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2.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲考情考向分析了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题.以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中低档.1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题概念方法微思考1不等式x0表示的平面区域是什么？提示不等式x0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴)2可行解一定是最优解吗？二者有何关系？提示不一定最优解是可行解中的一个或多个最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集()(2)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.()(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示()(5)线性目标函数的最优解是唯一的()(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解()(7)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()题组二教材改编2P86T3不等式组表示的平面区域是()答案B解析x3y60表示直线x3y60及其右下方部分，xy20表示直线xy20的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分题组三易错自纠3下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是()A(0,0) B(1,1)C(1,3) D(2，3)答案C解析把各点的坐标代入可得(1,3)不适合，故选C.4(2018全国)若x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为_答案6解析作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(含边界)所示由z3x2y，得yx.作直线l0：yx，平移直线l0，当直线yx过点(2,0)时，z取最大值，zmax32206.5已知x，y满足约束条件若使得zaxy取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为_答案1解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线yaxz和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，akAB1，a1.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题例1在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是()A.B.C2D2答案B解析作出不等式组表示的平面区域是以点O(0,0)，B(2，0)和A(1，)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为2，故选B.命题点2含参数的平面区域问题例2(2018嘉兴市基础测试)若不等式组表示的平面区域为一个三角形的内部区域，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析如图所示，当直线xya在直线xy(该直线经过直线xy0和直线3xy3的交点)的下方时，原不等式组表示的平面区域为一个三角形的内部区域，因此a，故选C.思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论跟踪训练1(1)不等式组表示的平面区域的形状为()A等边三角形B梯形C等腰直角三角形D正方形答案C解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界)(2)已知由不等式组确定的平面区域的面积为7，则k的值为()A3B1C3D1答案B解析作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.由于直线ykx2恒过点B(0,2)，且原点的坐标恒满足ykx2，当k0时，y2，此时平面区域的面积为6，由于67，由此可得k0.由可得D，依题意应有21，解得k1或k3(舍去)，故选B.题型二求目标函数的最值问题命题点1求线性目标函数的最值例3(2018温州市适应性考试)若实数x，y满足约束条件则z2xy的取值范围是()A3,4 B3,12C3,9 D4,9答案C解析画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线2xy0，结合图象，平移直线2xy0得，在点A(3,3)处目标函数取最大值9，在点B(1,1)处目标函数取最小值3，故选C.命题点2求非线性目标函数的最值例4已知实数x，y满足则z的取值范围是_答案解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是一个三角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B(1,2)，C，D(2,3)，的几何意义是可行域内任一点(x，y)与点(2,0)连线的斜率，记P(2,0)，连接PB，PC，由于直线PB的斜率为，直线PC的斜率为，由图可知z的取值范围是.命题点3求参数值或取值范围例5(1)(2018丽水、衢州、湖州三地市质检)已知x，yR满足条件若目标函数zaxy仅在点(2,3)处取得最大值，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，1C1，) D(1，)答案D解析作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数zaxy可化为yaxz，且目标函数仅在点A(2,3)处取到最大值，所以akAB，即a1，故选D.(2)(2018杭州七校联考)若x，y满足约束条件z2xy的最大值为8，则实数a的值为()A2B1C1D2答案C解析将目标函数变形为y2xz，当z取最大值时，直线的纵截距最大，易知直线xy50与2xy10的交点(2,3)不能使得目标函数取得最大值8.因为直线ax2y10恒过定点，所以要使目标函数能取到最大值，需1，即2a1，显然a0不符合题意作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分(含边界)所示，作直线2xy0，平移该直线，易知，当平移到过直线xy20与axya0的交点时，z取得最大值，由得代入2xy得a1，故选C.方法二由z2xy存在最大值，可知a1，显然a0不符合题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分(含边界)所示，作直线2xy0，平移该直线，易知，当平移到过直线xy20与axya0的交点时，z取得最大值，由得代入axya0得a1，故选C.1(2017浙江)若x，y满足约束条件则zx2y的取值范围是()A0,6 B0,4C6，) D4，)答案D解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示由题意可知，当直线yx过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin2214.所以zx2y的取值范围是4，)故选D.2(2018杭州质检)设不等式组所表示的区域面积为S(mR)若S1，则()Am2B2m0C0m2Dm2.答案A解析如图，当xy1与ymx的交点为(1,2)时，阴影部分的面积为1，此时m2，若S1，则m2，故选A.3(2018嘉兴市、丽水市教学测试)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的平面区域上的一动点，则直线OM斜率的最小值为()A2B1CD答案C解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组所表示的平面区域，其是以(1,0)，(3，1)，(2,2)为顶点的三角形及其内部(图略)，由图易得平面区域内的点(3，1)与原点连线的斜率最小，斜率的最小值为，故选C.4(2019浙江名校新高考研究联盟联考)设实数x，y满足约束条件则z|x|y的取值范围是()A.B1,3C.D1,0答案A解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(1,1)，(1,2)，(1，2)为顶点的三角形区域(包含边界)，在平面直角坐标系内画出yxz(x0)和yxz(x0)(图略)，由图易得当yxz(x0)经过平面区域内的点时，z|x|y取得最小值zmin|0|.当yxz(x0)经过平面区域内的点(1，2)时，z|x|y取得最大值zmax|1|(2)3，综上所述，z|x|y的取值范围为，故选A.5设x，y满足约束条件向量a(2x,1)，b(1，my)，则满足ab的实数m的最小值为()A.BC.D答案B解析由向量a(2x,1)，b(1，my)，ab得2xmy0，整理得my2x，根据约束条件画出可行域，如图所示，将求m的最小值转化为求y2xm在y轴上的截距的最小值，当直线y2xm经过点A时，m最小，由解得A，则实数m的最小值为2.故选B.6(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考)已知变量x，y满足约束条件若不等式2xym20恒成立，则实数m的取值范围为()A，B，C(，)D(，)答案D解析作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z2xy，则y2xz，当直线y2xz经过点A(4，1)时，z取得最大值，即zmax2(4)17.因为不等式2xym20恒成立，所以m2(2xy)maxzmax恒成立，即m27，解得m或m，所以实数m的取值范围为(，)，故选D.7(2018台州市质量评估)已知实数x，y满足不等式组则(x1)2(y2)2的取值范围是()A1,5 B，5C5,25 D5,26答案D解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，因为(x1)2(y2)2表示平面区域内的点到点P(1，2)的距离的平方，直线PO：y2x与直线x2y0垂直，由图知，点P(1，2)到直线x2y0的距离的平方为所求最小值，即为25，与点A(0,3)的距离的平方为所求最大值，即为(01)23(2)226，所以所求取值范围为5,26，故选D.8(2018绍兴市嵊州市适应性考试)已知实数x，y满足约束条件若ztxy的最小值为1，则实数t的取值范围是()At2B2t1Ct1Dt2或t1答案B解析画出满足约束条件的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知只有平移直线txy0经过直线2xy10与直线xy10的交点C(0,1)时，目标函数ztxy的值为1，则目标函数ztxy要取得最小值1，直线ztxy必过点C(0,1)当t0时，则t1，即0t1；当t0时，则t2，即2t0.综上可知，实数t的取值范围是2t1，故选B.9(2018杭州地区四校联考)不等式组表示的平面区域的面积是_；若z|xy|，则z的取值范围为_答案解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中G、H，则不等式组表示的平面区域的面积S.令z1xy，作出直线xy0，平移该直线，当直线经过点G时，z1取得最小值，经过H时，z1取得最大值，所以xy，所以0z.10(2018绍兴市六校质检)已知实数x，y满足约束条件若zxy的最大值为6，则m_，z12xy的最小值为_答案39解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，由图可知，当直线zxy过点A(m，m)时，z取得最大值6，所以m3.当直线z12xy过点B(6,3)时，z1取得最小值，最小值为9.11(2019浙江部分重点中学调研)若实数x，y满足约束条件则该不等式组表示的平面区域的面积为_，目标函数z3|x|4y的取值范围是_答案65,18解析由题意得，该不等式组表示的平面区域是直角三角形ABC及其内部区域(如图中阴影部分所示)该三角形的三个顶点分别为A(1,0)，B(1,2)，C(2，3)，且ABAC，AB2，AC3，所以SABC236.因为目标函数z3|x|4y可化为y|x|，结合图形可知，目标函数z3|x|4y在B(1,2)处取得最小值，且zmin5，在C(2，3)处取得最大值，且zmax18.所以z5,1812(2018浙江六校协作体联考)若变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使得目标函数zx2y取得最大值，则实数的值为_答案1解析可行域如图中阴影部分(含边界)所示目标函数zx2y可化为yx，因为有无穷多个点(x，y)使得直线yx在y轴上的截距取得最大值，由图可得yx与直线BC：y1重合时满足题意，所以，解得1.13(2018杭州高级中学仿真考试)已知实数x，y满足约束条件则xy的最大值是()A.B.C4D.答案A解析画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，设直线x2y60与曲线y相切于第一象限，切点为(x0，y0)由y，得y，所以解得所以xy的最大值为，故选A.14(2018浙江知名重点中学考前热身联考)设实数x，y满足约束条件则x3y的最大值为_；若x24y2a恒成立，则实数a的最小值为_答案820解析作出不等式组表示的平面区域如图1中阴影部分(含边界)所示，由图1可知，当ux3y过点A(2,2)时，ux3y取得最大值umax2328.令xx，2yy，则原不等式组等价于作出可行域如图2中阴影部分(含边界)所示，由图2可知，x2y2的最大值，即原点到点B(2,4)的距离的平方，易得|OB|2224220，所以a的最小值为20.15(2018台州市三区三校适应性考试)已知实数x，y满足约束条件a为常数，若目标函数zy|x|的最大值是，则实数a的取值组成的集合是_答案解析由题意，要使不等式33，解得a3.作出不等式组表示的平面区域如图所示，其中A，E(3,6)当点E(3,6)在直线x2ya22a的上方时，326a22a，即3a5，故有3a1或3a0，易知目标函数zy|x|yx在点D处取得最大值，即，解得a0(舍去)或a4；当点E(3,6)在直线x2ya22a的下方或在直线上时，326a22a，解得a3或a5，故有a3或a5，此时可行域为三角形ABE及其内部(不包含线段AB)，则x0，目标函数zy|x|yx在点E(3,6)处取得最大值，则63，解得a.综上，实数a的取值组成的集合是.16(2018浙江金华一中模拟)若实数x，y满足则|x2y1|3|xy|的取值范围为_答案解析设目标函数z|x2y1|3|xy|.如图所示，分四种情况：当时，z4x5y1，满足约束条件下的平面区域，只有一个点A(1,0)，此时z3；当时，z2xy1，满足约束条件下的平面区域不存在；当时，z2xy1，满足约束条件下的平面区域为ADE，则直线z2xy1经过点D时，取得最小值，经过点A(1,0)时，取得最大值3；当时，z4x5y1，满足约束条件下的平面区域为四边形BCED，则直线z4x5y1经过点D时，取得最小值，经过点C(2,3)时，取得最大值8.综上可知z|x2y1|3|xy|的最小值为，最大值为8，即|x2y1|3|xy|的取值范围是.
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