matlab中的微分方程.ppt

2 5微分方程 2 5 1常微分方程的符号解 Maltlab提供了求解线性常微分方程函数r dsolve eq1 eq2 cond1 cond2 v 可以有以下几种调用格式 1 r dsolve eqn v 输入利用符号方程表示的微分方程eqn v为自变量 系统缺省的自变量为t 返回方程通解 2 r dsolve eq1 eq2 v 输入量eq1 eq2 为利用符号方程表示的常微分方程组 其它同1 3 r dsolve eq1 cond1 cond2 v 输入利用符号方程表示的微分方程eqn 而cond1 cond2 表示初始条件 4 r dsolve eq1 eq2 cond1 cond2 v 输入量eq1 eq2 为利用符号方程表示的常微分方程组 而cond1 cond2 表示初始条件 注意 在调用此函数之前 必须首先将给定的常微分方程或方程组中的一阶导数用D表示 如写成Dy 写成Dny 解 1 Y Z dsolve Dy 3 y 2 z Dz 2 y z x 2 本题是同济大学数学教研室编写的 高等数学 中的例题 书中没有给出明确的通解表达式 X Y dsolve D2y Dy x exp t D2y Dx y 0 2 5 2常微分方程的数值解 1 在求常微分方程数值解方面 MATLAB具有丰富的函数 我们将其统称为solver 其一般格式为 T Y solver odefun tspan y0 该函数表示在区间tspan t0 tf 上 用初始条件y0求解显式常微分方程 其中odefun为显式常微分方程中的 tspan为求解区间 要获得问题在其他指定点上的解 则令 要求ti单调 y0初始条件 Solver可取命令ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s ode23t ode23tb等 1 T Y ode45 odefun tspan y0 大部分场合的首选算法 一步算法 4 5阶Runge Kutta方法累积截断误差 2 T Y ode23 odefun tspan y0 适用于精度较低的情形 一步算法 2 3阶Runge Kutta方法累积截断误差 3 T Y ode113 odefun tspan y0 计算速度较快 多步算法 Adams算法 高低精度均可达到 4 T Y ode23t odefun tspan y0 采用梯形算法 适度刚性方程情形 5 T Y ode15s odefun tspan y0 若ode45失效时 可尝试使用其解决问题 Gear s反向数值积分 精度中等 6 T Y ode23s odefun tspan y0 一步法 2阶Rosebrock算法 低精度 2 在求解过程中有时需要对求解算法和控制条件进行进一步设置 这是可以通过求解过程中的options变量进行修改 初始options变量可以通过odeset 获取 该函数为创建或改写ODE选项构架参数值 1 options odeset name1 value1 name2 value2 创建ODE选项构架参数值 控制参数 name1 name2 的属性值通过value1 value2 来设定 常用控制参数主要有 RelTol 为相对容许上限 默认0 001 AbsTol 为一个向量 其分量表示每个状态变量允许的绝对误差 其默认值为10 6 MaxStep 为求解方程最大允许的步长 Mass 微分代数方程中的质量矩阵 可用于描述微分代数方程 2 options odeset oldopts name1 value1 改写现有oldopts的options结构体 3 options odeset oldopts newopts 通过与新newopts的options结构体合并 改写现有oldopts的options结构体 fun inline 2 y 2 x x 2 x x y ode23 fun 0 0 5 1 解 首先建立名为rigid M的函数functiondy rigid t y dy zeros 3 1 acolumnvectordy 1 y 2 y 3 dy 2 y 1 y 3 dy 3 0 51 y 1 y 2 由已知得初始条件向量 011 设置允许误差分别为 10 410 510 6 相对容许上限10 4 然后在窗口中输入 options odeset RelTol 1e 4 AbsTol 1e 41e 41e 5 T Y ode45 rigid 012 011 options plot T Y 1 T Y 2 T Y 3 首先建立vdp1 M文件 functiondydt vdp1 t y dydt y 2 1 y 1 2 y 2 y 1 然后建立M文件 并运行 t y ode45 vdp1 020 2 0 plot t y 1 t y 2 title SolutionofvanderPolEquation mu 1 xlabel timet ylabel solutiony legend y 1 y 2 2 5 3偏微分方程的解法及应用 使用GUI求解偏微分方程的一般步骤是 1 区域设置2 设置边界条件3 设置方程类型4 网格剖分5 初值和误差的设置6 数值解的输出7 解的图形 使用程序常用命令有 1 g circleg 调用几何体函数circleg m2 b circleb1 调用边界条件函数circleb m3 u assempde b p e t c a f 解偏微分方程4 pet initmesh h 对几何区域进行初始网格剖分5 pdemesh p e t u 绘制PDE的三角形网格图6 pdesurf p t u 绘制PDE的表面图 解决这个问题可以通过使用图形用户界面 GraphicalUserInterface 简记为GUI 则可通过在命令窗口键入pdetool 回车后出现PDEToolbox窗口 然后通过一系列按钮你输入命令的方式完成 这里只给出Matlab程序求解PDE问题的方法 输入命令为 g circleg h hmax 调用已有函数 p e t initmesh g h 1 对几何区域进行初始网格err 1 whileerr 0 001 p e t refinemesh g p e t 加密网格b circleb1 调用已有函数u assempde b p e t 1 0 1 解偏微分方程exact 1 p 1 2 p 2 2 4 给出精确解err norm u exact inf endpdemesh p e t 绘制网格图figure pdesurf p t u 新开窗口 绘制方程解的曲面图figure pdesurf p t u exact 新开窗口 绘制误差图 2 5 4传染病传播问题 1 求导函数diff 2 绘图函数plot 3 微分方程求解函数dsolve ode45等 2 5 5人口增长的预测 1 拟合函数polyfitpolyfit x y n x y为要拟合的数据 n为希望最佳拟合数据的多项式的次数 如果我们选择n 1 得到最简单的线性近似 通常称为线性回归 如果我们选择n 2作为阶次 得到一个2阶多项式 返回值为多项式的系数 高次在前 低次在后 2 多项式函数的预测值polyvalY polyval p x 求polyfit所得的多项式在x处的预测值Y p是polyfit函数的返回值 x和polyfit函数的x值相同 3 函数插值interp1 interp2 interp31 一维插值 interp1 x y cx method 此函数对于数据分析和曲线拟合都是很重要的 它应用多项式技术用多项式函数拟合提供的已知数据 通过已知的点求出一个适当的函数 并提供理想的插值点 其中y为包含函 数值的矢量 x是与y长度相同的矢量 包含与y相对应的取值 矢量cx包含用于插值的点 第四个参数 method 用于指定插值方法 主要包括 邻近插值 nearest 线性插值 linear 样条插值 spline 立方插值 cubic 2 二维插值interp2 X Y Z X1 Y1 method Z为包含二维函数值的数组 数组X与Y具有相同的大小 为对应于Z的取值的自变量组成的数组 X1与Y1为用于插值的数组 参数 method 用于指定插值方法 主要包括 邻近插值 nearest 双线性插值 linear 二重三次方插值 cubic 3 三维插值interp3 X Y Z V X1 Y1 Z1 method 实现三维数据插值 X1 Y1与Z1为用于确定插值点函数值的三个自变量的值的组成的数组 对于有三个自变量的函数v f x y z 任意一点 x y z 存在与之对应的值v 在插值时必须指定X Y Z的三个数组及其与之对应的函数值组V method 用于指定插值方法 主要包括 邻近插值 nearest 三次线性插值 linear 三次立方插值 cubic