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回扣2导数1.导数的几何意义(1)f(x0)的几何意义：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，该切线的方程为yf(x0)f(x0)(xx0).(2)切点的两大特征：在曲线yf(x)上；在切线上.2.利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤求函数f(x)的定义域；求导函数f(x)；由f(x)0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f(x)0的解集确定函数f(x)的单调减区间.(2)由函数的单调性求参数的取值范围若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f(x)0(xM)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f(x)0(xM)恒成立；若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集；若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集.3.利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤确定函数的定义域；解方程f(x)0；判断f(x)在方程f(x)0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点.(2)求函数f(x)在区间a，b上的最值的一般步骤求函数yf(x)在a，b内的极值；比较函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f(x)0(0)对x(a，b)恒成立，不能漏掉“”，且需验证“”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调增(减)区间为(a，b)，则f(x)0(0)的解集为(a，b).2.f(x)0的解不一定是函数f(x)的极值点.一定要检验在xx0的两侧f(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点.1.曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是_.答案y解析f(x)的导数f(x)，曲线在点(1，f(1)处的切线斜率k0，切点为，曲线在点(1，f(1)处的切线方程为y.2.已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a_.答案2解析f(x)x312x，f(x)3x212，令f(x)0，则x12，x22.当x(，2)，(2，)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(2,2)时，f(x)0，f(x)单调递减，f(x)的极小值点为a2.3.f(x)x23xf(2)，则1f(1)_.答案3解析由f(x)x23xf(2)，求导可得f(x)2x3f(2)，f(2)43f(2)，f(2)2，则f(x)2x6，f(1)264，所以1f(1)3.4.设曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)3ax2cos x上某点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为_.答案解析由f(x)exx，得f(x)ex1，因为ex11，所以(0,1)，由g(x)3ax2cos x，得g(x)3a2sin x，又2sin x2,2，所以3a2sin x23a,23a，要使过曲线f(x)exx上任意一点的切线l1，总存在过曲线g(x)3ax2cos x上一点处的切线l2，使得l1l2，则解得a.5.函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极小值10，则ab的值为_.答案7解析f(x)3x22axb，由已知可得解得a4，b11或a3，b3，经验证，a4，b11符合题意，故ab7.6.设函数f(x)在R上存在导数f(x)，对任意xR，都有f(x)f(x)x2，在(0，)上f(x)x，若f(2m)f(m)m22m20，则实数m的取值范围为_.答案1，)解析令g(x)f(x)，则g(x)g(x)0，g(x)是R上的奇函数.又当x(0，)时，g(x)f(x)x0，所以g(x)在(0，)上单调递减，所以g(x)是R上的单调减函数.原不等式等价于g(2m)g(m)0，g(2m)g(m)g(m)，所以2mm，m1.7.若函数f(x)(12a)x2ln x(a0)在区间内有极大值，则a的取值范围是_.答案(1,2)解析f(x)ax(12a)(a0，x0).若f(x)在内有极大值，则f(x)在内先大于0，再小于0，即解得1a2.8.若函数f(x)则函数y|f(x)|的零点个数为_.答案4解析当x；当x1时，f(x)，则f(x)，令f(x)0，得x，当x1，)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(，)时，f(x)，且f(x)0，当x趋近于时，f(x)趋近于0.作出函数y|f(x)|的大致图象如图所示，由图可知，函数y|f(x)|的零点个数为4.9.已知函数f(x)(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数(x)xf(x)tf(x)，存在实数x1，x20,1，使得2(x1)(x2)成立，求实数t的取值范围.解(1)函数的定义域为R，f(x)，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0，f(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减.f(x)的单调增区间为(，0)，单调减区间为(0，).(2)存在x1，x20,1，使得2(x1)(x2)成立，则2(x)min(x)max.(x)xf(x)tf(x)ex，x0,1，(x).当t1时，(x)0，(x)在0,1上单调递减，2(1)(0)，即t31；当t0时，(x)0，(x)在0,1上单调递增，2(0)(1)，即t32e0；当0t1时，若x0，t)，则(x)0，(x)在0，t)上单调递减，若x(t,1，则(x)0，(x)在(t,1上单调递增，2(t)max(0)，(1)，即2max.(*)由(1)知，g(t)2在0,1上单调递减，故22，而，不等式(*)无解.综上所述，存在t(，32e)，使得命题成立.10.已知函数f(x)x3ax2，aR.(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程；(2)设函数g(x)f(x)(xa)cosxsin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解(1)由题意得f(x)x2ax，所以当a2时，f(x)x3x2，f(3)0，f(x)x22x，所以f(3)3，因此曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程是y3(x3)，即3xy90.(2)因为g(x)f(x)(xa)cosxsin x，所以g(x)f(x)cosx(xa)sin xcosxx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x).令h(x)xsin x，则h(x)1cosx0，所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)0，所以当x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0.当a0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，a)时，xa0，g(x)单调递增；当x(a,0)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增.所以当xa时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)a3sin a；当x0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)a.当a0时，g(x)x(xsin x)，当x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值；当a0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，0)时，xa0，g(x)单调递增；当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增.所以当x0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)a；当xa时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)a3sin a.综上所述，当a0时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3sin a.
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