（江苏专用）2019高考数学二轮复习 第二篇 第13练 空间中的平行与垂直试题 理.docx

第13练空间中的平行与垂直明晰考情1.命题角度：空间中的平行、垂直关系的证明.2.题目难度：低档难度.考点一空间中的平行关系方法技巧(1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系.(2)证明过程中要严格遵循定理中的条件，注意推证的严谨性.1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN平面AA1B1B.证明如图所示，作MEBC交BB1于点E，作NFAD交AB于点F，连结EF，则EF平面AA1B1B.MEBC，NFAD，.在正方体ABCDA1B1C1D1中，CMDN，B1MNB.又B1CBD，又BCAD，MENF.又MEBCADNF，四边形MEFN为平行四边形，MNEF.又EF平面AA1B1B，MN平面AA1B1B，MN平面AA1B1B.2.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，且AB2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在？请说明理由.解存在这样的点F，使平面C1CF平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：ABCD，AB2CD，AFCD且AFCD，四边形AFCD是平行四边形，ADCF.又AD平面ADD1A1，CF平面ADD1A1，CF平面ADD1A1.又CC1DD1，CC1平面ADD1A1，DD1平面ADD1A1，CC1平面ADD1A1.又CC1，CF平面C1CF，CC1CFC，平面C1CF平面ADD1A1.考点二空间中的垂直关系方法技巧判定直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直定义.(2)利用线面垂直的判定定理，一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直.(3)利用线面垂直的性质，两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面.(4)利用面面垂直的性质定理，两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.3.如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点.求证：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.证明(1)如图，取CE的中点G，连结FG，BG.F为CD的中点，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四边形GFAB为平行四边形，AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，CD，DE平面CDE，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.4.如图，在六面体ABCDE中，平面DBC平面ABC，AE平面ABC.(1)求证：AE平面DBC；(2)若ABBC，BDCD，求证：ADDC.证明(1)过点D作DOBC，垂足为O.平面DBC平面ABC，平面DBC平面ABCBC，DO平面DBC，DO平面ABC.又AE平面ABC，则AEDO.又AE平面DBC，DO平面DBC，故AE平面DBC.(2)由(1)知，DO平面ABC，AB平面ABC，DOAB.又ABBC，且DOBCO，DO，BC平面DBC，AB平面DBC.DC平面DBC，ABDC.又BDCD，ABDBB，AB，DB平面ABD，则DC平面ABD.又AD平面ABD，故可得ADDC.考点三平行和垂直的综合应用方法技巧空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.5.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点.求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.证明(1)在PAD中，E，F分别为AP，AD的中点，EFPD.又EF平面PCD，PD平面PCD，直线EF平面PCD.(2)如图，连结BD.ABAD，BAD60，ADB为正三角形.F是AD的中点，BFAD.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BF平面ABCD，BF平面PAD.又BF平面BEF，平面BEF平面PAD.6.由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E平面ABCD.(1)证明：A1O平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1，连结CO1，A1O1，由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD.因为B1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1.又A1E，EM平面A1EM，A1EEME，所以B1D1平面A1EM.又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1.典例(14分)如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧面PAD底面ABCD，PAAD，点E，F，H分别为AB，PC，BC的中点.(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PAH平面DEF.审题路线图(1)(2)规范解答评分标准证明(1)取PD的中点M，连结FM，AM.在PCD中，F，M分别为PC，PD的中点，FMCD且FMCD.在正方形ABCD中，AECD且AECD，AEFM且AEFM，则四边形AEFM为平行四边形，AMEF.4分又EF平面PAD，AM平面PAD，EF平面PAD.6分(2)侧面PAD底面ABCD，PAAD，侧面PAD底面ABCDAD，PA底面ABCD.DE底面ABCD，DEPA.E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，RtABHRtDAE，则BAHADE，BAHAED90，则DEAH.10分PA平面PAH，AH平面PAH，PAAHA，DE平面PAH.12分DE平面DEF，平面PAH平面DEF.14分构建答题模板第一步找线线：通过三角形或四边形的中位线，平行四边形，等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直.第二步找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行.第三步找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行.第四步写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.1.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，CAAB，M为CB1的中点.(1)求证：AC平面MA1B；(2)求证：平面CAB1平面MA1B.证明(1)如图，设AB1与A1B的交点为O，连结OM.因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是平行四边形，所以O为AB1的中点.因为M为CB1的中点，所以OM是ACB1的中位线，所以OMAC.因为OM平面MA1B，AC平面MA1B，所以AC平面MA1B.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，因为CA平面ABC，所以CAAA1，因为CAAB，ABAA1A，AB，AA1平面ABB1A1，所以CA平面ABB1A1.因为A1B平面ABB1A，所以CAA1B.因为在平行四边形ABB1A1中，AA1AB，ABAA1，所以四边形ABB1A1是正方形，所以A1BAB1.因为CA，AB1平面CAB1，CAAB1A，所以A1B平面CAB1.因为A1B平面MA1B，所以平面CAB1平面MA1B.2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点，O为AC与BD的交点.(1)求证：OE平面PCD；(2)若DECD，PDAD，求证：平面APD平面PAB.证明(1)因为底面ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点，所以O为AC的中点，又E为侧棱PA的中点，所以OE为ACP的中位线，所以OEPC，因为PC平面PCD，OE平面PCD，所以OE平面PCD.(2)因为底面ABCD为平行四边形，所以CDAB，又DECD，所以DEAB.因为PDAD，E为侧棱PA的中点，所以DEAP.又AP平面PAB，AB平面PAB，APABA，所以DE平面PAB，又DE平面APD，所以平面APD平面PAB.3.(2018江苏)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B.又因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因为A1BBCB，A1B，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.4.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点.求证：(1)PEBC；(2)平面PAB平面PCD；(3)EF平面PCD.证明(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD，所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，PAABA，PA，AB平面PAB，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连结FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC，因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.