（浙江专用）2020版高考数学新增分大一轮复习 第十章 计数原理 10.3 二项式定理讲义（含解析）.docx

10.3二项式定理最新考纲考情考向分析1.了解二项式定理.2.理解二项式系数的性质.以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中档.1.二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tk1Cankbk，它表示第k1项二项式系数二项展开式中各项的系数C(k0，1，2，n)2.二项式系数的性质(1)C1，C1.CCC.(2)CC.(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大.(4)(ab)n展开式的二项式系数和：CCCC2n.概念方法微思考1.(ab)n与(ba)n的展开式有何区别与联系？提示(ab)n的展开式与(ba)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.2.二项展开式形式上有什么特点？提示二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)Cankbk是二项展开式的第k项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(4)(ab)n的展开式第k1项的系数为Cankbk.()(5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n.()题组二教材改编2.P31例2(2)(12x)5的展开式中，x2的系数等于()A.80B.40C.20D.10答案B解析Tk1C(2x)kC2kxk，当k2时，x2的系数为C2240.3.P31例2(2)若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A.10B.20C.30D.120答案B解析二项式系数之和2n64，所以n6，Tk1Cx6kkCx62k，当62k0，即当k3时为常数项，T4C20.4.P41B组T5若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为()A.9B.8C.7D.6答案B解析令x1，则a0a1a2a3a40，令x1，则a0a1a2a3a416，两式相加得a0a2a48.题组三易错自纠5.(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是()A.CB.CC.CD.(1)m1C答案D解析(xy)n二项展开式第m项的通项公式为TmC(y)m1xnm1，所以系数为C(1)m1.6.已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kN*)是一个单调递增数列，则k的最大值是()A.5B.6C.7D.8答案B解析由二项式定理知，anC(n1，2，3，11).又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6C，则k的最大值为6.7.(xy)4的展开式中，x3y3项的系数为_.答案6解析二项展开式的通项是Tk1C(x)4k(y)k，令423，解得k2，故展开式中x3y3的系数为(1)2C6.题型一二项展开式命题点1求指定项(或系数)例1(1)(1x)6的展开式中x2的系数为()A.15B.20C.30D.35答案C解析因为(1x)6的通项为Cxk，所以(1x)6的展开式中含x2的项为1Cx2和Cx4.因为CC2C230，所以(1x)6的展开式中x2的系数为30.故选C.(2)(2018温州市高考适应性测试)在9的展开式中，常数项是()A.CB.CC.8CD.8C答案D解析二项式9的展开式的通项公式为C9k(2x)k，令0，得k3，则二项式9的展开式中的常数项为(2)3C8C，故选D.(3)(x2xy)4的展开式中，x3y2的系数是_.答案12解析方法一(x2xy)4(x2x)y4，其展开式的第k1项的通项公式为Tk1C(x2x)4kyk，因为要求x3y2的系数，所以k2，所以T3C(x2x)42y26(x2x)2y2.因为(x2x)2的展开式中x3的系数为2，所以x3y2的系数是6212.方法二(x2xy)4表示4个因式x2xy的乘积，在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，故x3y2的系数是CCC12.命题点2求参数例2(1)若(x2a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A.B.C.1D.2答案D解析由题意得10的展开式的通项公式是Tk1Cx10kkCx102k，10的展开式中含x4(当k3时)，x6(当k2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得CaC12045a30，由此解得a2，故选D.(2)若6的展开式中常数项为，则实数a的值为()A.2B.C.2D.答案A解析6的展开式的通项为Tk1C(x2)6kkCkx123k，令123k0，得k4.故C4，即4，解得a2，故选A.思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可.跟踪训练1(1)(2018浙江七彩阳光联盟联考)(1x)6的展开式中x3的系数为_.答案14解析在(1x)6的展开式中x3的系数为C20，(1x)6的展开式中x3的系数为C6，所以(1x)6的展开式中x3的系数为20614.(2)(2018丽水、衢州、湖州三地教学质量检测)若6的展开式中x3的系数为12，则a_；常数项是_.答案260解析由于二项展开式的通项Tk1Cx6kk(a)kCx63k，令63k3，则k1，所以(a)C6a12，a2；令63k0，则k2，所以常数项是(2)2C41560.题型二二项式系数的和与各项的系数和问题例3(1)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.答案3解析设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得a3.(2)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_.答案1或3解析令x0，则(2m)9a0a1a2a9，令x2，则m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.(3)若n的展开式中含x的项为第6项，设(13x)na0a1xa2x2anxn，则a1a2an的值为_.答案255解析n展开式的第k1项为Tk1C(x2)nkkC(1)kx2n3k，当k5时，2n3k1，n8.对(13x)8a0a1xa2x2a8x8，令x1，得a0a1a828256.又当x0时，a01，a1a2a8255.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.跟踪训练2已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71094.(3)()2，得a0a2a4a61093.(4)方法一(12x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1093(1094)2187.方法二|a0|a1|a2|a7|即为(12x)7展开式中各项的系数和，令x1，|a0|a1|a2|a7|372187.题型三二项式定理的应用例4(1)设aZ且0a13，若512012a能被13整除，则a等于()A.0B.1C.11D.12答案D解析512012a(521)2012aC522012C522011C52(1)2011C(1)2012a，C522012C522011C52(1)2011能被13整除且512012a能被13整除，C(1)2012a1a也能被13整除，因此a的值为12.(2)设复数x(i是虚数单位)，则CxCx2Cx3Cx2017等于()A.iB.iC.1iD.1i答案C解析x1i，CxCx2Cx3Cx2017(1x)20171i20171i1.思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.(2)利用二项式定理解决整除问题的思路观察除式与被除式间的关系；将被除式拆成二项式；结合二项式定理得出结论.跟踪训练3(1)190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余数是()A.1B.1C.87D.87答案B解析190C902C903C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前10项均能被88整除，余数是1.(2)若(12x)2018a0a1xa2x2a2018x2018，则_.答案1解析当x0时，左边1，右边a0，a01.当x时，左边0，右边a0，01，即1.1.在6的展开式中，常数项为()A.240B.60C.60D.240答案D解析6的展开式中，通项公式为Tk1C(x2)6kk(2)kCx123k，令123k0，得k4，故常数项为T5(2)4C240，故选D.2.(2018杭州质检)二项式5的展开式中含x3项的系数是()A.80B.48C.40D.80答案D解析5展开式的通项为Tk1C(2x)5kk(1)k25kCx52k，52k3，则k1，含x3的项为T2(1)124Cx380x3，其中系数为80，故选D.3.(xy)(2xy)6的展开式中x4y3的系数为()A.80B.40C.40D.80答案D解析(2xy)6的展开式的通项公式为Tk1C(2x)6k(y)k，当k2时，T3240x4y2，当k3时，T4160x3y3，故x4y3的系数为24016080，故选D.4.(13x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为()A.21B.35C.45D.28答案B解析Tk1C(3x)k3kCxk，由已知得35C36C，即C3C，n7，因此，x4的二项式系数为C35，故选B.5.(2018浙江省考前热身联考)3展开式的常数项为()A.120B.160C.200D.240答案B解析36，展开式的通项为Tk1C6k(2x)kC2kx2k6，令2k60，可得k3，故展开式的常数项为160.6.若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为()A.4B.C.4D.答案C解析(x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)，x4项的系数为4a115，a4.7.(2018浙江省重点中学高三调研)9的展开式中，除常数项外，各项系数的和为()A.671B.671C.672D.673答案B解析令x1，可得该二项展开式各项系数之和为1.因为该二项展开式的通项公式为Tk1C9k(2x2)kC(2)kx3k9，令3k90，得k3，所以该二项展开式中的常数项为C(2)3672，所以除常数项外，各项系数的和为1(672)671，故选B.8.若(13x)2018a0a1xa2018x2018，xR，则a13a232a201832018的值为()A.220181B.820181C.22018D.82018答案B解析由已知，令x0，得a01，令x3，得a0a13a232a201832018(19)201882018，所以a13a232a20183201882018a0820181，故选B.9.(2018绍兴诸暨期末)已知(2x1)6a6(x1)6a5(x1)5a4(x1)4a1(x1)a0，则a0a1a2a6_，a2_.答案160解析令x0，即得16a6a5a1a0，又(2x1)62(x1)16的展开式的通项为Tk1C2(x1)6k(1)k，则a2C22(1)460.10.(2018杭州四校联考)已知n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n_；若含x8项的系数为，则常数项为_.答案12解析因为展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以展开式共有13项，n12，则二项展开式的通项Tk1令12k8，得k3，所以Ca9，得a9，得a9，即a.令12k0，得k9，故常数项为T10Ca33.11.9192除以100的余数是_.答案81解析9192(901)92C9092C9091C902(C90C)k10092901k1008210081(k为正整数)，所以9192除以100的余数是81.12.若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12_.(用数字作答)答案364解析令x1，得a0a1a2a1236，令x1，得a0a1a2a121，a0a2a4a12.令x0，得a01，a2a4a121364.13.(2014浙江)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)等于()A.45B.60C.120D.210答案C解析因为f(m，n)CC，所以f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)CCCCCCCC120.14.已知n(nN*)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p，q，则p64q的最小值为_.答案16解析显然p2n.令x1，得q.所以p64q2n216，当且仅当2n，即n3时取等号，此时p64q的最小值为16.15.(2018金华模拟)若(32x)10a0a1xa2x2a3x3a10x10，则a12a23a34a410a10_.答案20解析对原等式两边求导，得20(32x)9a12a2x3a3x210a10x9，令x1，得a12a23a34a410a1020.16.若n展开式中前三项的系数和为163，求：(1)展开式中所有x的有理项；(2)展开式中系数最大的项.解易求得展开式前三项的系数为1，2C，4C.由题意得12C4C163，可得n9.(1)设展开式中的有理项为Tk1，由Tk1C()9kk又0k9，k2，6.故有理项为T3144x3，(2)设展开式中Tk1项的系数最大，则k，又kN，k6，故展开式中系数最大的项为T75376.