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第七章 立体几何初步单元过关检测(七) (120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设a,b是平面内两条不同的直线,l是平面外的一条直线,则“la,lb”是“l”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.若a,b是平面内两条不同的直线,l是平面外的一条直线,la,lb,ab,则l可以与平面斜交,推不出l.若l,a,b是平面内两条不同的直线,l是平面外的一条直线,则la,lb.所以“la,lb”是“l”的必要不充分条件.2.关于空间两条直线a,b和平面,下列命题正确的是()A.若ab,b,则aB.若a,b,则abC.若a,b,则abD.若a,b,则ab【解析】选D.线面平行的判定定理中的条件要求a,故A错;对于线面平行,这条直线与面内的直线的位置关系可以平行,也可以异面,故B错;平行于同一个平面的两条直线的位置关系:平行、相交、异面都有可能,故C错;垂直于同一个平面的两条直线是平行的,故D正确.3.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()【解析】选D.所得几何体的轮廓线中,除长方体原有的棱外,有两条是原长方体的面对角线,它们在侧视图中落在矩形的两条边上,另一条是原长方体的体对角线,在侧视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线,因不可见,故用虚线表示.4.(2018黄山模拟)已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点组成的平面截去一个三棱台后的几何体的正视图和俯视图如图所示,则它的侧视图是()【解析】选A.如图,由题意可知截取三棱台后的几何体是七面体,侧视图的轮廓是正方形,因AP不可见,故而用虚线.5.如图是棱长为2的正方体的表面展开图,则多面体ABCDE的体积为()A.2B.C.D.【解析】选D.多面体ABCDE为四棱锥(如图),利用割补法可得其体积V=4-=.6.封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球,若ABBC,AB=6,BC=8, AA1=3,则V的最大值是()A.4B.C.6D.【解析】选B.由题意知,底面三角形的内切圆直径为4,三棱柱的高为3,所以球的最大直径为3,V的最大值为.7.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该几何体的表面积为()A.16B.8+8C.2+2+8D.4+4+8【解析】选D.由三视图知,该几何体是底面边长为=2的正方形,高PD=2的四棱锥P-ABCD,因为PD平面ABCD,且四边形ABCD是正方形,易得BCPC,BAPA,又PC=2,所以SPCD=SPAD=22=2,SPAB=SPBC=22=2.所以几何体的表面积为4+4+8.8.在梯形ABCD中,ABC=,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ()A.B.C.D.2【解析】选C.过点C作CE垂直于AD所在直线于点E,梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径,线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径,ED为高的圆锥而成,如图所示,该几何体的体积为V=V圆柱-V圆锥=AB2BC-CE2DE=122-121=.9.在正三棱锥S-ABC中,点M是SC的中点,且AMSB,底面边长AB=2,则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为()A.6B.12C.32D.36【解析】选B.因为三棱锥S-ABC为正三棱锥,所以SBAC,又AMSB,ACAM=A,所以SB平面SAC,所以SBSA,SBSC,同理,SASC,即SA,SB,SC三线两两垂直,且AB=2,所以SA=SB=SC=2,所以(2R)2=322=12,所以球的表面积S= 4R2=12.10.如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BDCD,将其沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一个球面上,则该球的体积为 ()A.B.3C.D.2【解析】选A.如图所示,取BD的中点E,BC的中点O,连接AE,EO,AO,OD.因为平面ABD平面BCD,AEBD,平面ABD平面BCD=BD,AE平面ABD,所以AE平面BCD.因为AB=AD=CD=1,BD=,所以AE=,EO=,所以OA=.在RtBCD中,OB=OC=OD=BC=,所以四面体ABCD的外接球的球心为O,球的半径为,所以V球=.11.如图,四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ADB沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是()A.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDCD.平面ADC平面ABC【解析】选D.因为在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,所以BDCD,又平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCD=BD,CD平面BCD,所以CD平面ABD,则CDAB,又ADAB,ADCD=D,所以AB平面ADC,又AB平面ABC,所以平面ABC平面ADC.12.(2018金华模拟)棱长为4的正四面体内切一球,然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球,则这些小球的最大半径为()A.B.C.D.【解析】选B.由于正四面体的棱长为4,故四个面的面积都是(4)2=12,又顶点A在底面BCD上的投影为底面的中心G,点G到底面三个顶点的距离都是4,由此知顶点A到底面BCD的距离是=4,此正四面体的体积是124=16,设最初正四面体内切球半径为r,则正四面体的体积为r124=16r,故有r=,故上半部分的以小球为内切球的三棱锥的高为2,原正四面体的高为4,所以空隙处放入一个小球,设小球的最大半径为a,=,所以a=.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),ABC=45,AB=AD=1,DCBC,则这块菜地的面积为_.【解析】如图,在直观图中,过点A作AEBC,垂足为点E,则在RtABE中,AB=1,ABE=45,所以BE=.而四边形AECD为矩形,AD=1,所以EC=AD=1,所以BC=BE+EC=+1.由此可还原原图形如图.在原图形中,AD=1,AB=2,BC=+1,且ADBC,ABBC,所以这块菜地的面积为S=(AD+BC)AB=2=2+.答案:2+14.如图所示,从棱长为6 cm的正方体铁皮箱ABCD-A1B1C1D1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形.如果用图示中这样一个装置来盛水,那么最多能盛的水的体积为_ cm3.【解析】最多能盛多少水,实际上是求三棱锥C1-CD1B1的体积.又=6=36(cm3),所以用图示中这样一个装置来盛水,最多能盛36 cm3体积的水.答案:3615.已知几何体的三视图如图所示(单位:cm).则这个几何体的表面积为_,体积为_.【解析】这个几何体的直观图如图所示.这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆柱(底面半径为1 cm,高为2 cm),它的上部是一个圆锥(底面半径为1 cm,母线长为2 cm,高为 cm).所以所求表面积S=12+212+12=7(cm2),所求体积V=122+12=2+(cm3).答案:7 cm2 cm316.如图,正方形BCDE的边长为a,已知AB=BC,将ABE沿边BE折起,折起后A点在平面BCDE上的射影为D点,对翻折后的几何体有如下描述:AB与DE所成角的正切值是;ABCE;VB-ACE是a3;平面ABC平面ADC.其中正确的是_.(填写你认为正确的序号)【解析】作出折叠后的几何体的直观图如图所示:因为AB=a,BE=a,所以AE=a.所以AD=a,所以AC=a.在ABC中,cosABC=.所以sinABC=.所以tanABC=.因为BCDE,所以ABC是异面直线AB,DE所成的角,故正确.连接BD,CE,则CEBD,又AD平面BCDE,CE平面BCDE,所以CEAD,又BDAD=D,BD平面ABD,AD平面ABD,所以CE平面ABD,又AB平面ABD,所以CEAB.故错误.三棱锥B-ACE的体积V=SBCEAD=a2a=,故正确.因为AD平面BCDE,BC平面BCDE,所以BCAD,又BCCD,ADCD=D,所以BC平面ACD,因为BC平面ABC,所以平面ABC平面ACD.故正确.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,P分别为棱AB,BC,C1D1的中点.求证:(1)AP平面C1MN.(2)平面B1BDD1平面C1MN.【证明】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为点M,P分别为棱AB,C1D1的中点,所以AM=PC1.又AMCD,PC1CD,故AMPC1,所以四边形AMC1P为平行四边形.从而APC1M,又AP平面C1MN,C1M平面C1MN,所以AP平面C1MN.(2)连接AC,在正方形ABCD中,ACBD.又点M,N分别为棱AB,BC的中点,故MNAC.所以MNBD.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1平面ABCD,又MN平面ABCD,所以DD1MN,而DD1DB=D,DD1,DB平面B1BDD1,所以MN平面B1BDD1,又MN平面C1MN,所以平面B1BDD1平面C1MN.18.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2, BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE平面B1BCC1.(2)求证:C1F平面ABE.(3)求三棱锥E-ABC的体积.【解析】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为BB1底面ABC,AB平面ABC,所以BB1AB.因为ABBC,BB1BC=B,所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE,所以平面ABE平面B1BCC1.(2)取AB的中点G,连接EG,FG.因为G,F分别是AB,BC的中点,所以FGAC,且FG=AC.因为ACA1C1,且AC=A1C1,所以FGEC1,且FG=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形,所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.(3)因为AA1=AC=2,BC=1,ABBC,所以AB=,所以三棱锥E-ABC的体积V=SABCAA1=12=.19.(12分)(2018临沂模拟)如图,圆锥的轴截面为三角形SAB,O为底面圆圆心,C为底面圆周上一点,D为BC的中点.(1)求证:平面SBC平面SOD.(2)如果AOC=SDO=60,BC=2,求该圆锥的侧面积.【解析】(1)由题意知,SO平面OBC.又BC平面OBC.所以SOBC.在OBC中,OB=OC,CD=BD,所以ODBC.又SOOD=O,所以BC平面SOD.又BC平面SBC,所以平面SBC平面SOD.(2)在OBC中,OB=OC,CD=BD,因为AOC=60,所以COD=60.因为CD=BC=,所以OD=1,OC=2,在SOD中,SDO=60,又SOOD,所以SO=,在SAO中,OA=OC=2,所以SA=.所以该圆锥的侧面积S侧=OASA=2.20.(12分)(2018南阳模拟)如图,四边形ABCD是正方形,DE平面ABCD,AFDE,DE=DA=2AF=2.(1)求证:AC平面BDE.(2)求证:AC平面BEF.(3)求四面体BDEF的体积.【解析】(1)因为DE平面ABCD,所以DEAC.因为ABCD是正方形,所以ACBD,因为DEBD=D,所以AC平面BDE.(2)设ACBD=O,取BE中点G,连接FG,OG,所以OGDE.因为AFDE,DE=2AF,所以AFOG,从而四边形AFGO是平行四边形,FGAO,因为FG平面BEF,AO平面BEF,所以AO平面BEF,即AC平面BEF.(3)因为DE平面ABCD,所以DEAB.因为正方形ABCD中,ABAD,且ADDE=D,所以AB平面ADEF,因为AFDE,DE=DA=2AF=2,所以DEF的面积S=EDAD=2,所以四面体BDEF的体积=SDEFAB=.21.(12分)如图,在RtABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EFBC交AC于点F,将AEF沿EF折起到PEF的位置(点A与点P重合),使得PEB=30.(1)求证:EFPB.(2)试问:当点E在何处时,四棱锥P-EFCB的侧面PEB的面积最大?并求此时四棱锥P-EFCB的体积.【解析】(1)因为EFBC,且BCAB,所以EFAB,即EFBE,EFPE.又BEPE=E,所以EF平面PBE,又PB平面PBE,所以EFPB.(2)设BE=x,PE=y,则x+y=4.所以SPEB=BEPEsinPEB=xy=1.当且仅当x=y=2时,SPEB的面积最大.此时,BE=PE=2.由(1)知EF平面PBE,所以平面PBE平面EFCB,在平面PEB中,作POBE于点O,又平面PBE平面EFCB=BE,所以PO平面EFCB.即PO为四棱锥P-EFCB的高.又PO=PEsin 30=2=1,S四边形EFCB=(2+4)2=6,所以VP-BCFE=61=2.22.(12分)如图1,在正ABC中,E,F分别是AB,AC边上的点,且BE=AF=2CF.点P为边BC上的点,将AEF沿EF折起到A1EF的位置,使平面A1EF平面BEFC,连接A1B,A1P,EP,如图2所示.(1)求证:A1EFP.(2)若BP=BE,点K为棱A1F的中点,则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行,若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.【解析】(1)在正ABC中,取BE的中点D,连接DF,如图3.因为BE=AF=2CF,所以AF=AD,AE=DE,而A=60,所以ADF为正三角形,又AE=DE,所以EFAD.所以在题干图2中,A1EEF,BEEF.故A1EB为二面角A1-EF-B的一个平面角,因为平面A1EF平面BEFC,所以A1EB=90,即A1EEB.因为EFEB=E,所以A1E平面BEFC.因为FP平面BEFC,所以A1EFP.(2)在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行.理由如下:如图1,在正ABC中,因为BP=BE,BE=AF,所以BP=AF,所以FPAB,所以FPBE.如图4,取A1P的中点M,连接MK,因为点K为棱A1F的中点,所以MKFP.因为FPBE,所以MKBE.因为MK平面A1BE,BE平面A1BE,所以MK平面A1BE.故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行.
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