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专题对点练4从审题中寻找解题思路一、选择题1.已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x0,b0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2最小的内角为30,则双曲线C的渐近线方程是()A.2xy=0B.x2y=0C.x2y=0D.2xy=04.已知双曲线C:x2-y24=1,过点P(1,1)作直线l,使l与C有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l的条数共有()A.3B.2C.1D.45.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,其中ba,且对任意xR都有f(x)0,则M=a+2b+3cb-a的最小值为()A.5-232B.5+232C.7-352D.7+3526.(2018河北一模)设双曲线x2a2-y2b2=1(0a0,解得-1n3,故选A.2.B解析 当0x|PF2|,则根据双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.在PF1F2中,|F1F2|=2c,而ca,所以有|PF2|0,b2-4ac0,即cb24a,则M=a+2b+3cb-aa+2b+3b24ab-a=1+2ba+34ba2ba-1.令ba=t,则t1,于是M1+2t+34t2t-1=34(t-1)2+72(t-1)+154t-1=34(t-1)+1541t-1+72352+72,当且仅当t-1=5,即b=(1+5)a,c=b24a=3+52a时等号成立.所以M=a+2b+3cb-a的最小值为7+352.6.A解析 直线l过(a,0),(0,b)两点,直线l的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0.又原点到直线l的距离为34c,|ab|a2+b2=34c,即a2b2a2+b2=316c2,又c2=a2+b2,a2(c2-a2)=316c4,即316c4-a2c2+a4=0,化简得(e2-4)(3e2-4)=0,e2=4或e2=43.又0a2,e2=4,即e=2,故选A.7.2解析 (法一)因为bcos C+ccos B=2b,所以ba2+b2-c22ab+ca2+c2-b22ac=2b,化简可得ab=2.(法二)因为bcos C+ccos B=2b,所以sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,故sin(B+C)=2sin B,故sin A=2sin B,则a=2b,即ab=2.8.(1)82(2)5解析 (1)a9,9表示第9行第9列,第1行的公差为1,第2行的公差为2,第9行的公差为9,第9行的首项b1=10,则b9=10+89=82.(2)第1行数组成的数列a1,j(j=1,2,)是以2为首项,公差为1的等差数列,所以a1,j=2+(j-1)1=j+1;第i行数组成的数列ai,j(j=1,2,)是以i+1为首项,公差为i的等差数列,所以ai,j=(i+1)+(j-1)i=ij+1,由题意得ai,j=ij+1=82,即ij=81,且i,jN*,所以81=811=273=99=181=327,故表格中82共出现5次.9.(22,10)解析 因为b是12和2的等比中项,所以b=122=1.因为c是1和5的等差中项,所以c=1+52=3.又因为ABC为锐角三角形,当a为最大边时,有12+32-a20,a3,1+3a,解得3a0,a+13,a3,解得22a3.由得22a10,所以a的取值范围是(22,10).10.解 (1)设数列an的公差为d(d0),a1=2,且a2,a4,a8成等比数列,(3d+2)2=(d+2)(7d+2),解得d=2,故an=a1+(n-1)d=2n.(2)令cn=bn-(-1)nan,设cn的公比为q.b2=7,b5=71,an=2n,c2=b2-a2=3,c5=81,q3=c5c2=27,q=3,cn=c2qn-2=3n-1.从而bn=3n-1+(-1)n2n.Tn=b1+b2+bn=(30+31+3n-1)+-2+4-6+(-1)n2n,当n为偶数时,Tn=3n+2n-12,当n为奇数时,Tn=3n-2n-32.11.解 (1)f(x)=4sinx-4cos x=22sin xcos x-22cos2x=2(sin 2x-cos 2x)-2=2sin2x-4-2,f(x)在x=4处取得最值,24-4=k+2,kZ,=2k+32,kZ.(0,2),即02k+322,-34k14,又kZ,k=0,则=32,f(x)=2sin3x-4-2,T=23.(2)将函数f(x)的图象向左平移36个单位长度,得到h(x)=2sin3x+36-4-2=2sin3x-6-2,再将h(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到g(x)=2sinx-6-2.故g()=2sin-6-2=43-2,sin-6=23.为锐角,-6-60,所以f(x)在(0,+)内单调递增.若a0,则当x0,1a时,f(x)0;当x1a,+时,f(x)0时,f(x)在x=1a处取得最大值,最大值为f1a=ln1a+a1-1a=-ln a+a-1.因此f1a2a-2等价于ln a+a-10.令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+)内单调递增,g(1)=0.于是,当0a1时,g(a)1时,g(a)0.因此,a的取值范围是(0,1).
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