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第16练立体几何明晰考情1.命题角度：高考中考查线面的位置关系和线面角，更多体现传统方法.2.题目难度：中档难度考点一空间中的平行、垂直关系方法技巧(1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系(2)证明线线垂直的常用方法利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；利用勾股定理的逆定理；利用线面垂直的性质1如图，在六面体ABCDE中，平面DBC平面ABC，AE平面ABC.(1)求证：AE平面DBC；(2)若ABBC，BDCD，求证：ADDC.证明(1)过点D作DOBC，O为垂足又平面DBC平面ABC，平面DBC平面ABCBC，DO平面DBC，DO平面ABC.又AE平面ABC，AEDO.又AE平面DBC，DO平面DBC，故AE平面DBC.(2)由(1)知，DO平面ABC，AB平面ABC，DOAB.又ABBC，且DOBCO，DO，BC平面DBC，AB平面DBC.DC平面DBC，ABDC.又BDCD，ABDBB，AB，DB平面ABD，DC平面ABD.又AD平面ABD，ADDC.2(2018江苏)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中， AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B.又因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因为A1BBCB，A1B，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.3(2018全国)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离(1)证明因为PAPCAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.如图，连接OB.因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，所以OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.因为OPOB，OPAC，OBACO，OB，AC平面ABC，所以PO平面ABC.(2)解作CHOM，垂足为H，又由(1)可得OPCH，因为OMOPO，OM，OP平面POM，所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离由题意可知OCAC2，CMBC，ACB45，所以在OMC中，由余弦定理可得OM，CH.所以点C到平面POM的距离为.4如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值解(1)AB1，AC2，BAC60，SABCABACsin60.由PA平面ABC可知，PA是三棱锥PABC的高，且PA1，三棱锥PABC的体积VSABCPA.(2)在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.PA平面ABC，AC平面ABC，PAAC，MNAC.又BNAC，BNMNN，BN，MN平面BMN，AC平面MBN.又BM平面MBN，ACBM.在RtBAN中，ANABcosBAC，从而NCACAN，由MNPA，得.考点二空间角的求解要点重组设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面，的法向量分别为u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同)(1)线线角设l，m所成的角为，则cos.(2)线面角设直线l与平面所成的角为，则sin|cosa，u|.(3)二面角设l的平面角为，则|cos|cosu，v|.方法技巧求空间角的两种方法(1)按定义作出角，然后利用图形计算(2)利用空间向量，计算直线的方向向量和平面的法向量，通过向量的夹角计算5(2018诸暨模拟)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD是直角梯形，BADCDA，AB2CD2，E是CD的中点(1)证明：AEPB；(2)设F是棱PB上的点，EF平面PAD，求EF与平面PAB所成角的正弦值(1)证明取AD的中点G，连接PG，BG，平面PAD平面ABCD，PGAD，平面PAD平面ABCDAD，PG平面PAD，PG平面ABCD，AEPG.又tanDAEtanABG，AEBG.又PGBGG，PG，BG平面PBG，AE平面PBG，AEPB.(2)解作FHAB交PA于点H，连接DH，EF平面PAD，平面FHDE平面PADDH，EFDH.四边形FHDE为平行四边形HFDEAB，即H为PA的一个四等分点又ABAD，平面ABCD平面PAD，平面ABCD平面PADAD，AB平面ABCD，AB平面PAD，作DKPA于点K，ABDK，DKPA，PAABA，PA，AB平面PAB，DK平面PAB，DHK为所求线面角，sinDHK.6在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH，设D为CC1的中点(1)求证：CC1平面A1B1D；(2)求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值方法一(几何法)(1)证明因为CC1AA1且在正方形AA1B1B中AA1A1B1，所以CC1A1B1，取A1B1的中点E，连接DE，HE，则HEBB1CC1且HEBB1CC1.又D为CC1的中点，所以HECD且HECD，所以四边形HEDC为平行四边形，因此CHDE，又CH平面AA1B1B，所以CHHE，DEHE，所以DECC1，又A1B1DEE，A1B1，DE平面A1B1D，所以CC1平面A1B1D.(2)解取AA1的中点F，连接CF，作HKCF于点K，因为CHDE，FHA1B1，CHFHH，DEA1B1E，所以平面CFH平面A1B1D，由(1)得CC1平面A1B1D，所以CC1平面CFH，又HK平面CFH，所以HKCC1，又HKCF，CFCC1C，CF，CC1平面AA1C1C，所以HK平面AA1C1C，所以DH与平面AA1C1C所成的角为HDK.在RtCFH中，CF2，KH，在RtDHK中，由于DH2，sinHDK，故DH与平面AA1C1C所成角的正弦值为.方法二(向量法)(1)证明如图，以H为原点，建立空间直角坐标系，则C(0,0，)，C1(，)，A1(，0,0)，B1(0，0)，D，所以(，0)，.所以0，0，因此CC1平面A1B1D.(2)解设平面AA1C1C的法向量为n(1，x，y)，由于(，0)，(，0，)，则nx0，ny0，得x1，y，所以n.又，设为DH与平面AA1C1C所成的角，所以sin，故DH与平面AA1C1C所成角的正弦值为.7(2018浙江省杭州市第二中学模拟)如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABD30，AB2CD2AD2，DE平面ABCD，EFBD，且BD2EF.(1)求证：平面ADE平面BDEF；(2)若二面角CBFD的大小为60，求CF与平面ABCD所成角的正弦值(1)证明在ABD中，ABD30，由AD2AB2BD22ABBDcos30，解得BD，所以AD2BD2AB2，根据勾股定理得ADB90，ADBD.又因为DE平面ABCD，AD平面ABCD，所以ADDE.又因为BDDED，BD，DE平面BDEF，所以AD平面BDEF，又AD平面ADE，所以平面ADE平面BDEF，(2)解方法一如图，由(1)可得ADB90，ABD30，则BDC30，则BCD为锐角为30的等腰三角形CDCB1, 则CG.过点C作CHDA，交DB，AB于点G，H，则点G为点F在平面ABCD上的投影连接FG，则CGBD，DE平面ABCD，则CG平面BDEF.过点G作GIBF于点I，连接HI，CI，则BF平面GCI，即GIC为二面角CBFD的平面角，则GIC60.则tan60，CG，则GI.在直角梯形BDEF中，G为BD的中点，BD，GIBF，GI，设DEx，则GFx，SBGFBGGFBFGI，则DE.tanFCG，则sinFCG，即CF与平面ABCD所成角的正弦值为.方法二由题意可知DA，DB，DE两两垂直，以D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设DEh，则D(0,0,0)，B(0，0)，C，F.，设平面BCF的法向量为m(x，y，z)，则所以取x，所以m，取平面BDEF的法向量为n(1,0,0)，由|cosm，n|cos60，解得h，则DE，又，则|，设CF与平面ABCD所成的角为，则sin.故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为.8.如图，在四棱锥PABCD，底面ABCD为梯形，ADBC，ABBCCD1，DA2，DP平面ABP，O，M分别是AD，PB的中点(1)求证：PD平面OCM；(2)若AP与平面PBD所成的角为60，求线段PB的长(1)证明连接OB，设BD与OC的交点为N，连接MN.因为O为AD的中点，AD2，所以OAOD1BC.又因为ADBC，所以四边形OBCD为平行四边形，所以N为BD的中点，又因为M为PB的中点，所以MNPD.又因为MN平面OCM，PD平面OCM，所以PD平面OCM.(2)解由四边形OBCD为平行四边形，知OBCD1，所以AOB为等边三角形，所以BAD60所以BD，即AB2BD2AD2，即ABBD.因为DP平面ABP，所以ABPD.又因为BDPDD，BD，PD平面BDP，所以AB平面BDP，所以APB为AP与平面PBD所成的角，即APB60，所以在RtABP中，可得PB.例(15分)如图，已知在矩形ABCD中，AB4，AD3，现将DAC沿着对角线AC向上翻折到PAC的位置，此时PAPB.(1)求证：平面PAB平面ABC；(2)求直线AB与平面PAC所成角的正弦值审题路线图(1)(2)方法一(作角)方法二(向量法)规范解答评分标准(1)证明因为PAPB，PAPC，PBPCP，所以PA平面PBC，2分所以PABC，又BCAB，ABAPA，所以BC平面PAB，4分又BC平面ABC，所以平面PAB平面ABC.6分(2)解方法一如图，作BDPC于点D，连接AD，由(1)知，PA平面PBC，所以PABD，而BDPC，PAPCP，PA，PC平面PAC，所以BD平面PAC，所以BAD为直线AB与平面PAC所成的角9分在RtPBC中，BC3，PC4，PB，所以BD，又AB4，在RtADB中，sinBAD，13分所以直线AB与平面PAC所成角的正弦值为.15分方法二由(1)知平面PAB平面ABC，所以在平面PAB内，过点P作PEAB于点E，则PE平面ABC，如图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系(z轴与直线PE平行)，在RtPBC中，BC3，PC4，PB，在RtAPB中，AP3，AB4，PE，BE，可知A(0，4,0)，B(0,0,0)，C(3,0,0)，P，(3,4,0)，10分则易得平面PAC的一个法向量为m，12分(0,4,0)，所以cos，m，故直线AB与平面PAC所成角的正弦值为.15分构建答题模板方法一第一步找垂直：利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直第二步作角：利用定义结合垂直关系作出所求角第三步计算：将所求角放在某三角形中，计算方法二第一步找垂直：利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直，同时为建系作准备第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出特殊点的坐标第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量第四步求夹角：计算向量的夹角，得到所求的线面角或二面角1在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD为梯形，ABCD，ABCBCD90，BCCD2.(1)证明：BDPA；(2)若PAD为正三角形，求直线PA与平面PBD所成角的余弦值(1)证明在直角梯形ABCD中，因为AD2，BD2，AB4，所以AD2BD2AB2，所以BDAD.又侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，BD底面ABCD，所以BD平面PAD，又PA平面PAD，所以BDPA.(2)解方法一如图，取PD的中点M，连接AM，BM.因为PAD为正三角形，所以AMPD.又由(1)知，BD平面PAD，所以平面PBD平面PAD，又平面PAD平面PBDPD，AM平面PAD，所以AM平面PBD，故APM即为直线PA与平面PBD所成的角故cosAPM，即直线PA与平面PBD所成角的余弦值为.方法二在平面PAD内，过点P作PQAD，垂足为Q，取AB的中点N，连接QN，易知，PQ，AQ，QN两两垂直以Q为坐标原点，QA，QN，QP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则P(0,0，)，A(，0,0)，B(，2，0)，D(，0,0)设n(x，y，z)为平面PBD的法向量由n0，n0，且(0,2，0)，(，0，)，得取z1，则n( ，0，1)，又(，0，)，所以cosn，因此直线PA与平面PBD所成角的余弦值为.2设平面ABCD平面ABEF，ABCD，ABEF，BAFABC90，BCCDAFEF1，AB2.(1)证明：CE平面ADF；(2)求直线DF与平面BDE所成角的正弦值(1)证明ABCD, ABEF，CDEF.又CDEF，四边形CDFE是平行四边形CEDF，又CE平面ADF，DF平面ADF，CE平面ADF.(2)解取AB的中点G，连接CG交BD于点O，连接EO，EG.CDEF，DF与平面BDE所成的角等于CE与平面BDE所成的角ABAF，平面ABCD平面ABEF，AF平面ABCD.又EGAF，EG平面ABCD，EGBD.连接DG，在正方形BCDG中，BDCG，故BD平面ECG.平面BDE平面ECG.在平面CEO中，作CHEO，交直线EO的延长线于点H，得CH平面BDE.CEH是CE与平面BDE所成的角过点G作GQEO.OCOG，CHGQ.CE，sinCEH.3(2018宁波模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PAD为正三角形，四边形ABCD为直角梯形，CDAB，BCAB，平面PAD平面ABCD，点E，F分别为AD，CP的中点，ADAB2CD2.(1)证明：直线EF平面PAB；(2)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值(1)证明设BC的中点为M，连接EM，FM，易知EMAB，FMPB，因为EMAB，EM平面PAB，AB平面PAB，所以EM平面PAB.同理FM平面PAB.又EMFMM，EM平面FEM，FM平面FEM，所以平面FEM平面PAB，又EF平面FEM，所以直线EF平面PAB.(2)解连接PE，PM，因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，且PEAD，PE平面PAD，所以PE平面ABCD，PEBC.又因为EMBC，PEEME，所以BC平面PEM，所以平面PBC平面PEM.过点E作EHPM于点H，连接FH，由平面PBC平面PEM可知，EH平面PBC.所以直线EF与平面PBC所成的角为EFH.易求得EFPC，EH，所以sinEFH.4如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，将ADE沿直线DE折起至ADE的位置，使得平面ADE平面BCDE，F为线段AC的中点(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线AB与平面ADE所成角的正切值(1)证明取AD的中点M，连接FM，EM，F为AC的中点，FMCD且FMCD，又E为AB的中点，且ABCD，且ABCD，BECD且BECD，BEFM且BEFM，四边形BFME为平行四边形BFEM，又EM平面ADE，BF平面ADE，BF平面ADE.(2)解在平面BCDE内作BNDE，交DE的延长线于点N，平面ADE平面BCDE，平面ADE平面BCDEDE，BN平面BCDE，BN平面ADE，连接AN，则BAN为AB与平面ADE所成的角易知BNEDAE，又BE1，BN，EN.在ADE中，作APDE，垂足为P，AE1，AD2，AP，EP.在RtAPN中，PNPEEN，AP，AN.在RtABN中，tanBAN，直线AB与平面ADE所成角的正切值为.
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