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专题一客观题的快速解法 (限时:45分钟)一、选择题1.(2018天津卷)已知a=log2e,b=ln 2,c=log1213,则a,b,c的大小关系为(D)(A)abc(B)bac(C)cba(D)cab解析:(估值法)因为log1213=log2 3log2 e1,ln 2log2 eln 2,即cab.故选D.2.(2018合肥市质检)函数y=ln(2-|x|)的大致图象为(A)解析:(排除法)令f(x)=ln(2-|x|),易知f(x)的定义域为(-2,2),排除C;因为f(-x)=ln(2-|-x|)=ln(2-|x|)=f(x),所以f(x)为偶函数,排除D;因为f(32)=ln 120,排除B,故选A.3.设函数f(x)=sin(2x+4)(x0,98),若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3(x1x2x3),则x1+x2+x3的取值范围是(B)(A)98,54) (B)54,118(C)32,138)(D)p74,158)解析:(数形结合)由题意x0,98,则2x+44,52,画出函数的大致图象:由图得,当22a1时,方程f(x)=a恰好有三个根,由2x+4=2得x=8,由2x+4=32得x=58,由图知,点(x1,a)与点(x2,a)关于直线x=8对称,点(x2,a)与点(x3,a)关于直线x=58对称,所以x1+x2=4,x398,则54x1+x2+x3118,即x1+x2+x3的取值范围是54,118).故选B.4.(2018福建省质检)某校有A,B,C,D四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖,在结果揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下.甲说:“A,B同时获奖.”乙说:“B,D不可能同时获奖.”丙说:“C获奖.”丁说:“A,C至少一件获奖.”如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的,则获奖的作品是(D)(A)作品A与作品B(B)作品B与作品C(C)作品C与作品D(D)作品A与作品D解析:(定性分析法)若甲预测正确,则乙预测正确,丙预测错误,丁预测正确,与题意不符,故甲预测错误;若乙预测错误,则依题意丙、丁均预测正确,但若丙、丁预测正确,则获奖作品可能是“A,C”“B,C”“C,D”,这几种情况都与乙预测错误相矛盾,故乙预测正确,所以丙、丁中恰有一人预测正确.若丙预测正确,丁预测错误,两者互相矛盾,排除;若丙预测错误,丁预测正确,则获奖作品只能是“A,D”,经验证符合题意.故选D.5.已知抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线y=k(x-1)与C1,C2依次相交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)四点(其中x1x2x30,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(C)(A)-1,0)(B)0,+)(C)-1,+)(D)1,+)解析:(数形结合)函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a1,解得a-1.故选C.7.(2018湖南省湘东五校联考)已知圆心为O,半径为1的圆上有不同的三个点A,B,C,其中OAOB=0,存在实数,满足OC+OA+OB= 0,则实数,的关系为(A)(A)2+2=1(B)1+1=1(C)=1(D)+=1解析:(特例法)取C点为优弧AB的中点,由平面向量基本定理易得=22,只有A符合,故选A.8.(2017全国卷)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD,则+的最大值为(A)(A)3(B)22 (C)5(D)2解析:(数形结合)以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线BD的方程为2x+y-2=0,点C到直线BD的距离为212+22=25,圆C:(x-1)2+(y-2)2=45,因为P在圆C上,所以P(1+255cos ,2+255sin ),AB=(1,0),AD=(0,2),AP=AB+AD=(,2),所以1+255cos=,2+255sin=2,+=2+255cos +55sin =2+sin(+)3,tan =2.故选A.9.(2018石家庄市模拟)已知在ABC中,AB=2,C=6,则AC+3BC的最大值为(D)(A)27 (B)7 (C)37 (D)47解析:法一(直接法)根据正弦定理得ACsinB=BCsinA=2sin 6=4,所以AC=4sin B,BC=4sin A,则AC+3BC= 4sin B+43sin A,又A+B=56,所以AC+3BC=4sin B+43sin A=4sin B+43sin(56-B)=10sin B+23cos B=47sin(B+),其中tan =35,所以当B+=2+2k,kZ时,AC+3BC取得最大值,为47.故选D.法二(特例法、排除法)令AB=AC,则B=C=6,A=23,BC=3AB=23,此时AC+3BC=2+323=8,因为27,7,37都小于8,故AC+3BC的最大值只能为 47,故选D.10.已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是(C)(A)74 (B)2(C)94 (D)3解析:所作的截面与OE垂直时,截面圆的面积最小.设正三角形ABC的高为3a,则4a2+1=4,即a=32,此时OE2=12+34=74,截面圆半径r2=22-74=94,故截面面积为94.故选C.11.(2018全国卷)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为(C)(A)5(B)2(C)3(D)2解析:(数形结合)不妨设一条渐近线的方程为y=bax,则F2到y=bax的距离d=|bc|a2+b2=b,在RtF2PO中,|F2O|=c,所以|PO|=a,所以|PF1|=6a,又|F1O|=c,所以在F1PO与RtF2PO中,根据余弦定理得 cos POF1=a2+c2-(6a)22ac= -cos POF2=-ac,即3a2+c2-(6a)2=0,得3a2=c2,所以e=ca=3.故选C.二、填空题12.(2018全国卷)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为 .解析:(直接法)因为y=2x,所以曲线在(1,0)处的切线的斜率k=y|x=1=2,故所求切线方程为y=2(x-1),即y=2x-2.答案:y=2x-213.在三角形ABC中,BC边上的中垂线分别交BC,AC于点D,E.若AEBC=6,|AB|=2,则|AC|=.解析:(特例法)令ABC=90,如图,AEBC=|BD|BC|=12|BC|2=6,所以|BC|2=12,所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=16,所以|AC|=4.答案:414.(2018全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.解析:(直接法)由bsin C+csin B=4asin Bsin C,得sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C.因为sin Bsin C0,所以sin A=12.因为b2+c2-a2=8,cos A=b2+c2-a22bc,所以bc=833,所以SABC=12bcsin A=1283312=233.答案:23315.(2018惠州市二次调研)数列an的前n项和为Sn,若Sn=2an-2,则数列nan的前5项和为.解析:(直接法)当n=1时,a1=S1=2a1-2,得a1=2.当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2),得an=2an-1,则数列an为等比数列,公比为2,an=2n,得nan=n2n,故前5项和T5=2+222+323+424+525=2+8+24+64+160=258.答案:258
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