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第八节指数式、对数式的运算一、基础知识批注理解深一点(1)根式的性质()na(a使有意义) 当n是奇数时，；当n是偶数时，|a|(2)分数指数幂的意义分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键a(a0，m，nN*，且n1)a(a0，m，nN*，且n1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 (3)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；ars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂2对数的概念及运算性质一般地，如果a(a0，且a1)的b次幂等于N，就是abN，那么，数b就叫做以a为底N的对数，记作：logaNb.指数、对数之间的关系(1)对数的性质负数和零没有对数；1的对数是；底数的对数等于.(2)对数的运算性质如果a0，且a1，M 0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；loga(Nn)nlogaN(nR)二、常用结论汇总规律多一点1换底公式的变形(1)logablogba1，即logab(a，b均大于0且不等于1)；(2)logambnlogab(a，b均大于0且不等于1，m0，nR)；(3)logNM(a，b，N均大于0且不等于1，M 0)2换底公式的推广logablogbclogcdlogad(a，b，c均大于0且不等于1，d0)3对数恒等式aN(a0且a1，N0)三、基础小题强化功底牢一点(1)4.()(2)与()n都等于a(nN*)()(3)log2x22log2x.()(4)若MN0，则loga(MN)logaMlogaN.()答案：(1)(2)(3)(4)(二)选一选1已知a0，则下列运算正确的是()AaaaBaa0C(a)2a Daaa答案：D2化简(x0，y0)得()A2x2y B2xyC4x2yD2x2y解析：选D因为x0，y0，则下列等式成立的是()A(2)24B2a3C(2)01 D(a)4解析：选D对于A，(2)2，故A错误；对于B，2a3，故B错误；对于C，(2)01，故C错误；对于D，(a)4，故D正确2化简4ab的结果为()A BC D6ab解析：选C原式6ab6ab1.3计算：2(0.002)_.解析：原式21010.答案：10 典例计算下列各式：(1)；(2)log23log38()log34.解(1)原式1.(2)原式333325.解题技法对数运算的一般思路拆首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并合将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算题组训练1(log29)(log34)()ABC2 D4解析：选D法一：原式4.法二：原式2log23224.2计算：100_.解析：原式lg100lg 1021021020.答案：203(2018全国卷)已知函数f(x)log2(x2a)若f(3)1，则a_.解析：f(x)log2(x2a)且f(3)1，1log2(9a)，9a2，a7.答案：74计算：log54(3)7_.解析：原式log52(3)2log5(1032)log551.答案：11设log23，则3x3x的值为()A.B.C. D.解析：选B由log23，得3x2，3x3x2.2化简(6ab)的结果为()A4a B4aC11a D4ab解析：选B原式2(6)(3)ab4ab04a.3(log29)(log32)logaloga(a0，且a1)的值为()A2 B3C4 D5解析：选B原式(2log23)(log32)loga21logaa3.4设a0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是()Aa BaCa Da解析：选Caa.5如果2loga(P2Q)logaPlogaQ(a0，且a1)，那么的值为()A. B4C1 D4或1解析：选B由2loga(P2Q)logaPlogaQ，得loga(P2Q)2loga(PQ)由对数运算性质得(P2Q)2PQ，即P25PQ4Q20，所以PQ(舍去)或P4Q，解得4.6若lg 2，lg(2x1)，lg(2x5)成等差数列，则x的值等于()A1 B0或C. Dlog23解析：选D由题意知lg2lg(2x5)2lg(2x1)，由对数的运算性质得2(2x5)(2x1)2，即(2x)290,2x3，xlog23.7已知函数f(x)则f(f(1)f的值是()A2 B3C4 D5解析：选Dlog3 0,且a1)，g(x)logbx(b0,且b1)，h(x)xc，则fa2，glogblogb22，hc2，a4，b，c1，f(x1)4x14x11，同理，x2，x3.x1x2x3.答案：13化简下列各式：(1)0.50.1230；(2) ；(3).解：(1)原式31003100.(2)原式 aaaa.(3)法一：原式.法二：原式.
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