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考点测试47圆与方程高考概览考纲研读1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系3能用直线和圆的方程解决一些简单的问题4初步了解用代数方法处理几何问题的思想一、基础小题1圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21答案A解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知1，解得b2，故圆的方程为x2(y2)21故选A2若点P(1,1)为圆C：(x3)2y29的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A2xy30 Bx2y10Cx2y30 D2xy10答案D解析圆心C(3,0)，kPC，则kMN2，所以弦MN所在直线的方程为y12(x1)，即2xy10故选D3圆O1：x2y22x0与圆O2：x2y24y0的位置关系是()A相离 B相交 C外切 D内切答案B解析圆O1：x2y22x0的圆心为O1(1,0)，半径r11；圆O2：x2y24y0的圆心为O2(0,2)，半径r22由于1|O1O2|3，故两圆相交故选B4经过三点A(1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆的面积是()A B2 C3 D4答案D解析如图，根据A，B，C三点的坐标可以得出ACBC2，AB4，所以ACBC，所以AB为过A，B，C三点的圆的直径，且该圆的圆心坐标为(1,0)，圆的半径为2，所以圆的面积为SR2224故选D5对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22x20的位置关系是()A相离 B相切C相交 D以上三个选项均有可能答案C解析直线ykx1恒经过点A(0，1)，又02(1)220210，得点A在圆内，故直线ykx1与圆x2y22x20相交，故选C6设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，则原点与该圆的位置关系是()A原点在圆上 B原点在圆外C原点在圆内 D不确定答案B解析将圆的方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a，因为0a0，所以原点在圆外故选B7若圆x2y2a2与圆x2y2ay60的公共弦长为2，则a的值为()A2 B2 C1 D1答案B解析设圆x2y2a2的圆心为O，半径r|a|，将x2y2a2与x2y2ay60联立，可得a2ay60，即公共弦所在的直线方程为a2ay60，原点O到直线a2ay60的距离为，根据勾股定理可得a232，解得a2故选B8过点M(1,2)的直线l与圆C：(x3)2(y4)225交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程是_答案xy30解析由题意知，当ACB最小时，圆心C(3,4)到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为1，所以直线l的斜率为1，因此所求的直线l的方程是y2(x1)，即xy30二、高考小题9(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6 B4,8C，3 D2，3答案A解析直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，A(2,0)，B(0，2)，则|AB|2点P在圆(x2)2y22上，圆心为(2,0)，圆心到直线xy20的距离d12，故点P到直线xy20的距离d2的范围为，3，则SABP|AB|d2d22,6，故选A10(2018北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos，sin)到直线xmy20的距离当，m变化时，d的最大值为()A1 B2 C3 D4答案C解析cos2sin21，P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又xmy20表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(1,0)到直线x2的距离即为d的最大值故选C11(2018全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_答案2解析根据题意，圆的方程可化为x2(y1)24，所以圆的圆心为(0，1)，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得圆心到直线的距离d，所以|AB|2212(2018江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上的第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D若0，则点A的横坐标为_答案3解析解法一：设A(a,2a)，a0，则C，a，圆C的方程为x2(ya)2a2，由得(5a，2a)，2a2a24a0，a3或a1，又a0，a3，点A的横坐标为3解法二：由题意易得BAD45设直线DB的倾斜角为，则tan，tanABOtan(45)3，kABtanABO3AB的方程为y3(x5)，由得xA313(2016全国卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_答案4解析由题意可知直线l过定点(3，)，该定点在圆x2y212上，不妨设点A(3，)，由于|AB|2，r2，所以圆心到直线AB的距离为d3，又由点到直线的距离公式可得d3，解得m，所以直线l的斜率km，即直线l的倾斜角为30如图，过点C作CHBD，垂足为H，所以|CH|2，在RtCHD中，HCD30，所以|CD|414(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250上若20，则点P的横坐标的取值范围是_答案5，1解析因为点P在圆O：x2y250上，所以设P点坐标为(x，)(5x5)因为A(12,0)，B(0,6)，所以(12x，)或(12x，)，(x,6)或(x,6)因为20，先取P(x, )进行计算，所以(12x)(x)()(6)20，即2x5当2x50，即x时，上式恒成立；当2x50，即x时，(2x5)250x2，解得5x1，故x1同理可得P(x，)时，x5又5x5，所以5x1故点P的横坐标的取值范围为5，1设P(x，y)，则(12x，y)，(x，6y)20，(12x)(x)(y)(6y)20，即2xy50如图，作圆O：x2y250，直线2xy50与O交于E，F两点，P在圆O上且满足2xy50，点P在上由得F点的横坐标为1又D点的横坐标为5，P点的横坐标的取值范围为5，1三、模拟小题15(2018合肥质检)设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|2，则直线l的方程为()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90答案B解析当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x0时，弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为ykx3，由弦长为2，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有1，解得k，综上，直线l的方程为x0或3x4y120，故选B16(2018湖南长沙模拟)已知O：x2y21，A(0，2)，B(a,2)，从点A观察点B，要使视线不被O挡住，则实数a的取值范围是()A(，2)(2，)B，C，D，答案B解析点B在直线y2上，过点A(0，2)作圆的切线，设切线的斜率为k，由点斜式得切线方程为ykx2，即kxy20，由圆心到切线的距离等于半径，得1，解得k，切线方程为yx2，和直线y2的交点坐标为，2，2，要使视线不被O挡住，则实数a的取值范围是，故选B17(2018广东茂名模拟)若圆x2y24x4y100上至少有三个不同点到直线l：axby0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是()A2，1 B2，2C， D0，)答案B解析圆x2y24x4y100可化为(x2)2(y2)218，则圆心坐标为(2,2)，半径为3由圆x2y24x4y100上至少有三个不同点到直线l：axby0的距离为2可得，圆心到直线l：axby0的距离d32，即，则a2b24ab0，若a0，则b0，不符合题意，故a0且b0，则可化为120，由于直线l的斜率k，所以120可化为120，解得k2，2，故选B18(2018天津河西一模)若A为圆C1：x2y21上的动点，B为圆C2：(x3)2(y4)24上的动点，则线段AB长度的最大值是_答案8解析圆C1：x2y21的圆心为C1(0,0)，半径r11，圆C2：(x3)2(y4)24的圆心为C2(3，4)，半径r22，|C1C2|5又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，线段AB长度的最大值是|C1C2|r1r2512819(2018湖北八市联考)已知aR，直线l1：x2ya2和直线l2：2xy2a1分别与圆E：(xa)2(y1)29相交于点A，C和点B，D，则四边形ABCD的面积是_答案18解析依题意，圆E的圆心坐标为E(a,1)，发现El1，El2，即直线l1，l2都过圆心，故|AC|BD|6又k1k21，即l1l2故所求面积为621820(2018衡阳二模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1：x2y29，圆O2：x2(y6)216，在圆O2内存在一定点M，过点M的直线l被圆O1，圆O2截得的弦分别为AB，CD，且，则定点M的坐标为_答案0，解析当直线l的斜率不存在时，设l：xx0，3x03则|AB|2，|CD|2，从而有2，解得x00，即定点M在圆心O1与O2连线上，且yM2,10，即M(0，yM)，yM2,10；当直线l的斜率存在时，设l：ykxb则|AB|2，|CD|2，从而有2，解得b或b18直线l过定点(0，b)，且点M在圆O2内，故b，即M0，一、高考大题1(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk2016k2160，故x1x2所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)由题设知8，解得k1(舍去)，k1因此l的方程为yx1(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)21442(2017全国卷)已知抛物线C：y22x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程解(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由可得y22my40，则y1y24又x1，x2，故x1x24因此OA的斜率与OB的斜率之积为1，所以OAOB，故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圆心M的坐标为(m22，m)，圆M的半径r由于圆M过点P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200由(1)可知y1y24，x1x24，所以2m2m10，解得m1或m当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x3)2(y1)210当m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为223(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2，4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围解圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6，7)，半径为5(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y00)因为圆C经过A，B两点，所以2b22b2，即bb2bb2，解得b4又易知r2242，所以圆C的方程为x2(y4)2(2)当直线l的斜率不存在时，由l与C相切得l的方程为x，此时直线l与C1交于P，Q两点，不妨设P点在Q点的上方，则P，Q，或P，Q，则0，所以OPOQ，满足题意当直线l的斜率存在时，易知其斜率不为0，设直线l的方程为ykxm(k0，m0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线l的方程与圆C1的方程联立，得消去y，整理得(1k2)x22kmxm210，则4k2m24(1k2)(m21)4(k2m21)0，即1k2m2，则x1x2，x1x2，所以y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m2，又OPOQ，所以0，即x1x2y1y20，故2m21k2，满足0，符合题意因为直线l：ykxm与圆C：x2(y4)2相切，所以圆心C(0，4)到直线l的距离d，即m28m16，故m28m16m2，解得m2，故1k2222，得k故直线l的方程为yx2综上，直线l的方程为x或yx2
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