资源描述
第2讲椭圆、抛物线、双曲线1圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题；3数学运算（数的运算、代数式运算）也是这里的考查要求之一1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d(d为M点到准线的距离)2圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：1(ab0)(焦点在x轴上)或1(ab0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：1(a0，b0)(焦点在x轴上)或1(a0，b0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y22px，y22px，x22py，x22py(p0)3圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系在椭圆中：a2b2c2；离心率为e在双曲线中：c2a2b2；离心率为e(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx；焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，焦点坐标F1(0，c)，F2(0，c)(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线y22px(p0)的焦点F，准线方程x抛物线x22py(p0)的焦点F，准线方程y4弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|x1x2|(2)过抛物线焦点的弦长抛物线y22px(p0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p热点一圆锥曲线的几何性质【例1】(2018哈三中)如果双曲线的两个焦点分别为F1(-3,0)、F2(3,0)，一条渐近线方程为y=2x，那么经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为（）A43B23C2D1解析因为双曲线的两个焦点分别F1-3,0，F23,0，条渐近线方程为y=2x，a2+b2=9ba=2，解得a=3,b=6，双曲线的方程为x23-y26=1，由x23-y26=1x=3y=23，所以经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为223=43答案 A探究提高1分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键2确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等3求双曲线渐近线方程关键在于求或的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到【训练1】 (1)(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为（）ABCD(2)(2016北京卷)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_解析(1)以线段A1A2为直径的圆是x2y2a2，直线bxay2ab0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离da，整理为a23b2，即e(2)取B为双曲线右焦点，如图所示四边形OABC为正方形且边长为2，c|OB|2，又AOB，tan1，即ab又a2b2c28，a2答案(1)A(2)2热点二直线与圆锥曲线【例2】 (2018江南十校)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，B为其短轴的一个端点，F1,F2分别为其左右两个焦点，已知三角形BF1F2的面积为2，且cosF1BF2=13（1）求椭圆C的方程；（2）若动直线l:y=kx+m(m0,k223)与椭圆C交于P(x1,y1),Q(x2,y2)，M为线段PQ的中点，且x12+x22=3，求|OM|PQ|的最大值解（1）由cosF1BF2=2a2-4c22a2=13c2a2=13a2=3c2，b2=2c2，cosF1BF2=13sinF1BF2=223，结合SF1BF2=12a2223=2a2=3，b2=2，故椭圆C的方程为x23+y22=1；另解：依题意：SF1BF2=122cb=bc=2，cosF1BF2=2cos2F1BF22-1=13b2a2=23，解得：a2=3，b2=2，故椭圆C的方程为x23+y22=1；（2）联立y=kx+m2x2+3y2=6(3k2+2)x2+6kmx+3m2-6=0=24(3k2+2-m2)03k2+2m2且x1+x2=-6km3k2+2，x1x2=3m2-63k2+2；依题意，x12+x22=3(x1+x2)2-2x1x2=3(-6km)2(3k2+2)2-6(m2-2)3k2+2=3化简得：3k2+2=2m2（3k22）；设M(x0,y0)，由2x12+3y12=62x22+3y22=62(x12-x22)=-3(y12-y22)k=y1-y2x1-x2=2x0-3y0又y0=kx0+m，解得：M(-3k2m,1m)|OM|2=9k2+44m2=3m2-12m2，|PQ|2=(1+k2)|x1-x2|2=(1+k2)24(3k2+2-m2)(3k2+2)2=2(2m2+1)m2|OM|2|PQ|2=(3-1m2)(2+1m2)254|OM|PQ|52当且仅当3-1m2=2+1m2，即m=2时，|OM|PQ|的最大值为52探究提高1判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定；2弦长计算公式：直线AB与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|，其中k为弦AB所在直线的斜率3对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交【训练2】(2017北京卷)已知抛物线C：y22px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点解(1)把P(1，1)代入y22px，得p，所以抛物线C的方程为y2x，焦点坐标为，准线方程为x(2)证明当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN(也就是直线l)斜率存在且不为零由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y得4k2x2(4k4)x10考虑(4k4)244k216(12k)，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k0，b0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为（）A2B2C322D223(2018全国II卷)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，且PF2F1=60，则C的离心率为（）A1-32B2-3C3-12D3-14(2018全国I卷)设抛物线，点，过点的直线与交于，两点（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：1(2019吉安联考设抛物线y2=8x的焦点为F，过点M(4,0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF=4，则BCF与ACF的面积之比SBCFSACF=（）A34B45C56D252(2017全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为（）ABCD3(2018哈六中)若P是双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)和圆C2:x2+y2=a2+b2的一个交点，且,PF2F1=2PF1F2，其中F1,F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为（）A3-1B3C2D3+14(2017佛山调研)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，右焦点为F(1，0)(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OMON，求直线l的方程1(2019河南联考)已知椭圆C:x22+y2=1，设过点P2,0的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，且AOB为钝角（其中O为坐标原点），则直线l斜率的取值范围是（）A-22,22B-55,00,55C-,-5555,+D-22,00,222(2017石家庄三模)已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1，F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且，若F1PF2，则双曲线C2的渐近线方程为（）Axy0Bxy0Cxy0Dx2y03(2017潍坊三模)已知抛物线y22px(p0)上的一点M(1，t)(t0)到焦点的距离为5，双曲线1(a0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行则实数a的值为_4(2018全国III卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24+y23=1交于A，B两点线段AB的中点为M(1,m)(m0)（1）证明：k0，x20由得，可知，直线BM，BN的斜率之和为将，及y1+y2，y1y2的表达式代入式分子，可得所以，可知，的倾斜角互补，所以综上，1【解题思路】分别过A，B作准线l的垂线AP，BN，由|BF|4，可得点B的坐标，进而可得直线AB的方程，与抛物线联立可得点A坐标，利用SBCFSACF=|BC|AC|=|BN|AP|即可得解【答案】抛物线的准线方程为l：x2，分别过A，B作准线l的垂线AP，BN，则|BN|BF|4，B点横坐标为2，不妨设B（2，4），则直线AB的方程为：y2x8，联立方程组y=2x-8y2=8x，得x210x+160，设A横坐标为x0，则x0+2=10，故而x0=8|AP|x0+2=10，SBCFSACF=|BC|AC|=|BN|AP|=410=25故选D2【解题思路】(为到的距离)【答案】由c2a2b24得c2，所以F(2，0)，将x2代入x21，得y3，所以|PF|3又A的坐标是(1，3)，故APF的面积为3(21)故选D3【解题思路】由a2+b2=c2，可知圆C2一定经过双曲线的两个焦点，可以求出PF2F1=2，PF2F1=2PF1F2=3，及PF2=c，PF1=3c，进而可以求出双曲线的离心率【答案】因为a2+b2=c2，所以圆C2一定经过双曲线的两个焦点，可知F2PF1=2，PF2F1=2PF1F2=3，则F1F2=2c，PF2=c，PF1=3c，故双曲线的离心率为：e=ca=F1F2PF1-PF2=2c3c-c=3+1故答案为D4【解题思路】(1)由离心率和焦点坐标联立方程求出a，b， (2) OMON0，结合韦达定理处理【答案】解(1)依题意可得解得a，b1椭圆E的标准方程为y21(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x1，不符合题意；当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为yk(x1)联立得方程组消去y得(12k2)x24k2x2(k21)0，x1x2，x1x2y1y2k2x1x2(x1x2)1OMON，0x1x2y1y20，k故直线l的方程为y(x1)1【解题思路】设直线l:y=kx-2k0，代入x22+y2=1，得1+2k2x2-8k2x+8k2-2=0，利用韦达定理表示x1x2+y1y20即可得到直线l斜率的取值范围【答案】设直线l:y=kx-2k0，代入x22+y2=1，得1+2k2x2-8k2x+8k2-2=0，因为直线l与椭圆交于不同的A，B两点，所以=64k2-41+2k28k2-20，解得-22k22且k0设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=8k21+2k2，x1x2=8k2-21+2k2，y1y2=k2x1-2x2-2=k28k2-21+2k2-16k21+2k2+4=2k21+2k2，因为AOB为钝角，所以x1x2+y1y2=8k2-21+2k2+2k21+2k20，解得-55kb0)，双曲线C2：1，依题意c1c2c，且，则a3m，由圆锥曲线定义，得|PF1|PF2|2a，且|PF1|PF2|2m，|PF1|4m，|PF2|2m在F1PF2中，由余弦定理，得：4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos12m2，c23m2，则n2c2m22m2，因此双曲线C2的渐近线方程为yx，即xy0故选C3【解题思路】利用抛物线定义求出点M的坐标，再两直线平行，斜率相等【答案】由题设15，p8不妨设点M在x轴上方，则M(1，4)，由于双曲线的左顶点A(a，0)，且直线AM平行一条渐近线，则a3故填34【解题思路】（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明。（2）先求出点P的坐标，解出m，得到直l的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解【答案】（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x124+y123=1，x224+y223=1两式相减，并由y1-y2x1-x2=k得x1+x24+y1+y23k=0由题设知x1+x22=1，y1+y22=m，于是k=-34m由题设得0m32，故k-12（2）由题意得F（1，0）设P(x3，y3)，则(x3-1，y3)+(x1-1，y1)+(x2-1，y2)=(0，0)由（1）及题设得x3=3-(x1+x2)=1，y3=-(y1+y2)=-2m0又点P在C上，所以m=34，从而P(1，-32)，|FP|=32于是|FA|=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+3(1-x124)=2-x12同理|FB|=2-x22所以FA+FB=4-12(x1+x2)=3故2|FP|=|FA|+|FB|
展开阅读全文