资源描述
3.1.2复数的引入(二)学习目标1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.4.理解共轭复数的概念知识点一复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.知识点二复数的几何意义思考1复数zabi(a，bR)与复平面上的点Z(a，b)具有怎样的对应关系？答案一一对应思考2复平面内的点Z与向量有怎样的对应关系？答案一一对应梳理复数zabi有序实数对(a，b)点Z(a，b)知识点三复数的模设abi(a，bR)，则向量的长度叫做复数abi的模(或绝对值)，记作|abi|，且|abi|.知识点四共轭复数如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数复数z的共轭复数用表示，即当zabi时，则abi，任一实数的共轭复数仍是它本身1在复平面内，对应于实数的点都在实轴上()2在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数()3若|z1|z2|，则z1z2.()类型一复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数z(x2x6)(x22x15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线xy30上解因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数(1)当实数x满足即当3x2时，点Z在第三象限(2)zx2x6(x22x15)i对应的点Z(x2x6，x22x15)，当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即当x2时，点Z在直线xy30上引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在：(1)虚轴上；(2)第四象限解(1)当实数x满足x2x60，即当x3或x2时，点Z在虚轴上(2)当实数x满足即当2x5时，点Z在第四象限反思与感悟按照复数和复平面内所有点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值跟踪训练1在复平面内，复数i,1,42i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数解由已知得A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，则AC的中点E，由平行四边形的性质知E也是BD的中点，设D(x，y)，则即D(3,3)D点所对应的复数为33i.例2(1)向量对应的复数是54i，向量对应的复数是54i，则对应的复数是()A108i B108iC0 D108i(2)设O是原点，向量，对应的复数分别为23i，32i，那么向量对应的复数是()A55i B55iC55i D55i答案(1)C(2)D解析(1)由复数的几何意义，可得(5，4)，(5,4)，所以(5，4)(5,4)(0,0)，所以对应的复数为0.(2)由复数的几何意义，得(2，3)，(3,2)，(2，3)(3,2)(5，5)所以对应的复数是55i.反思与感悟根据复数与平面向量的对应关系可知，当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量跟踪训练2(1)在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数为_(2)复数z34i对应的向量所在直线的斜率为_答案(1)2i(2)解析(1)复数2i表示的点A(2,1)关于实轴对称的点为B(2，1)，对应的复数为2i.(2)复数z对应点Z(3,4)，向量所在的直线的斜率为.类型二复数的模与共轭复数的计算例3已知复数z满足z|z|28i，求复数z及其共轭复数解设zabi(a，bR)，则|z|，代入方程得abi28i，解得z158i.其共轭复数为158i.反思与感悟计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小跟踪训练3(1)若复数z1ai(i是虚数单位)的模不大于2，则实数a的取值范围是_答案，解析复数z1ai(i是虚数单位)的模不大于2，即1a24，即a23，可得a，(2)若x2yi和3xi互为共轭复数，则实数x与y的值分别是_答案1,1解析由共轭复数的定义得得1当m1时，复数z(3m2)(m1)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案D解析m1，03m21，m1|xyi|y2i|解析34ixyi，x3，y4.则|15i|，|xyi|34i|5，|y2i|42i|2，|15i|xyi|y2i|.5在复平面内，O是原点，对应的复数分别为2i,32i,15i，那么对应的复数为_答案44i解析由复数的几何意义可知，(2,1)，(3,2)，(1,5)，(2,1)(1,5)(1,6)，(3,2)(1,6)(4，4)，对应的复数为44i.1复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)(2)复数zabi(a，bR)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为在复平面内与相等的向量有无数个2复数的模(1)复数zabi(a，bR)的模|z|.(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离3共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题一、选择题1复数z(a22a)(a2a2)i(aR)对应的点在虚轴上，则a的值为()Aa0或a2 Ba0Ca1且a2 Da1或a2答案A解析复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，a22a0，a0或a2.2已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3,1) B(1,3)C(1，) D(，3)答案A解析由题意得解得3m1.3已知a为实数，若复数z(a23a4)(a4)i为纯虚数，则复数aai在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析若复数z(a23a4)(a4)i是纯虚数，则得得a1，则复数aai1i对应点的坐标为(1,1)，位于第二象限，故选B.4已知0a3，复数zai(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是()A(1，) B(1，)C(1,3) D(1,10)答案A解析0a3，复数zai(i是虚数单位)，则|z|(1，)5在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2i，点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数是()A12i B2iC2i D2i答案B解析向量对应的复数是2i，即A(2,1)，点A关于虚轴的对称点为B(2,1)，则向量对应的复数是2i.6已知复数zai(aR)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|2，则复数z等于()A1iB1iC1i或1iD2i答案A解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a0，b22b6(b1)250，复数对应点的坐标在第四象限10在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为34i，若点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量对应的复数为_考点复数的几何意义题点复数与向量的对应关系答案34i解析因为点B的坐标为(3，4)，所以点A的坐标为(3,4)，所以点C的坐标为(3,4)，所以向量对应的复数为34i.11复数z(a2)(a1)i，aR对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是_答案解析复数z(a2)(a1)i对应的点的坐标为(a2，a1)，因为该点位于第二象限，所以解得1a2.由条件得|z| ，因为1a2.所以|z|.三、解答题12已知m，nR，若log2(m23m3)ilog2(m2)为纯虚数，复数zmni的对应点在直线xy20上，求|z|.解由纯虚数的定义知，解得m4，所以z4ni.因为z的对应点在直线xy20上，所以4n20，所以n2.所以z42i，所以|z|2.13当实数m为何值时，复数z(m28m15)(m23m28)i在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)解(1)要使点位于第四象限，需，7m，即AB，sin Acos B，cos Btan Acos Bcos Bsin A0，所以点(cos Btan A，tan B)在第二象限，故选B.15设zxyi(x，yR)，若1|z|，判断复数wxy(xy)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积解|w|z|，而1|z|，故|w|2.所以w对应点的集合是以原点为圆心，半径为和2的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S22()22.
展开阅读全文