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增分突破五电磁感应与动量观点综合问题增分策略1.应用动量定理解题的基本思路(1)确定研究对象,在中学阶段用动量定理讨论的问题,其研究对象一般仅限于单个物体或能看成一个物体的系统。(2)对物体进行受力分析,可以先求每个力的冲量,再求各力冲量的矢量和合力的冲量;或先求合力,再求其冲量。(3)抓住过程的初、末状态,选好正方向,确定各动量和冲量的正负号。(4)根据动量定理列方程,如有必要还需要其他补充方程。最后代入数据求解。2.应用动量定理的注意事项(1)一般来说,用牛顿第二定律能解决的问题,用动量定理也能解决,如果题目不涉及加速度和位移,用动量定理求解更简单。动量定理不仅适用于恒力,也适用于变力。为变力时,动量定理中的力F应理解为变力在作用时间内的平均值。(2)动量定理的表达式是矢量式,运用它分析问题时要特别注意冲量、动量及动量变化量的方向,公式中的F是物体或系统所受的合力。3.电磁感应与动量的结合主要有两个考点(1)对与单杆模型,则是与动量定理结合。例如在光滑水平轨道上运动的单杆(不受其他力作用),由于在磁场中运动的单杆为变速运动,则运动过程所受的安培力为变力,依据动量定理F安t=P,而又由于F安t=BILt=BLq,q=NR总=NBLxR总,P=mv2-mv1,由以上四式将流经杆的某一横截面积的电荷量q、杆位移x及速度变化结合一起。(2)对于双杆模型,除受到的安培力之外,受到的其他外力之和为零时,与动量守恒结合考查较多。典例1如图所示,一质量为m的金属杆ab,以一定的初速度v0从一光滑平行金属轨道的底端向上滑行,轨道平面与水平面成角,两导轨上端用一电阻相连,磁场方向垂直轨道平面向上,轨道与金属杆ab的电阻不计并接触良好。金属杆向上滑行到某一高度h后又返回到底端()A.整个过程中合外力的冲量大小为2mv0B.上滑过程中电阻R上产生的焦耳热等于下滑过程中电阻R上产生的焦耳热C.下滑过程中电阻R上产生的焦耳热小于12mv02-mghD.整个过程中重力的冲量大小为零答案C解析经过同一位置时,下滑的速度小于上滑的速度,所以返回底端时的速度小于v0,根据动量定理可知,整个过程中合外力的冲量大小小于2mv0,故A错误;在同一位置,棒下滑时受到的安培力小于上滑时所受的安培力,则下滑过程安培力的平均值小于上滑过程安培力的平均值,所以上滑过程导体棒克服安培力做功大于下滑过程克服安培力做功,故上滑过程中电阻R产生的热量大于下滑过程中电阻R上产生的热量,故B错误。对下滑过程根据动能定理得:Q=12mv2-mgh,因为vv0,所以Q12mv02-mgh,故C正确;重力的冲量I=mgt,时间不为零,冲量不为零,故D错误。典例2如图所示,两根足够长的固定平行金属光滑导轨位于同一水平面上,导轨上横放着的两根相同的导体棒ab、cd与导轨构成矩形回路。导体棒的两端连接着处于压缩状态的两根轻质弹簧,两棒的中间用细线绑住,它们的电阻均为R,回路上其余部分的电阻不计,在导轨平面内两导轨间有一竖直向下的匀强磁场。开始时,导体棒处于静止状态。剪断细线后,导体棒在运动过程中()A.回路中有感应电动势B.两根导体棒所受安培力的方向相同C.两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒,机械能守恒D.两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒,机械能不守恒答案D解析剪断细线后,导体棒在运动过程中,由于弹簧的作用,导体棒ab、cd反向运动,在导体棒运动的过程中,穿过导体棒ab、cd与导轨构成的矩形回路的磁通量增大,回路中产生感应电动势,导体棒ab、cd中的电流方向相反,根据左手定则可知两根导体棒所受安培力的方向相反,故A、B错误。两根导体棒和弹簧构成的系统在运动过程中所受合外力为0,所以系统动量守恒,但是由于产生感应电流,一部分机械能转化为内能,所以系统机械能不守恒。典例3如图甲所示,间距L=0.4 m的金属轨道竖直放置,上端接定值电阻R1=1 ,下端接定值电阻R2=4 。其间分布着两个有界匀强磁场区域:区域内的磁场方向垂直纸面向里,其磁感应强度B1=3 T;区域内的磁场方向竖直向下,其磁感应强度B2=2 T。金属棒MN的质量m=0.12 kg,在轨道间的电阻r=4 ,金属棒与轨道间的动摩擦因数=0.8。现从区域的上方某一高度处静止释放金属棒,当金属棒MN刚离开区域后B1便开始均匀变化。整个过程中金属棒的速度随下落位移的变化情况如图乙所示,v2-x图像中除ab段外均为直线,Oa段与cd段平行。金属棒在下降过程中始终保持水平且与轨道间接触良好,轨道电阻及空气阻力忽略不计,两磁场间互不影响。求:(g取10 m/s2)(1)金属棒在图像上a、c两点对应的速度大小;(2)金属棒经过区域的时间;(3)B1随时间变化的函数关系式(从金属棒离开区域后开始计时);(4)从金属棒开始下落到刚进入区域的过程中回路中产生的焦耳热。答案见解析解析(1)金属棒在00.2 m内未进入区域,做自由落体运动,有va2=2gx1,x1=0.2 m,解得va=2 m/s由图乙可知在bc阶段,金属棒速度保持不变,安培力与重力是平衡力,mg=B1IL,I=B1LvcR总,金属棒在区域切割磁感线,相当于电源,R1、R2并联后接在电源两端,电路中总电阻R总=r+R1R2R1+R2=4.8 联立得vc=4 m/s(2)从a点到c点,根据动量定理得mgt-B1ILt=mvc-mvaq=It=B1Lx2R总,x2=2.7 m-0.2 m=2.5 m解得t=0.825 s(3)由图乙可知金属棒进入区域后速度大小保持不变,mg=B2I棒L,解得I棒=158 A磁场区域为等效感生电源,金属棒与R2并联后再与R1串联干路电流I总=2I棒=154 A,R总=R1+rR2r+R2=3 Lx2B1t=I总R总,解得B1t=11.25 T/s若金属棒在导轨正面,则B1=(3+11.25t)T若金属棒在导轨背面,则B1=(3-11.25t)T(4)Q1=mg(x1+x2)-12mvc2,得Q1=2.28 Jx3=vct+12gt2,x3=3.15 m-2.7 m=0.45 m,得t=0.1 sQ2=I总2R总t=154230.1 J4.22 JQ=Q1+Q2=6.50 J增分专练1.如图所示,水平放置的、足够长的光滑金属轨道与光滑倾斜轨道以小圆弧平滑对接。在倾斜轨道上高h=1.8 m处放置一金属杆a,在平直轨道靠右端处放置另一金属杆b,平直轨道区域有竖直向上的匀强磁扬。现由静止释放杆a,杆a下滑到水平轨道后即进入磁场,此时杆b的速度大小为v0=3 m/s,方向向左。已知ma=2 kg,mb=1 kg,金属杆与轨道接触良好,g取10 m/s2。求:(1)杆a下滑到水平轨道上瞬间的速度大小。(2)杆a、b在水平轨道上的共同速度大小。(3)在整个过程中电路消耗的电能。答案(1)6 m/s(2)3 m/s(3)27 J解析(1)设杆a下滑到水平轨道瞬间的速度为va,杆a从斜轨道上下滑到水平轨道的过程中,只有重力做功,由机械能守恒定律得magh=12mava2解得va=6 m/s。(2)当a以6 m/s的速度进入匀强磁场后,a、b两杆所受的安培力等大反向,合力为零,最终一起匀速运动。设共同的速度为v,取水平向右为正,由动量守恒定律得mava-mbv0=(ma+mb)v解得v=3 m/s(3)设消耗的电能为E,由能量守恒定律得E=12mava2+12mbv02-12(ma+mb)v2代入数据解得E=27 J。2.如图所示,相距较远的水平轨道与倾斜轨道用导线相连,MNEF、PQGH,且组成轨道的两个金属棒间距都为L。金属细硬杆ab、cd分别与轨道垂直,质量均为m,电阻均为R,与轨道间动摩擦因数均为,导轨电阻不计。水平轨道处于竖直向上、磁感应强度为B1的匀强磁场中;倾斜轨道与水平面成角,磁感应强度为B2的匀强磁场平行于倾斜轨道向下。当ab杆在平行于水平轨道的拉力作用下做匀速运动时,cd杆由静止开始沿倾斜轨道向下以加速度a=g sin 运动。设ab、cd与轨道接触良好,重力加速度为g。求:(1)通过cd杆的电流大小和方向;(2)ab杆匀速运动的速度的大小和拉力的大小;(3)cd杆由静止开始沿轨道向下运动距离x的过程中,整个回路产生的焦耳热。答案(1)mgcosB2L,方向由d流向c(2)2mgRcosB1B2L2(B1cosB2+)mg(3)2m2g2Rcos2B22L22xgsin解析(1)根据cd杆以加速度a=g sin 沿轨道向下做匀加速运动,可知cd杆不受摩擦力的作用,即安培力和重力垂直于导轨方向的分力平衡,所以安培力垂直于导轨向上,cd杆的电流方向为由d流向c由mg cos =B2IL可得I=mgcosB2L(2)cd杆的电流方向为由d流向c,可得ab杆的电流方向为由a流向b,再根据右手定则判断,得ab杆匀速运动的速度方向为水平向右。拉力方向水平向右,摩擦力和安培力方向水平向左。由I=B1Lv2R得v=2mgRcosB1B2L2ab杆所受拉力F=F安+mg=B1IL+mg=(B1cosB2+)mg(3)对cd杆由运动学公式x=12at2得运动时间为t=2xa=2xgsin整个回路中产生的焦耳热为Q=I22Rt=2m2g2Rcos2B22L22xgsin。3.如图所示,水平面内固定两对足够长的平行光滑导轨,左侧两导轨间的距离为2L,右侧两导轨间的距离为L,左、右两部分用导线连接,左、右侧的两导轨间都存在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场。两均匀的导体棒ab和cd分别垂直放在左、右两侧的导轨上,ab棒的质量为2m、有效电阻为2r,而cd棒的质量为m、有效电阻为r,其他部分的电阻不计。原来两棒都处于静止状态,现给以一大小为I0、方向平行导轨向右的冲量使ab棒向右运动,在达到稳定状态时,两棒均未滑出各自的轨道。求:(1)cd棒中的最大电流Im;(2)cd棒的最大加速度;(3)两棒达到稳定状态时,各自的速度。答案(1)BLI03mr(2)B2L2I03m2r(3)见解析解析(1)ab棒获得一冲量,所以初速度v0=I02m分析知开始时回路中的感应电动势最大,最大值为Em=2BLv0所以cd棒中最大感应电流Im=Em2r+r=BLI03mr(2)cd棒受到的最大安培力Fm=BImLcd棒的最大加速度am=Fmm=B2L2I03m2r(3)当两棒中感应电动势大小相等时系统达到稳定状态,有2BLvab=BLvcd由ab棒与cd棒中感应电流大小总是相等,可知安培力对ab棒与cd棒的冲量大小关系为Iab=2Icd根据动量定理对ab棒有I0-Iab=2mvab根据动量定理对cd棒有Icd=mvcd解得vab=I06m,vcd=I03m。4.如图甲所示,两个形状相同、倾角均为37的足够长的斜面对接在一起,左侧斜面粗糙,右侧斜面光滑。一个电阻不计、质量m=1 kg的足够长的U形金属导轨MMNN置于左侧斜面上,导轨MMNN与斜面间的动摩擦因数=0.5,质量m=1 kg、电阻为R的光滑金属棒ab通过跨过定滑轮的轻质绝缘细线与质量为m0的滑块相连,金属棒ab与导轨MMNN接触良好且始终垂直(金属棒ab始终不接触左侧斜面),左侧斜面处于垂直斜面向下的匀强磁场中。初始状态时,托住滑块,使导轨MMNN、金属棒ab及滑块组成的系统处于静止状态,某时刻释放滑块,当其达到最大速度时,导轨MMNN恰好要向上滑动。已知细线始终与斜面平行,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,sin 37=0.6,cos 37=0.8,重力加速度g取10 m/s2。甲乙(1)求滑块的质量m0。(2)以释放滑块的时刻为计时起点,滑块的速度v随时间t的变化情况如图乙所示,若匀强磁场的磁感应强度B=2 T,导轨MMNN宽度L=7 m,求在滑块加速运动过程中系统产生的焦耳热。答案(1)103 kg(2)3.3 J解析(1)金属框将要向上运动时,由平衡知识可知mg sin 37+2mg cos 37=F安解得F安=14 N对滑块及金属棒组成的系统,由平衡条件可知:mg sin 37+F安=m0g sin 37解得m0=103 kg(2)达到最大速度时,安培力F安=BIL=B2L2vR=14 N由图乙知最大速度v=1 m/s解得R=2 加速阶段对滑块以及金属棒ab组成的系统,由动量定理可知:m0gt sin 37-mgt sin 37-BILt=(m0+m)v加速阶段通过金属棒ab的电荷量为q=It结合法拉第电磁感应定律以及闭合电路的欧姆定律可得q=R=BLxR解得x=41105 m加速阶段由能量守恒定律得m0gx sin 37=mgx sin 37+12(m0+m)v2+Q解得Q=3.3 J即滑块在加速运动过程中系统产生的焦耳热为3.3 J。5.如图所示,水平放置的平行光滑导轨,固定在桌面上,宽度为L,处在磁感应强度为B,竖直向下的匀强磁场中。桌子离开地面的高度为H。初始时刻,质量为m的杆ab与导轨垂直且静止,距离导轨边缘为d。质量同为m的杆cd与导轨垂直,以初速度v0进入磁场区域。最终发现两杆先后落在地面上。已知两杆的电阻均为R,导轨电阻不计,两杆落地点之间的距离为s。求:(1)ab杆从磁场边缘射出时的速度大小;(2)ab杆射出时,cd杆运动的距离;(3)在两根杆相互作用的过程中,回路中产生的电能。答案见解析解析(1)设ab、cd杆从磁场边缘射出时的速度分别为v1、v2。设ab杆落地点的水平位移为x,cd杆落地点的水平位移为x+s,则有x=v12Hg(1分)x+s=v22Hg(1分)根据动量守恒mv0=mv1+mv2(1分)我们可以求出v2=v02+s2g2Hv1=v02-s2g2H(1分)(2)ab杆运动距离为d,对ab杆应用动量定理BILt=BLq=mv1(1分)设cd杆运动距离为d+xq=2R=BLx2R(1分)解得x=2Rmv1B2L2(1分)cd杆运动距离为d+x=d+2RmB2L2v02-s2g2H(1分)(3)根据能量守恒,电路中损耗的焦耳热等于体系损失的机械能Q=12mv02-12mv12-12mv22=14mv02-mgs28H(2分)6.如图所示,MN、PQ是固定在水平桌面上,相距l=1.0 m的光滑平行金属导轨,MP两点间接有R=0.6 的定值电阻,导轨电阻不计。质量均为m=0.1 kg,阻值均为r=0.3 的两导体棒a、b垂直于导轨放置,并与导轨良好接触。开始时两棒被约束在导轨上处于静止,相距x0=2 m,a棒用细丝线通过光滑滑轮与质量为m0=0.2 kg的重物c相连,重物c距地面高度h=2 m。整个桌面处于竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度B=1.0 T。a棒解除约束后,在重物c的拉动下开始运动(运动过程中丝线始终与b棒没有作用),当a棒即将到达b棒位置前一瞬间,b棒的约束被解除,此时a棒已经匀速运动,试求:(1)a棒匀速运动时棒中的电流大小;(2)已知a、b两棒相碰后即粘合成一根“更粗的棒”,假设导轨足够长,试求该“粗棒”能运动的距离;(3)a棒解除约束后整个过程中装置产生的总焦耳热。答案(1)2 A(2)0.075 m(3)3.875 J解析(1)由题意m0g=BlIa可得Ia=2 A(2)设碰前a棒的速度为v,则Ia=BlvR总R总=RrR+r+r=0.60.30.6+0.3+0.3 =0.5 v=1 m/sab碰撞过程:mv=2mvv=0.5 m/sab碰撞后的整体运动过程-IlBt=0-2mvq=It=BlxR+r2得x=0.075 m(3)发生碰撞前m0gh-Q1=12(m0+m)v2得Q1=3.85 J发生碰撞后Q2=12mv2=0.025 J所以整个运动过程Q=Q1+Q2=3.875 J
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