(浙江专用)2020版高考数学新增分大一轮复习 第十章 计数原理 10.3 二项式定理讲义(含解析).docx

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10.3二项式定理最新考纲考情考向分析1.了解二项式定理.2.理解二项式系数的性质.以理解和应用二项式定理为主,常考查二项展开式,通项公式以及二项式系数的性质,赋值法求系数的和也是考查的热点;本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查,难度中档.1.二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tk1Cankbk,它表示第k1项二项式系数二项展开式中各项的系数C(k0,1,2,n)2.二项式系数的性质(1)C1,C1.CCC.(2)CC.(3)当n是偶数时,项的二项式系数最大;当n是奇数时,与项的二项式系数相等且最大.(4)(ab)n展开式的二项式系数和:CCCC2n.概念方法微思考1.(ab)n与(ba)n的展开式有何区别与联系?提示(ab)n的展开式与(ba)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.2.二项展开式形式上有什么特点?提示二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C,C,一直到C,C.3.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗?提示不一定最大,当二项式中a,b的系数为1时,此时二项式系数等于项的系数,否则不一定.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)Cankbk是二项展开式的第k项.()(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.()(4)(ab)n的展开式第k1项的系数为Cankbk.()(5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n.()题组二教材改编2.P31例2(2)(12x)5的展开式中,x2的系数等于()A.80B.40C.20D.10答案B解析Tk1C(2x)kC2kxk,当k2时,x2的系数为C2240.3.P31例2(2)若n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为()A.10B.20C.30D.120答案B解析二项式系数之和2n64,所以n6,Tk1Cx6kkCx62k,当62k0,即当k3时为常数项,T4C20.4.P41B组T5若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4,则a0a2a4的值为()A.9B.8C.7D.6答案B解析令x1,则a0a1a2a3a40,令x1,则a0a1a2a3a416,两式相加得a0a2a48.题组三易错自纠5.(xy)n的二项展开式中,第m项的系数是()A.CB.CC.CD.(1)m1C答案D解析(xy)n二项展开式第m项的通项公式为TmC(y)m1xnm1,所以系数为C(1)m1.6.已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1,a2,a3,ak(1k11,kN*)是一个单调递增数列,则k的最大值是()A.5B.6C.7D.8答案B解析由二项式定理知,anC(n1,2,3,11).又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项,所以a6C,则k的最大值为6.7.(xy)4的展开式中,x3y3项的系数为_.答案6解析二项展开式的通项是Tk1C(x)4k(y)k,令423,解得k2,故展开式中x3y3的系数为(1)2C6.题型一二项展开式命题点1求指定项(或系数)例1(1)(1x)6的展开式中x2的系数为()A.15B.20C.30D.35答案C解析因为(1x)6的通项为Cxk,所以(1x)6的展开式中含x2的项为1Cx2和Cx4.因为CC2C230,所以(1x)6的展开式中x2的系数为30.故选C.(2)(2018温州市高考适应性测试)在9的展开式中,常数项是()A.CB.CC.8CD.8C答案D解析二项式9的展开式的通项公式为C9k(2x)k,令0,得k3,则二项式9的展开式中的常数项为(2)3C8C,故选D.(3)(x2xy)4的展开式中,x3y2的系数是_.答案12解析方法一(x2xy)4(x2x)y4,其展开式的第k1项的通项公式为Tk1C(x2x)4kyk,因为要求x3y2的系数,所以k2,所以T3C(x2x)42y26(x2x)2y2.因为(x2x)2的展开式中x3的系数为2,所以x3y2的系数是6212.方法二(x2xy)4表示4个因式x2xy的乘积,在这4个因式中,有2个因式选y,其余的2个因式中有一个选x,剩下的一个选x2,即可得到含x3y2的项,故x3y2的系数是CCC12.命题点2求参数例2(1)若(x2a)10的展开式中x6的系数为30,则a等于()A.B.C.1D.2答案D解析由题意得10的展开式的通项公式是Tk1Cx10kkCx102k,10的展开式中含x4(当k3时),x6(当k2时)项的系数分别为C,C,因此由题意得CaC12045a30,由此解得a2,故选D.(2)若6的展开式中常数项为,则实数a的值为()A.2B.C.2D.答案A解析6的展开式的通项为Tk1C(x2)6kkCkx123k,令123k0,得k4.故C4,即4,解得a2,故选A.思维升华求二项展开式中的特定项,一般是化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k1,代回通项公式即可.跟踪训练1(1)(2018浙江七彩阳光联盟联考)(1x)6的展开式中x3的系数为_.答案14解析在(1x)6的展开式中x3的系数为C20,(1x)6的展开式中x3的系数为C6,所以(1x)6的展开式中x3的系数为20614.(2)(2018丽水、衢州、湖州三地教学质量检测)若6的展开式中x3的系数为12,则a_;常数项是_.答案260解析由于二项展开式的通项Tk1Cx6kk(a)kCx63k,令63k3,则k1,所以(a)C6a12,a2;令63k0,则k2,所以常数项是(2)2C41560.题型二二项式系数的和与各项的系数和问题例3(1)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a_.答案3解析设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5,令x1,得16(a1)a0a1a2a3a4a5,令x1,得0a0a1a2a3a4a5.,得16(a1)2(a1a3a5),即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1),所以8(a1)32,解得a3.(2)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9,且(a0a2a8)2(a1a3a9)239,则实数m的值为_.答案1或3解析令x0,则(2m)9a0a1a2a9,令x2,则m9a0a1a2a3a9,又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39,(2m)9m939,m(2m)3,m3或m1.(3)若n的展开式中含x的项为第6项,设(13x)na0a1xa2x2anxn,则a1a2an的值为_.答案255解析n展开式的第k1项为Tk1C(x2)nkkC(1)kx2n3k,当k5时,2n3k1,n8.对(13x)8a0a1xa2x2a8x8,令x1,得a0a1a828256.又当x0时,a01,a1a2a8255.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式,对形如(axb)n,(ax2bxc)m (a,b,cR)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法.(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0a2a4,偶数项系数之和为a1a3a5.跟踪训练2已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求:(1)a1a2a7;(2)a1a3a5a7;(3)a0a2a4a6;(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1,则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1,则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1,a1a2a3a72.(2)()2,得a1a3a5a71094.(3)()2,得a0a2a4a61093.(4)方法一(12x)7展开式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1093(1094)2187.方法二|a0|a1|a2|a7|即为(12x)7展开式中各项的系数和,令x1,|a0|a1|a2|a7|372187.题型三二项式定理的应用例4(1)设aZ且0a13,若512012a能被13整除,则a等于()A.0B.1C.11D.12答案D解析512012a(521)2012aC522012C522011C52(1)2011C(1)2012a,C522012C522011C52(1)2011能被13整除且512012a能被13整除,C(1)2012a1a也能被13整除,因此a的值为12.(2)设复数x(i是虚数单位),则CxCx2Cx3Cx2017等于()A.iB.iC.1iD.1i答案C解析x1i,CxCx2Cx3Cx2017(1x)20171i20171i1.思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求,使之具备二项式定理右边的结构,然后逆用二项式定理求解.(2)利用二项式定理解决整除问题的思路观察除式与被除式间的关系;将被除式拆成二项式;结合二项式定理得出结论.跟踪训练3(1)190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余数是()A.1B.1C.87D.87答案B解析190C902C903C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881,前10项均能被88整除,余数是1.(2)若(12x)2018a0a1xa2x2a2018x2018,则_.答案1解析当x0时,左边1,右边a0,a01.当x时,左边0,右边a0,01,即1.1.在6的展开式中,常数项为()A.240B.60C.60D.240答案D解析6的展开式中,通项公式为Tk1C(x2)6kk(2)kCx123k,令123k0,得k4,故常数项为T5(2)4C240,故选D.2.(2018杭州质检)二项式5的展开式中含x3项的系数是()A.80B.48C.40D.80答案D解析5展开式的通项为Tk1C(2x)5kk(1)k25kCx52k,52k3,则k1,含x3的项为T2(1)124Cx380x3,其中系数为80,故选D.3.(xy)(2xy)6的展开式中x4y3的系数为()A.80B.40C.40D.80答案D解析(2xy)6的展开式的通项公式为Tk1C(2x)6k(y)k,当k2时,T3240x4y2,当k3时,T4160x3y3,故x4y3的系数为24016080,故选D.4.(13x)n的展开式中x5与x6的系数相等,则x4的二项式系数为()A.21B.35C.45D.28答案B解析Tk1C(3x)k3kCxk,由已知得35C36C,即C3C,n7,因此,x4的二项式系数为C35,故选B.5.(2018浙江省考前热身联考)3展开式的常数项为()A.120B.160C.200D.240答案B解析36,展开式的通项为Tk1C6k(2x)kC2kx2k6,令2k60,可得k3,故展开式的常数项为160.6.若在(x1)4(ax1)的展开式中,x4项的系数为15,则a的值为()A.4B.C.4D.答案C解析(x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1),x4项的系数为4a115,a4.7.(2018浙江省重点中学高三调研)9的展开式中,除常数项外,各项系数的和为()A.671B.671C.672D.673答案B解析令x1,可得该二项展开式各项系数之和为1.因为该二项展开式的通项公式为Tk1C9k(2x2)kC(2)kx3k9,令3k90,得k3,所以该二项展开式中的常数项为C(2)3672,所以除常数项外,各项系数的和为1(672)671,故选B.8.若(13x)2018a0a1xa2018x2018,xR,则a13a232a201832018的值为()A.220181B.820181C.22018D.82018答案B解析由已知,令x0,得a01,令x3,得a0a13a232a201832018(19)201882018,所以a13a232a20183201882018a0820181,故选B.9.(2018绍兴诸暨期末)已知(2x1)6a6(x1)6a5(x1)5a4(x1)4a1(x1)a0,则a0a1a2a6_,a2_.答案160解析令x0,即得16a6a5a1a0,又(2x1)62(x1)16的展开式的通项为Tk1C2(x1)6k(1)k,则a2C22(1)460.10.(2018杭州四校联考)已知n的展开式中只有第7项的二项式系数最大,则n_;若含x8项的系数为,则常数项为_.答案12解析因为展开式中只有第7项的二项式系数最大,所以展开式共有13项,n12,则二项展开式的通项Tk1令12k8,得k3,所以Ca9,得a9,得a9,即a.令12k0,得k9,故常数项为T10Ca33.11.9192除以100的余数是_.答案81解析9192(901)92C9092C9091C902(C90C)k10092901k1008210081(k为正整数),所以9192除以100的余数是81.12.若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12,则a2a4a12_.(用数字作答)答案364解析令x1,得a0a1a2a1236,令x1,得a0a1a2a121,a0a2a4a12.令x0,得a01,a2a4a121364.13.(2014浙江)在(1x)6(1y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)等于()A.45B.60C.120D.210答案C解析因为f(m,n)CC,所以f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCCCC120.14.已知n(nN*)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p,q,则p64q的最小值为_.答案16解析显然p2n.令x1,得q.所以p64q2n216,当且仅当2n,即n3时取等号,此时p64q的最小值为16.15.(2018金华模拟)若(32x)10a0a1xa2x2a3x3a10x10,则a12a23a34a410a10_.答案20解析对原等式两边求导,得20(32x)9a12a2x3a3x210a10x9,令x1,得a12a23a34a410a1020.16.若n展开式中前三项的系数和为163,求:(1)展开式中所有x的有理项;(2)展开式中系数最大的项.解易求得展开式前三项的系数为1,2C,4C.由题意得12C4C163,可得n9.(1)设展开式中的有理项为Tk1,由Tk1C()9kk又0k9,k2,6.故有理项为T3144x3,(2)设展开式中Tk1项的系数最大,则k,又kN,k6,故展开式中系数最大的项为T75376.
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