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不等式A组抓牢中档小题1当x0时，f(x)的最大值为_解析：因为x0，所以f(x)1，当且仅当x，即x1时取等号答案：12若0x1，则当f(x)x(43x)取得最大值时，x的值为_解析：因为0x1，所以f(x)x(43x)3x(43x)2，当且仅当3x43x，即x时取等号. 答案：3已知点A(a，b)在直线x2y10上，则2a4b的最小值为_解析：由题意可知a2b1，则2a4b2a22b22，当且仅当a2b，即a且b时等号成立答案：24若不等式(a2)x22(a2)x40对xR恒成立，则实数a的取值范围是_解析：当a20，即a2时，原不等式为40，所以a2时不等式恒成立，当a20，即a2时，由题意得即解得2a2.综上所述，20, b0，且，则ab的最小值是_解析：因为2 ，所以ab2，当且仅当时取等号答案：27已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为_解析：因为x(a，)，所以2x2(xa)2a2 2a42a，当且仅当xa1时等号成立由题意可知42a7，解得a，即实数a的最小值为.答案：8若两个正实数x，y满足1，且不等式xx4，故m23m4，化简得(m1)(m4)0，解得m4，即实数m的取值范围为(，1)(4，)答案：(，1)(4，)9已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_解析：因为f(x)x2mx1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意xm，m1，都有f(x)0，只需即解得所以m0，所以tan ，当且仅当2tan ，即tan 时，等号成立答案：12(2018山西八校联考)若实数x，y满足不等式组且3(xa)2(y1)的最大值为5，则a_.解析：设z3(xa)2(y1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z3(xa)2(y1)，得yx，作出直线yx，平移该直线，易知当直线过点A时，z取得最大值，由得即A(1,3)又目标函数的最大值为5，所以3(1a)2(31)5，解得a2.答案：213设实数x，y满足y21，则3x22xy的最小值是_解析：法一：因为y21，所以3x22xy，令k，则3x22xy，再令t32k(2,4)，则k，故3x22xy64，当且仅当t2时等号成立法二：因为y21，所以令yt，则y，从而则3x22xy62t264，当且仅当t2时等号成立答案：6414已知函数f(x)设aR，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是_解析：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示当x1时，若要f(x)恒成立，结合图象，只需x2x3，即x23a0，故对于方程x23a0，24(3a)0，解得a；当x1时，若要f(x)恒成立，结合图象，只需xa，即a.又2，当且仅当，即x2时等号成立，所以a2.综上，a的取值范围是.答案：B组力争难度小题1已知函数f(x)ax2x，若当x0,1时，1f(x)1恒成立，则实数a的取值范围为_解析：当x0时，f(x)0，不等式成立；当x(0,1时，不等式1f(x)1，即其中1，)，从而解得2a0.答案：2,02(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知a，b，c均为正数，且abc4(ab)，则abc的最小值为_解析：由a，b，c均为正数，abc4(ab)，得c，代入得abcab2 2 8，当且仅当ab2时，等号成立，所以abc的最小值为8.答案：83(2018洛阳尖子生统考)已知x，y满足约束条件则的取值范围是_解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，12，表示可行域中的点(x，y)与点P(1，1)连线的斜率由图可知，当x0，y3时，取得最大值，且max9.因为点P(1，1)在直线yx上，所以当点(x，y)在线段AO上时，取得最小值，且min3.所以的取值范围是3,9答案：3,94已知函数f(x)若存在唯一的整数x，使得0成立，则实数a的取值范围为_解析：作出函数f(x)的图象如图所示，易知，点A(1,3)，B(1,2)，C(2,0)，D(2,8)当a0时，则点M(0，a)与点C，点A连线的斜率都大于0，故不符合题意；当0a2时，则仅有点M(0，a)与点A连线的斜率大于0，故符合题意；当2a8时，则点M(0，a)与点B，点D连线的斜率都大于0，故不符合题意综上，实数a的取值范围为0,23,8答案：0,23,85(2018镇江期末)已知a，bR，ab4，则的最大值为_解析：法一：(ab作为一个变元)ab24，.设t9ab5，则，当且仅当t280时等号成立，所以的最大值为.法二：(均值换元)因为ab4，所以令a2t，b2t，则f(t)，令ut255，则g(u)，当且仅当u4时等号成立所以的最大值为.答案： 6已知对任意的xR,3a(sin xcos x)2bsin 2x3(a，bR)恒成立，则当ab取得最小值时，a的值是_解析：由题意可令sin xcos x，两边平方得12sin xcos x，即sin 2x，代入3a(sin xcos x)2bsin 2x3，解得ab3，可得ab2，当ab2时，令tsin xcos xsin， ，则sin 2xt21.所以3at2(a2)(t21)3对t，恒成立，即2(a2)t23at2a10对t，恒成立记f(t)2(a2)t23at2a1，t，因为f0是f(t)的最小值，所以只能把f(t)看成以t为自变量的一元二次函数，所以解得a.答案：
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