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专题03利用导数研究函数的性质第四季1函数存在唯一的零点，且 ，则实数的取值范围是_【答案】【解析】故x=是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点函数f（x）=ax3+3x2-1存在唯一的零点x0，且x00，则 即a24得a2（舍）或a-2当a0时0，当x或x0时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增；当x0时，f（x）0，此时函数f（x）单调递减x=是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点f（0）=-10，函数f（x）在（0，+）上存在一个零点，此时不满足条件综上可得：实数a的取值范围是（-，-2）故答案为：（-，-2）2函数，若与有相同值域，则实数的取值范围是_。【答案】【解析】由题知，()，令，()，则，()，当时，而，即，当时，而，即，当时，故在上单调递增，即在上单调递增。因为0，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以在时取得最小值为，故的值域为。因为与有相同值域，则要求的范围包含，且为正，所以，即.故答案为.3已知函数f1（x）=ax2，f2（x）=x3+x2，f（x）=f1（x）+f2（x），设f（x）的导函数为f（x），若不等式f1（x）f（x）f2（x）在区间（1，+）上恒成立，则a的取值范围为_【答案】 【解析】f（x）=ax2+x3+x2=x3+（1a）x2，f（x）=3x2+2（1a）x，f1（x）f（x）f2（x）在区间（1，+）上恒成立，即ax23x2+2（1a）xx3+x2恒成立，ax23x2+2（1a）x，可化为（a+3）x+2（1a）0，解得3a5；3x2+2（1a）xx3+x2可化为2ax2+2x+2，而x2+2x+2=（x1）2+33，2a3，即，由可得，实数a的取值范围是，故答案为4若，不等式恒成立，则正实数的取值范围是_.【答案】【解析】实数0，若对任意的x（0，+），不等式ex0恒成立，即为（ex ）min0，设f（x）ex，x0，f（x）ex，令f（x）0，可得ex，由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，可得yex和y有且只有一个交点，设为（m，n），当xm时，f（x）0，f（x）递增；当0xm时，f（x）0，f（x）递减即有f（x）在xm处取得极小值，且为最小值即有em，令em0，可得me，则当时，不等式ex0恒成立故答案为.5已知函数的定义域为，对，则的解集为_【答案】【解析】设，则，则等价于，又对任意，即在上单调递增，则的解集为，即的解集为，故答案为.6已知函数关于的不等式只有一个整数解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由，令，解得，令，解得，的递增区间为，递减区间为，故的最大值是，时，时，且，故在时，在时，函数的图象如图，时，由不等式得或，而时无整数解，的解集为，整数解有无数多个，不合题意；时，由不等式得解集为，整数解有无数多个，不合题意；时，由不等式，得或，的解集为无整数解，只需的解集整数解只有一个， 且在上递增，在递减，而，这一正整数只能为3， ，综上所述，的取值范围是，故答案为.7在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线t2y21（t2，3）的右焦点为F，过F作双曲线的渐近线的垂线，垂足为H，则OFH面积的取值范围为_【答案】【解析】在双曲线中，右焦点为，渐近线方程为，面积，令，解得当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故面积的取值范围为，故答案为.8已知函数f（x）k（xlnx）+（kR），如果函数f（x）在定义域内只有一个极值点，则实数k的取值范围是_【答案】【解析】函数，令，解得或，令，可得，可得时，函数取得极小值，可得时，令， 没有根，此时函数只有一个极值点1；时, 有根，但不是极值点，此时函数也只有一个极值点1 ,满足题意；时，有解，函数有两个或三个极值点，不满足条件，舍去，综上所述，实数的取值范围是，故答案为.9是定义在上的函数,其导函数为若，则不等式 (其中为自然对数的底数)的解集为_【答案】不等式的解集为，故答案为.10设函数,若函数有6个不同的零点,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】已知函数对其求导得,令求得当时,即函数在上单调递增,且恒成立当时,函数在上单调递减当时,函数在上单调递增,故,又因为在上,存在x使得，所以当直线与有三个交点时，由题意知，有6个不等的实数根，设则关于t的方程有两个不等的实数根，且即在内有2个不等的实数根由于当时，等式成立当时，故a的范围为11函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_【答案】【解析】，则，因为函数在上单调增，可得在上恒成立，即，令，则，所以，因为在上是增函数，所以其最大值为，所以实数的取值范围是.12对于三次函数，有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程=0有实数解，则称点为函数的“拐点”。若点是函数的“拐点”也是函数图像上的点，则当时，函数的函数值为_【答案】2【解析】函数，因为是函数的“拐点”，且是函数图象上的点，所以，即解得，所以，当时，函数的函数值为，故答案为2.13已知偶函数满足：当时，若恰有三个零点，则的取值范围是_【答案】【解析】因为当时，所以，又因为为偶函数，所以恰有三个零点等价于在恰有一个零点，令，得，所以与函数的图象恰有一个交点，因为函数与函数的图象关于对称，解法二：如图，由于，函数的图象与直线有一个公共点为，当函数的图象与直线切于原点时，由图可知，的取值范围为.14设实数x，y满足，则z=的取值范围是_【答案】-1，1【解析】0，由，得，由y，得y0在（，+）上恒成立，可得y在（，+）上为增函数，则xy而z由约束条件画出可行域如图：的几何意义为可行域内的动点与定点P（2，0）连线的斜率，联立，解得，则B（1，1），z的取值范围为1，1，故答案为：1，115函数，对于，都有，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意，函数是定义在上的奇函数，在为单调递增，且，即，即作出与的图象，直线作为曲线切线可求得，当时，；作出与的图象，时，故，综上可得.16函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=ex-alnx+c（a0，c0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是_.【答案】（，）【解析】因为 与 是在（0，+）上的平行曲线，且|AB|0，所以可将的图像上下平移得到的图像。因为，设，因为 ，代入可得 所以令，分离参数 ，得。令因为在（2,3）上存在唯一零点，即 与在（2,3）有且仅有一个交点。因为在 时，所以在上单调递增。若满足即 与在（2,3）有且仅有一个交点所以，代入即 的取值范围为17函数在上的零点有_个.【答案】5【解析】由得，.令则. 在 上单减，在 上单增. 令，其中 ,则，在 上单减，且，所以存在唯一的，使得 ,因此函数在 上单增，在上单减,又因为,所以在上有两个零点,而在 上的图象与函数 的图象有3个交点. 函数在上的零点有5个，故正确答案是518已知函数,若函数有唯一零点,则以下四个命题中正确的是_（填写正确序号）. .函数在处的切线与直线平行.函数在上的最大值为.函数在 上单调递减【答案】【解析】令，化简得，化为两个函数，由于两个函数只有一个交点，故在交点处有相同的交点坐标以及相同的斜率.即，（1）式两边乘以，然后减去（2）式，得，注意到当时，等式成立，故，代入（1）求得.所以正确.由，当时，而直线斜率为，故正确.对于，其导数，函数单调递增，故当时有最大值为，故错误.对于，其导数，故函数在上递减，所以也在上递减，故正确.综上所述，正确的有.19已知，为曲线：上在轴两侧的点，过，分别作曲线的切线，则两条切线与轴围成的三角形面积的最小值为_【答案】【解析】因为P，Q为曲线：上在轴两侧的点，设，且，又因为曲线：在点的切线斜率为，所以曲线在P，Q两点处的切线分别为和，与x轴交点分别为，直线和的交点为，所求图形面积，即，令，假设时，才能取最小值，令，则，当，即时，同理，当时，所以当且时，最小，解得，20已知实数，满足，其中是自然对数的底数，那么的最小值为_【答案】因为，求曲线上与直线平行的切线即，解得 ，所以切点为，该切点到直线的距离，就是所求两曲线间的最小距离，所以的最小值为 。
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