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5.函数与导数1(2018浙江省杭州二中模拟)已知函数f(x)lnx.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求证：f(x)0.(1)解f(x)lnx的定义域是(0，)，f(x)，所以f(1)，又f(1)1，则切线方程为x2y30.(2)证明令h(x)x32x23x2，则h(x)3x24x3，设h(x)0的两根为x1，x2，由于x1x210，不妨设x10，则h(x)在(0，x2)上是单调递减的，在(x2，)上是单调递增的而h(0)0，h(1)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一零点x0，且x0(1,2)，所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增所以f(x)f(x0)lnx0，因为x0(1,2)，lnx00，f(x)0，所以f(x)0.2已知函数f(x)x2(a2)xalnx(aR)(1)求函数yf(x)的单调区间；(2)当a1时，证明：对任意的x0，f(x)exx2x2.(1)解函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)2x(a2).当a0时，f(x)0对任意x(0，)恒成立，所以函数f(x)在区间(0，)上单调递增当a0时，由f(x)0，得x，由f(x)0，得0x，所以函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减(2)证明当a1时，f(x)x2xlnx，要证明f(x)exx2x2，只需证明exlnx20，设g(x)exlnx2，则问题转化为证明对任意的x0，g(x)0，令g(x)ex0，得ex，容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足，当x变化时，g(x)和g(x)的变化情况如下表：x(0，x0)x0(x0，)g(x)0g(x)单调递减单调递增g(x)ming(x0)lnx02x02，因为x00，且x01，所以g(x)min22220，因此不等式得证3已知函数f(x)x22x2alnx(aR)(1)若a1，求函数在A(1,1)处的切线方程；(2)若函数yf(x)有两个极值点x1，x2，且x1.(1)解当a1时，f(x)x22x2lnx，f(x)2x2，f(1)1，所以函数在A(1,1)处的切线方程y1f(1)(x1)，化简，得xy0.(2)证明函数的定义域为(0，)，f(x)2x2，则x1，x2是方程2x22xa0的两个根，所以x1x21，x1x2，所以a2x22x，又x1x2，所以x20，则g(t)在上为增函数，所以g(t)g，所以f(x2).4.已知函数f(x)lnx，g(x)f(x)ax2bx，函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性解(1)依题意得g(x)lnxax2bx，x0，则g(x)2axb，由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得，g(1)12ab0，b2a1.(2)由(1)得g(x).函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时，g(x)，由g(x)0得0x1，由g(x)1；当a0时，令g(x)0，则x1或x，若0时，由g(x)0得x1或0x，由g(x)0得x1，即0a0得x或0x1，由g(x)0得1x；若1，即a时，在上恒有g(x)0.综上得，当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在上单调递减；当0a时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增5已知函数f(x)xlnx，g(x)(x2ax3)ex(a为实数)(1)当a5时，求函数g(x)的图象在x1处的切线方程；(2)求f(x)在区间t，t2(t0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x1，x2，使方程g(x)2exf(x)成立，求实数a的取值范围解(1)当a5时，g(x)(x25x3)ex，g(1)e，g(x)(x23x2)ex，故切线的斜率为g(1)4e，所以切线方程为ye4e(x1)，即4exy3e0.(2)f(x)xlnx的定义域为(0，)，因为f(x)lnx1，令f(x)0，得x，所以在(0，)上，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值(最小值)当t时，在区间t，t2上，f(x)为增函数，所以f(x)minf(t)tlnt，当0t0，则h(x)1.当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x1(1，e)h(x)0h(x)极小值(最小值)因为h3e2，h(e)e2，h(1)4，所以h(e)h42e0，所以h(e)h，所以实数a的取值范围为.6已知函数f(x)x2(a2)xalnx(a为实常数)(1)若a2，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；(2)若存在x1，e，使得f(x)0成立，求实数a的取值范围解(1)当a2时，f(x)x22ln x，则f(x)2x，f(1)0，所求切线方程为y1.(2)f(x)2x(a2)，x1，e当1，即a2时，x1，e，f(x)0，此时f(x)在1，e上单调递增所以f(x)的最小值为f(1)a1，所以1a2；当1e，即2a2e，x时，f(x)0，f(x)在上单调递增，所以f(x)的最小值为faalna.因为2a2e，所以0ln1，所以fa0恒成立，所以2a，所以f(e)0，所以a2e，综上，a1.
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