4k23)x28k2x4k2120,64k44(34k2)(4k212)144k21440,x1x2,x1x2,所以|x1x2|.|AB|x1x2|.同理可得|CD|,所以S|AB|CD|,令k2t(0,),S66,故S,综上可知,四边形ACBD面积S的取值范围是.
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