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考点规范练32二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固组1.若点(1,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为()A.2B.1C.3D.0答案B解析由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)0,即b-78(b-2)0,解得78b2,则b应取的整数为1.2.(2018浙江杭州高三模拟)定义maxa,b=a,ab,b,ab,已知实数x,y满足|x|1,|y|1,设z=maxx+y,2x-y,则z的取值范围是()A.-32,2B.32,2C.32,3D.-32,3答案D解析由题意知z=maxx+y,2x-y=x+y,x+y2x-y,2x-y,x+y0,如下图,当z=x+y时,对应的点落在直线x-2y=0的左上方,此时-32z2;当z=2x-y时,对应的点落在直线x-2y=0的右下方,此时-32z3.故选D.3.若变量x,y满足x+y2,2x-3y9,x0,则x2+y2的最大值是()A.4B.9C.10D.12答案C解析如图,不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x2+y2表示点(x,y)到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值|OC|2=10,故选C.4.已知实数x,y满足x+y-20,2x-y+20,y0,则目标函数z=x-y的最小值等于()A.-1B.-2C.2D.1答案B解析由不等式组得到可行域如下图中阴影部分.目标函数可变形为y=x-z,当此直线经过图中点B时z最小,所以最小值为z=0-2=-2.故选B.5.设集合A=(x,y)x-y-10,3x-y+10,x,yR3x+y-10,则A表示的平面区域的面积是()A.2B.32C.322D.1答案B解析画出不等式组x-y-10,3x-y+10,3x+y-10所表示的平面区域如图中阴影部分所示,联立3x+y-1=0,3x-y+1=0,得A(0,1),联立3x-y+1=0,x-y-1=0,得B-1,-2,联立3x+y-1=0,x-y-1=0,得C12,-12.设直线x-y-1=0交y轴于点D(0,-1),则不等式组表示的平面区域的面积为S=SABD+SACD=1221+12212=32.故选B.6.(2018浙江高考)若x,y满足约束条件x-y0,2x+y6,x+y2,则z=x+3y的最小值是,最大值是.答案-28解析由约束条件x-y0,2x+y6,x+y2画出可行域,如图所示的阴影部分.由z=x+3y,可知y=-13x+z3.由题意可知,当目标函数的图象经过点B时,z取得最大值,当目标函数的图象经过点C时,z取得最小值.由y=x,2x+y=6,得x=2,y=2,此时z最大=2+32=8,由2x+y=6,x+y=2,得x=4,y=-2,此时z最小=4+3(-2)=-2.7.若实数x,y满足不等式x-2y+80,x-y-10,2x+y-40,则yx+1的最小值是;|2x-y-2|的最大值是.答案149解析不等式组表示的可行域为如图的ABC及内部区域,其中A53,23,B(10,9),C(0,4),yx+1=kPQ,其中Q(-1,0),P是可行域内的点,由图可知,kPQ的最小值为kQA=14,|2x-y-2|=5|2x-y-2|5=5d,其中d为可行域内点到直线2x-y-2=0的距离,由图可知当点P与点B重合时,取到最大,其值为9.8.若函数y=kx的图象上存在点(x,y)满足约束条件x+y-30,x-2y-30,x1,则实数k的最大值为.答案2解析约束条件对应的平面区域是以点(1,2),(1,-1)和(3,0)为顶点的三角形,当直线y=kx经过点(1,2)时,k取得最大值2.能力提升组9.在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域x-20,x+y0,x-3y+40中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=()A.22B.4C.32D.6答案C解析画出不等式组x-20,x+y0,x-3y+40表示的平面区域如图阴影部分所示.作出直线x+y-2=0.设直线x-3y+4=0与x+y=0的交点为C,直线x=2与直线x+y=0的交点为D.过C作CA直线x+y-2=0于点A,过D作DB直线x+y-2=0于点B,则区域中的点在直线x+y-2=0上的投影为AB.直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,|CD|=|AB|.由x-3y+4=0,x+y=0,得x=-1,y=1,C点坐标为(-1,1).由x=2,x+y=0,得x=2,y=-2,D点坐标为(2,-2).|CD|=9+9=32,即|AB|=32.故选C.10.(2018浙江绍兴5月模拟)已知实数x,y满足约束条件y1,y2x-1,x+ym,目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m=()A.7B.5C.4D.1答案B解析绘制题干中不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,联立直线方程y=2x-1,y=-x+m可得交点A的坐标为m+13,2m-13.由目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值,即有m+13-2m-13=-1,解得m=5.故选B.11.若变量x,y满足约束条件x+y3,x-y-1,2x-y3,且z=ax+3y的最小值为7,则a的值为()A.1B.2C.-2D.不确定答案B解析由约束条件x+y3,x-y-1,2x-y3作出可行域如图中阴影部分,联立方程组求得A(2,1),B(4,5),C(1,2),化目标函数z=ax+3y为y=-a3x+z3.当a0时,由图可知,当直线y=-a3x+z3过点A或点C时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值.若过点A,则2a+3=7,解得a=2;若过点C,则a+6=7,解得a=1,不合题意.当a0时,由图可知,当直线y=-a3x+z3过点A或点B时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值.若过点A,则2a+3=7,解得a=2,不合题意;若过点B,则4a+15=7,解得a=-2,不合题意.所以a的值为2.故选B.12.已知实数x,y满足|x-y|1,|x+y|3,则|3x+y|的最大值为()A.5B.6C.7D.8答案C解析实数x,y满足|x-y|1,|x+y|3的可行域如右图中阴影部分所示.则|3x+y|的最大值就是平移图中的两条虚线,可知过点B时有最优解,由x-y=1,x+y=3,解得x=2,y=1,则点B的坐标为(2,1),|3x+y|的最大值为32+1=7.故选C.13.若存在实数x,y使不等式组x-y0,x-3y+20,x+y-60与不等式x-2y+m0都成立,则实数m的取值范围是()A.m0B.m3C.m1D.m3答案B解析作出不等式组x-y0,x-3y+20,x+y-60表示的平面区域,得到如图的ABC及其内部,其中A(4,2),B(1,1),C(3,3).设z=F(x,y)=x-2y,将直线l:z=x-2y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最大值,可得z最大值=F(4,2)=0;当l经过点C时,目标函数z达到最小值,可得z最小值=F(3,3)=-3.因此,z=x-2y的取值范围为-3,0,存在实数m,使不等式x-2y+m0成立,即存在实数m,使x-2y-m成立,-m大于或等于z=x-2y的最小值,即-3-m,解得m3.故选B.14.若不等式组x-y+50,ya,0x2表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是.答案5a0,b0,求ab的最大值;(2)当x0,1时,f(x)1恒成立,且2a+3b3,求z=a+b+2a+1的取值范围.解(1)f(x)=(3a-2)x+b-a,f23=203,a+b-43=203,即a+b=8.a+b2ab,4ab,ab16,a0,b0,当且仅当a=b=4时等号成立,(ab)max=16.(2)当x0,1时,f(x)1恒成立,且2a+3b3,f(0)1,f(1)1,且2a+3b3,即b-a1,b+2a3,2a+3b3,满足此不等式组的点(a,b)构成图中的阴影部分,由图可求得经过两点(a,b)与(-1,-1)的直线的斜率的取值范围是25,2.z=a+b+2a+1=b+1a+1+1的取值范围是75,3.
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