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第16练基本初等函数、函数的应用明晰考情1.命题角度：考查二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；能利用函数解决简单的实际问题.2.题目难度：中档偏难.考点一基本初等函数的图象与性质方法技巧(1)指数函数的图象过定点(0,1)，对数函数的图象过定点(1,0).(2)应用指数函数、对数函数的单调性，要注意底数的范围，底数不同的尽量化成相同的底数.(3)解题时要注意把握函数的图象，利用图象研究函数的性质.1.已知函数f(x)则f(2019)_.答案解析f(2 019)f(2 018)1f(0)2 019f(1)2 020212 020.2.设x，y，z为正数，且2x3y5z，则2x,3y,5z的大小关系是_.答案3y2x1.则xlog2t，同理，y，z.2x3y0，2x3y.又2x5z0，2x5z，3y2x5z.3.设函数f(x)则满足f(f(t)2f(t)的t的取值范围是_.答案解析若f(t)1，显然成立，则有或解得t.若f(t)1，由f(f(t)2f(t)，可知f(t)1，所以t1，得t3.综上，实数t的取值范围是.4.已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_.答案(0,1)(1,4)解析因为y如图所示，又函数ykx2过定点(0，2)，当ykx2过(0，2)与(1，2)时，k0，而当ykx2过(0，2)与(1,2)时，k4，又k1，否则与yx1平行，不符合题意，结合图形可知，当k(0,1)(1,4)时，函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点.考点二函数与方程方法技巧(1)判断函数零点个数的主要方法：解方程f(x)0，直接求零点；利用零点存在性定理；数形结合法：通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.(2)解由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.5.已知函数f(x)lnx3，若函数yf(x)f(kx2)有两个零点，则实数k的取值范围是_.答案解析因为f(x)lnx3在区间(1,1)上单调递增，且是奇函数，令yf(x)f(kx2)0，则f(x)f(kx2)f(x2k).由函数yf(x)f(kx2)有两个零点，等价于方程x2xk0在区间(1,1)上有两个不相等的根，令g(x)x2xk，则满足解得k0.6.已知函数f(x)若函数g(x)f(x)kx2k有五个不同的零点，则实数k的取值范围为_.答案解析当x1时，f(x)呈现周期性.作函数y1f(x)和y2k(x2)的图象.直线l：yk(x2)过定点A(2,0)，点A与点B(5,1)连线的斜率kAB，点A与点C(6,1)连线的斜率kAC.由图可知，要使两函数图象有五个交点，则kACkkAB，所以k.7.已知函数f(x)m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为_.答案(1，)解析函数f(x)有三个零点等价于方程m|x|有且仅有三个实根.m|x|x|(x2)，作函数y|x|(x2)的图象，如图所示.由图象可知m应满足01，故m1.8.已知函数f(x)若方程f(x)xa有2个不同的实根，则实数a的取值范围是_.答案a|a1或0a1解析当直线yxa与曲线ylnx相切时，设切点为(t，lnt)，则切线斜率k(lnx)|xt1，所以t1，切点坐标为(1,0)，代入yxa，得a1.又当x0时，f(x)xa(x1)(xa)0，所以当a1时，lnxxa(x0)有1个实根，此时(x1)(xa)0(x0)有1个实根，满足题意；当a0)有2个实根，此时(x1)(xa)0(x0)有1个实根，不满足题意；当a1时，lnxxa(x0)无实根，此时要使(x1)(xa)0(x0)有2个实根，应有a0且a1，即a0且a1，综上得实数a的取值范围是a|a1或0a1.考点三函数的综合应用方法技巧(1)函数实际应用问题解决的关键是通过读题建立函数模型，要合理选取变量，寻找两个变量之间的关系.(2)基本初等函数与不等式的交汇问题是高考的热点，突破此类问题的关键在于准确把握函数的图象和性质，结合函数的图象寻求突破点.9.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是_年.(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)答案2019解析设2015年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y130(112%)n.依题意130(112%)n200，得1.12n.两边取对数，得nlg 1.12lg 2lg 1.3，n，n4，从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.10.已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3，若存在f(a)g(b)，则实数b的取值范围为_.答案(2，2)解析函数f(x)ex1的值域为(1，)，g(x)x24x3的值域为(，1，若存在f(a)g(b)，则需g(b)1，即b24b31，所以b24b20，解得2b2.11.已知函数f(x)则f(x)f(x)1的解集为_.答案解析由f(x)求得f(x)所以f(x)f(x)当1x1，解得1x；当01，解得0x1的解集为.12.已知f(x)则f(x)2的解集是_.答案(0,4解析当x0时，f(x)2，即2，可转化为1x2x，得x；当x0时，f(x)2，即2，可转化为4，解得0x4.综上可知不等式的解集为(0,4.1.如果函数ya2x2ax1(a0且a1)在区间1,1上的最大值是14，则a的值为_.答案或3解析令axt(t0)，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.当a1时，因为x1,1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去)；当0a1时，因为x1,1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，则ymax2214，解得a(负值舍去).综上知a3或a.2.(2018全国改编)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是_.答案1，)解析令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x).在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示.若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象可知，当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，仅有1个交点，不符合题意；当yxa在yx1下方，即a1时，有2个交点，符合题意.综上，a的取值范围为1，).3.已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是_.答案2,0解析由y|f(x)|的图象知，当x0时，只有当a0时，才能满足|f(x)|ax.当x0时，y|f(x)|x22x|x22x.故由|f(x)|ax，得x22xax.当x0时，不等式为00成立.当x0时，不等式等价于x2a.因为x22，所以a2.综上可知，a2,0.4.(2018南京高淳区调研)已知f(x)若不等式f0对任意的恒成立，则整数的最小值为_.答案1解析因为函数f(x)为单调递增函数，且f，所以不等式f0对任意的恒成立，等价于cos2sin对任意的恒成立，设sint，t0,1，则t2t0，当t0时，R；当t(0,1时，max，故，整数的最小值为1.解题秘籍(1)基本初等函数的图象可根据特殊点及函数的性质进行判定.(2)与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质，可使用换元法，解题中要优先考虑函数的定义域.(3)数形结合是解决方程、不等式的重要工具，指数函数、对数函数的底数要讨论.1.设a20.3，b30.2，c70.1，则a，b，c的大小关系为_.答案cab解析由已知得a80.1，b90.1，c70.1，构造幂函数yx0.1，根据幂函数yx0.1在区间(0，)上为增函数，得ca0，且a1)满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是_.答案2，)解析由f(1)，得a2，解得a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，所以f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减.3.函数f(x)|x2|lnx在定义域内零点的个数为_.答案2解析由题意，函数f(x)的定义域为(0，)，由函数零点的定义，f(x)在(0，)内的零点即是方程|x2|lnx0的根.令y1|x2|，y2lnx(x0)，在同一坐标系中画出两个函数的图象.由图得两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点.4.函数y(0x3)的值域是_.答案(e3，e解析y(0x3)，当0x3时，3(x1)211，e3e1，即e3ye，函数的值域是(e3，e.5.函数f(x)axloga(x1)在0,1上的最大值和最小值之和为a，则a的值为_.答案解析当a1时，由aloga21a，得loga21，所以a，与a1矛盾；当0a1时，由1aloga2a，得loga21，所以a.6.已知函数f(x)设mn1，且f(m)f(n)，则mf(m)的最小值为_.答案2解析当1x1时，f(x)52x，f(0)5；当x1时，f(x)15，f(4)，1m4.mf(m)m2，当且仅当m时取等号.7.若函数f(x)aexx2a有两个零点，则实数a的取值范围是_.答案(0，)解析函数f(x)aexx2a的导函数f(x)aex1，当a0时，f(x)0).当a时，g(a)单调递增，当a时，g(a)单调递减，g(a)maxgln20，f(x)的最小值f0，函数f(x)aexx2a有两个零点.综上，实数a的取值范围是(0，).8.函数f(x)的图象如图所示，则下列结论成立的是_.a0，b0，c0；a0，c0；a0，c0；a0，b0，ct1)且t11，t21，当t11时，t1f(x)有一解；当t21时，t2f(x)有两解.当a1时，只有一个零点.综上可知，当a1时，函数g(x)f(f(x)a有三个不同的零点.11.设函数f(x)则函数yf(f(x)1的零点个数为_.答案2解析当x0时，yf(f(x)1f(2x)1log22x1x1，令x10，则x1，显然与x0矛盾，所以当x0时，yf(f(x)1无零点.当x0时，分两种情况：当x1时，log2x0，yf(f(x)1f(log2x)1log2(log2x)1，令log2(log2x)10，得log2x2，解得x4；当0x1时，log2x0，yf(f(x)1f(log2x)11x1，令x10，解得x1.综上，函数yf(f(x)1的零点个数为2.12.函数f(x)的图象与函数g(x)2sinx在区间0,4上的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，则f(y1y2yn)g(x1x2xn)_.答案解析如图，画出函数f(x)和g(x)在0,4上的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y1y2y3y40，x1x2x3x48，所以f(y1y2y3y4)g(x1x2x3x4)f(0)g(8)0.
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