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课时规范练50抛物线一、基础巩固组1.(2017广西桂林一模)若抛物线y2=2px(p0)上的点A(x0,2)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于()A.12B.1C.32D.22.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=42,则POF的面积为()A.2B.22C.23D.43.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于()A.2B.4C.6D.84.(2017山西运城模拟)已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为()A.x2=32yB.x2=6yC.x2=-3yD.x2=3y5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,若|AB|=6,则线段AB的中点M的横坐标为()A.2B.4C.5D.66.(2017黑龙江大庆二模,理11)已知抛物线y2=4x,过焦点F作直线与抛物线交于点A,B(点A在x轴下方),点A1与点A关于x轴对称,若直线AB斜率为1,则直线A1B的斜率为()A.33B.3C.22D.27.如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=3x导学号215007638.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.9.已知点F为抛物线y2=12x的焦点,过点F的直线l与抛物线在第一象限内的交点为A,过A作AH垂直抛物线的准线于H,若直线l的倾斜角0,3,则AFH面积的最小值为.10.(2017全国,理16)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=.导学号21500764二、综合提升组11.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.355B.2C.115D.312.(2017河北衡水中学三调,理11)如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p0),过点A(0,-1)作直线与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP与x轴分别相交于M,N两点.如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,则MBN的大小等于()A.2B.4C.23D.313.(2017北京顺义二模,理13)已知抛物线y2=2px(p0)的准线为l,若l与圆x2+y2+6x+5=0的交点为A,B,且|AB|=23,则p的值为.14.(2017石家庄二中模拟,理20)已知点F(1,0),动点M,N分别在x轴,y轴上运动,MNNF,Q为平面上一点,NQ+NF=0,过点Q作QP平行于x轴交MN的延长线于点P.(1)求点P的轨迹曲线E的方程;(2)过点Q作x轴的垂线l,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交曲线E于A,B两点(直线AB不过点F),交l于C,D两点.若线段AB中点的轨迹方程为y2=2x-4,求CDF与ABF的面积之比.导学号21500765三、创新应用组15.(2017山东菏泽一模)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,以抛物线C上的点M(x0,22)x0p2为圆心的圆与y轴相切,与线段MF相交于点A,且被直线x=p2截得的弦长为3|MA|,若|MA|AF|=2,则|AF|=.课时规范练50抛物线1.D由题意,3x0=x0+p2,x0=p4,p22=2.p0,p=2,故选D.2.C利用|PF|=xP+2=42,可得xP=32.yP=26.SPOF=12|OF|yP|=23.故选C.3.D由题设知线段AB的中点到准线的距离为4.设A,B两点到准线的距离分别为d1,d2.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=24=8.4.D设点M(x1,y1),N(x2,y2).由x2=ay,y=2x-2消去y,得x2-2ax+2a=0,所以x1+x22=2a2=3,即a=3,因此所求的抛物线方程是x2=3y.5.A抛物线y2=4x,p=2.设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,AB中点横坐标为x0=12(x1+x2)=12(|AB|-p)=2,故选A.6.C抛物线y2=4x上的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),A1(x1,-y1),则可设直线AB的方程为y=x-1,联立方程y=x-1,y2=4x,可得x2-6x+1=0,则有x1+x2=6,x1x2=1,直线A1B的斜率k=y2-(-y1)x2-x1=y2+y1x2-x1=x1+x2-2(x1+x2)2-4x1x2=22,所以直线A1B的斜率为22,故选C.7.C如图,分别过点A,B作AA1l于点A1,BB1l于点B1,由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.|BC|=2|BF|,|BC|=2|BB1|.BCB1=30,AFx=60.连接A1F,则AA1F为等边三角形,过点F作FF1AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,则|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即p=32,故抛物线方程为y2=3x.8.2由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.363设点A的坐标为(x,y)(y0),直线l的倾斜角0,3,则x9.故AFH的面积S=12(x+3)y.令t=S2=14(x+3)212x=3x(x+3)2.则t=3(x+3)2+6x(x+3)=3(x+3)(3x+3)0,函数t单调递增.故当x=9时,S最小,此时Smin2=39122,即Smin=363.10.6设N(0,a),由题意可知F(2,0).又M为FN的中点,则M1,a2.因为点M在抛物线C上,所以a24=8,即a2=32,即a=42.所以N(0,42).所以|FN|=(2-0)2+(042)2=6.11.B由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F(1,0),则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是|4-0+6|5=2.12.D设直线PQ的方程为y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),由y=kx-1,x2=2py,得x2-2pkx+2p=0,则x1+x2=2pk,x1x2=2p,kBP=y1-1x1,kBQ=y2-1x2,kBP+kBQ=y1-1x1+y2-1x2=kx1-2x1+kx2-2x2=2kx1x2-2(x1+x2)x1x2=2k2p-22pk2p=0,即kBP+kBQ=0,又kBPkBQ=-3,联立解得kBP=3,kBQ=-3,所以BNM=3,BMN=3,故MBN=-BNM-BMN=3,故选D.13.4或8抛物线y2=2px的焦点Fp2,0,准线x=-p2,准线与x轴相交于点H.圆x2+y2+6x+5=0的标准方程为(x+3)2+y2=4,则圆心E(-3,0),半径为2,假设抛物线的准线在圆心的右侧,由|AB|=23,则A-p2,3,则|AH|=3,|AE|=2,|EH|=1,则|EH|+p2=|OE|,即1+p2=3,则p=4.设抛物线的准线在圆心的左侧,由|AB|=23,则A-p2,3,则|AH|=3,|AE|=2,则|OE|+|EH|=p2,即3+1=p2,则p=8,p的值为4或8.14.解 (1)设P(x,y),由N为Q,F的中点可得N为P,M的中点,则M,N分别为M(-x,0),N0,y2,MN=x,y2,NF=1,-y2,由MNNF=0可得点P的轨迹方程为y2=4x.(2)设直线AB与x轴的交点为G(a,0),设Ay124,y1,By224,y2,A,B中点为M(x,y),当AB与x轴不垂直时,由kAB=kMG得4y1+y2=yx-a,而y1+y22=y,则42y=yx-a,即y2=2(x-a),即a=2.当AB与x轴垂直时,A,B中点M与G(a,0)重合,此时a=2.由N为Q,F的中点,可知过点Q作x轴的垂线l即为抛物线y2=4x的准线,SCDF=12|y1-y2|2,SABF=12|y1-y2|a-1|=12|y1-y2|1,CDF与ABF的面积之比为2.15.1由抛物线的定义得|MF|=x0+p2.圆与y轴相切,|MA|=x0.圆被直线x=p2截得的弦长为3|MA|,圆心到直线x=p2的距离为|MA|2-32|MA|2=12|MA|,|MA|=2x0-p2,2x0-p2=x0,解得x0=p.M(p,22),2p2=8,p=2.|MA|AF|=2,|AF|=12|MA|=12p=1,|AF|=1.
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