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1.2回归分析学习目标1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.能通过相关系数判断两个变量间的线性相关程度.3.了解非线性回归分析知识点一线性回归模型思考某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号12345工作年限x/年35679年推销金额y/万元23345请问如何表示年推销金额y与工作年限x之间的相关关系？y关于x的线性回归方程是什么？答案画出散点图，由图可知，样本点散布在一条直线附近，因此可用回归直线表示两变量之间的相关关系设所求的线性回归方程为x，则0.5，0.4.所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为0.5x0.4.梳理线性回归模型(1)随机误差具有线性相关关系的两个变量的取值x，y，y的值不能由x完全确定，可将x，y之间的关系表示为yabx，其中abx是确定性函数，称为随机误差(2)随机误差产生的主要原因所用的确定性函数不恰当引起的误差忽略了某些因素的影响存在观测误差(3)线性回归模型中a，b值的求法yabx称为线性回归模型a，b的估计值为，则(4)回归直线和线性回归方程直线x称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，称为回归截距，称为回归系数，称为回归值知识点二样本相关系数r具有相关关系的两个变量的线性回归方程为x.思考1变量与真实值y一样吗？答案不一定思考2变量与真实值y之间误差大了好还是小了好？答案越小越好梳理样本相关系数r及其性质(1)r.(2)r具有以下性质：|r|1.|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱知识点三对相关系数r进行显著性检验的基本步骤1提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系2如果以95%的把握作出判断，那么可以根据10.950.05与n2在教材附录1中查出一个r的临界值r0.05(其中10.950.05称为检验水平)3计算样本相关系数r.4作出统计推断：若|r|r0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系1求线性回归方程前可以不进行相关性检验()2在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号()3利用线性回归方程求出的值是准确值()类型一求线性回归方程例1某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力考点线性回归方程题点求线性回归方程解(1)如图：(2)iyi6283105126158，9，4，6282102122344，0.7，40.792.3，故线性回归方程为0.7x2.3.(3)由(2)中线性回归方程可知，当x9时，0.792.34，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.反思与感悟(1)求线性回归方程的基本步骤列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系计算：，iyi.代入公式求出x中参数，的值写出线性回归方程并对实际问题作出估计(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义跟踪训练1某班5名学生的数学和物理成绩如下表：学生编号12345学科编号ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩考点线性回归方程题点求线性回归方程解(1)散点图如图(2)(8876736663)73.2，(7865716461)67.8.iyi8878766573716664636125054.88276273266263227174.所以0.625.67.80.62573.222.05.所以y对x的线性回归方程是0.625x22.05.(3)当x96时，0.6259622.0582，即可以预测他的物理成绩约是82.类型二线性回归分析例2现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩(x)与入学后第一次考试的数学成绩(y)如下表：学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？考点题点解(12010899108)107.8，(84645771)68.120210829921082116584.84264257271247384.iyi120841086499571087173796.所以相关系数为r0.751.由检验水平0.05及n28，在附录1中查得r0.050.632.因为0.7510.632，由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系反思与感悟相关关系的两种判定方法(1)利用散点图判定(2)利用相关系数判定跟踪训练2一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985对变量y与x进行线性相关性检验考点题点解由题中数据可得12.5，8.25，iyi438,4412.5，660，291，所以r0.995.由检验水平0.05及n22，在教材附录1中查得r0.050.950，因为rr0.05，所以y与x具有线性相关关系类型三非线性回归分析例3下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系；(3)利用所得模型，估计当x40时y的值考点非线性回归分析题点非线性回归分析解(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线yc1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令zlny，则有变换后的样本点应分布在直线zbxa，alnc1，bc2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程，数据可以转化为x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784(21233235)27.429，(1.9462.3984.7455.784)3.612，izi733.741，5414.求得线性回归方程为0.273x3.876，e0.273x3.876.(3)当x40时，e0.273x3.8761146.反思与感悟非线性回归问题的处理方法(1)指数型函数yebxa函数yebxa的图象处理方法：两边取对数，得lnylnebxa，即lnybxa.令zlny，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(2)对数型函数yblnxa函数yblnxa的图象：处理方法：设xlnx，原方程可化为ybxa，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(3)ybx2a型处理方法：设xx2，原方程可化为ybxa，再根据线性回归模型的方法求出a，b.跟踪训练3已知某种食品每千克的生产成本y(元)与生产该食品的重量x(千克)有关，经生产统计得到以下数据：x123510y10.155.524.082.852.11x203050100200y1.621.411.301.211.15通过以上数据，判断该食品的生产成本y(元)与生产的重量x(千克)的倒数之间是否具有线性相关关系若有，求出y关于的回归方程，并估计一下生产该食品500千克时每千克的生产成本约是多少(精确到0.01)考点非线性回归分析题点非线性回归分析解设u，通过已知数据得到y与u的相应数据为u10.50.330.20.1y10.155.524.082.852.11u0.050.030.020.010.005y1.621.411.301.211.15根据上述数据可求得相关系数r0.9998，于是有很大的把握认为y与具有线性相关关系而8.973，1.126，于是y与的回归方程为1.126.当x500时，1.1261.14.所以估计生产该食品500千克时每千克的生产成本约是1.14元.1设有一个线性回归方程21.5x，当变量x增加1个单位时，y平均_个单位考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案减少1.5解析由回归方程中两个变量之间的关系可以得到2如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是_(填序号)考点回归分析题点建立回归模型的基本步骤答案解析由图易知两个图中样本点在一条直线附近，因此适合用线性回归模型3某厂节能降耗技术改造后，在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表：x3456y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为0.7x0.35，则上表中的t_.考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案34下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过点_.x1234y1357考点线性回归方程题点样本点中心的应用答案(2.5,4)解析回归直线必过样本点中心(，)，即(2.5,4)5已知x，y之间的一组数据如下表：x0123y1357(1)分别计算：，x1y1x2y2x3y3x4y4，xxxx；(2)已知变量x与y线性相关，求出回归方程考点线性回归方程题点求线性回归方程解(1)1.5，4，x1y1x2y2x3y3x4y40113253734，xxxx0212223214.(2)2，421.51，故2x1.回归分析的步骤(1)确定研究对象，明确哪个变量是自变量，哪个变量是因变量(2)画出确定好的因变量关于自变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程x)(4)按一定规则估计回归方程中的参数一、填空题1根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回归方程为x，则，与0的大小关系是_考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案0，0解析作出散点图如下：观察图象可知，回归直线x的斜率0.故0，0.2某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：x(月份)12345y(万盒)55668若x，y线性相关，线性回归方程为0.7x，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量约为_万盒考点线性回归方程题点样本点中心的应用答案8.1解析回归直线一定过样本点中心由已知数据，可得3，6，代入回归方程，可得0.73.9，即回归方程为0.7x3.9.把x6代入，可得8.1，所以6月份的产量约为8.1万盒3某化工厂为预测某产品的回收率y，而要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得i52，i228，478，iyi1849，则y与x的线性回归方程是_考点线性回归方程题点求线性回归方程答案2.62x11.47解析由题中数据得6.5，28.5，2.62，28.52.626.511.47，y与x的线性回归方程是2.62x11.47.4已知x，y的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7从所得的散点图分析，y与x线性相关，且0.95x，则_.考点题点答案2.6解析2，4.5.又回归直线恒过定点(，)，代入得2.6.5从某大学随机选取8名女大学生，其身高x(cm)和体重y(kg)的线性回归方程为0.849x85.712，则身高172cm的女大学生，由线性回归方程可以估计其体重为_kg.考点题点答案60.316解析0.84917285.71260.316.6有下列关系：曲线上的点与该点的坐标之间的关系；苹果的产量与气候之间的关系；森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；学生与其学号之间的关系其中有相关关系的是_(填序号)考点题点答案解析由相关关系定义分析7某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得线性回归方程x中的为9.4，据此模型估计广告费用为6万元时的销售额为_万元考点题点答案65.5解析样本点中心是(3.5,42)，则429.43.59.1，所以线性回归方程是9.4x9.1，把x6代入，得65.5.8在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1,2，n)都在直线yx1上，则这组样本数据的样本相关系数为_考点线性相关系数题点线性相关系数的概念及计算答案1解析根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在一条直线上且直线斜率大于零时，相关系数为1.9对于回归分析，有下列叙述：在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定；线性相关系数可以是正的或是负的；回归分析中，如果r21或r1，说明x与y之间完全线性相关；样本相关系数r(，)其说法正确的序号是_考点题点答案解析由回归模型及其性质易知是正确的相关系数的取值范围应为|r|1，所以是错误的10在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线yebxa的周围令zlny，求得线性回归方程为0.25x2.58，则该模型的回归方程为_考点非线性回归分析题点非线性回归分析答案ye0.25x2.58解析因为0.25x2.58，zlny，所以e0.25x2.58.11在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同的回归方程，并对回归方程进行检验对这两个回归方程进行检验时，与实际数据(个数)的对比结果如下：与实际相符数据个数与实际不符数据个数合计甲回归方程32840乙回归方程402060合计7228100则从表中数据分析，_回归方程更好(即与实际数据更贴近)考点两个模型拟合效果的比较题点两个模型拟合效果的比较答案甲解析可以根据表中数据分析，两个回归方程对数据预测的正确率进行判断，甲回归方程的数据准确率为，而乙回归方程的数据准确率为.显然甲的准确率高些，因此甲回归方程好些二、解答题12某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时)2.5344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y关于x的线性回归方程x，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：，)考点线性回归方程题点求线性回归方程解(1)散点图如图(2)由表中数据得iyi52.5，3.5，3.5，54，所以0.7，所以1.05.所以0.7x1.05.回归直线如第(1)问图所示(3)将x10代入线性回归方程，得0.7101.058.05，所以预测加工10个零件需要8.05小时13为了研究某种细菌随时间x的变化繁殖个数y的变化情况，收集数据如下：时间x(天)123456繁殖个数y612254995190(1)用时间作自变量，繁殖个数作因变量作出这些数据的散点图；(2)求y与x之间的回归方程考点非线性回归分析题点非线性回归分析解(1)散点图如图所示：(2)由散点图看出样本点分布在一条指数曲线yc1ec2x的周围，于是令zln y，则x123456z1.792.483.223.894.555.25所以0.69x1.115，则有e0.69x1.115.三、探究与拓展14已知x，y的取值如下表：x2356y2.74.36.16.9从散点图分析y与x具有线性相关关系，且回归方程为1.02x，则_.考点题点答案0.92解析由题意得4，5，又(，)在直线1.02x上，所以541.020.92.15在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为12345价格x1.41.61.822.2需求量y1210753已知iyi62，16.6.(1)画出散点图；(2)求出y对x的线性回归方程；(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01t)考点题点解(1)散点图如图所示：(2)因为91.8，377.4，iyi62，16.6，所以11.5，7.411.51.828.1，故y对x的线性回归方程为11.5x28.1.(3)28.111.51.96.25(t)故价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25 t.
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