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单元检测四导数及其应用(时间：120分钟满分：150分)第卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列求导运算正确的是()A.1B(log3x)C(3x)3xln3D(x2sinx)2xcosx答案C解析由求导法则可知C正确2已知函数f(x)lnxx2f(a)，且f(1)1，则实数a的值为()A或1B.C1D2答案C解析令x1，则f(1)ln1f(a)1，可得f(a)1.令xa0，则f(a)2af(a)，即2a2a10，解得a1或a(舍去)3若函数f(x)xex的图象的切线的倾斜角大于，则x的取值范围是()A(，0) B(，1)C(，1 D(，1)答案B解析f(x)exxex(x1)ex，又切线的倾斜角大于，所以f(x)0，即(x1)ex0，解得x1.4函数f(x)的部分图象大致为()答案C解析由题意得f(x)为奇函数，排除B；又f(1)0时，f(x)，所以f(x)，函数f(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增，排除D.5若函数f(x)lnxax22在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是()A(，2 B.C.D(2，)答案D解析对f(x)求导得f(x)2ax，由题意可得2ax210在内有解，所以amin.因为x，所以x2，所以a2.6.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()f(b)f(a)f(c)；函数f(x)在xc处取得极小值，在xe处取得极大值；函数f(x)在xc处取得极大值，在xe处取得极小值；函数f(x)的最小值为f(d)ABCD答案A解析由导函数的图象可知函数f(x)在区间(，c)，(e，)内，f(x)0，所以函数f(x)在区间(，c)，(e，)内单调递增，在区间(c，e)内，f(x)f(a)，所以错；函数f(x)在xc处取得极大值，在xe处取得极小值，故错，对；函数f(x)没有最小值，故错7已知函数f(x)(x2mxm)ex2m(mR)在x0处取得极小值，则f(x)的极大值是()A4e2B4e2Ce2De2答案A解析由题意知，f(x)x2(2m)x2mex，f(0)2m0，解得m0，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex.令f(x)0，解得x0，令f(x)0，解得2x0得y2，令y20，x0，解得x2，y2在(0,2)上单调递增，在(2，)上单调递减，作出示意图如图，当x2时，y12ln2，y2.2ln2，y1xlnx与y2的交点在(1,2)内，函数f(x)的最大值为.9已知yf(x)为(0，)上的可导函数，且有f(x)0，则对于任意的a，b(0，)，当ab时，有()Aaf(a)bf(b)Caf(b)bf(a) Daf(b)0，得0，即0，即xf(x)x0.x0，xf(x)0，即函数yxf(x)为增函数，由a，b(0，)且ab，得af(a)bf(b)，故选B.10(2018温州“十五校联合体”联考)已知函数f(x)2xe2x(e为自然对数的底数)，g(x)mx1(mR)，若对于任意的x11,1，总存在x01,1，使得g(x0)f(x1)成立，则实数m的取值范围为()A(，1e2e21，)B1e2，e21C(，e211e2，)De21,1e2答案A解析f(x)22e2x，f(x)在区间1,0上为增函数，在区间0,1上为减函数，f(1)f(1)(2e2)(2e2)e2e240，f(1)f(1)，又f(0)1，则函数f(x)在区间1,1上的值域为A2e2，1当m0时，函数g(x)在区间1,1上的值域为Bm1，m1依题意有AB，则有得me21.当m0时，函数g(x)在区间1,1上的值域为B1，不符合题意当m0时，函数g(x)在区间1,1上的值域为Bm1，m1依题意有AB，则有得m1e2.综上，实数m的取值范围为(，1e2e21，)第卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分把答案填在题中横线上)11已知直线ykx与函数f(x)ex(其中e为自然对数的底数)的图象相切，则实数k的值为_；切点坐标为_答案e(1，e)解析设切点坐标为(x，y)，需满足所以解得x1，ye，ke，所以ke，切点坐标为(1，e)12设函数f(x)xlnx，则点(1,0)处的切线方程是_；函数f(x)xlnx的最小值为_答案xy10解析由题意得f(x)1lnx，所以f(1)1，则所求切线方程为xy10.由f(x)1lnx0得0x0得x，所以函数f(x)xlnx在上单调递减，在上单调递增，所以函数f(x)xlnx在x处取得最小值，最小值为fln.13(2018宁波九校期末)函数f(x)x32xexex是_函数(填“奇”或“偶”)，在R上的增减性为_(填“单调递增”、“单调递减”或“有增有减”)答案奇单调递增解析函数f(x)x32xexex，它的定义域为R，且满足f(x)x32xexexf(x)，故函数f(x)为奇函数由于函数的导数f(x)3x22(exex)3x2223x20，故函数在R上单调递增14(2018诸暨检测)已知函数f(x)x33x，函数f(x)的图象在x0处的切线方程是_；函数f(x)在0,2内的值域是_答案y3x2,2解析f(x)x33x，f(x)3x23，又f(0)0，f(0)3，函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为y3x.令f(x)3x230，得x1，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表.x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值2极小值2在0,1上，f(x)是减函数，其最小值为f(1)2，最大值为f(0)0；在1,2上，f(x)是增函数，其最小值为f(1)2，最大值为f(2)2.综上，在0,2上，f(x)的值域为2,215已知函数f(x)ln，g(x)ex2，若g(m)f(n)成立，则nm的最小值为_答案ln2解析令f(n)g(m)k(k0)，则由lnk，解得n，由em2k，解得mlnk2，则nmlnk2，令h(k)lnk2，则h(k)，由h(k)0得k，且当k时，h(k)0，h(k)单调递增，则h(k)minhln2，即nm的最小值是ln2.16设实数0，若对任意的x(0，)，不等式ex0恒成立，则的最小值为_答案解析当x(0,1时，0，不等式ex0显然成立，可取任意正实数；当x(1，)时，ex0exlnxxexlnxelnx，设函数f(x)xex(x0)，而f(x)(x1)ex0，则f(x)在(0，)上单调递增，那么由xexlnxelnx可得xlnx.令g(x)(x1)，而g(x)，易知函数g(x)在(1，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，那么g(x)maxg(e)，则有.综上分析可知，的最小值为.17对于定义在R上的函数f(x)，若存在非零实数x0，使函数f(x)在(，x0)和(x0，)上均有零点，则称x0为函数f(x)的一个“折点”现给出下列四个函数：f(x)3|x1|2；f(x)lg|x2019|；f(x)x1；f(x)x22mx1(mR)则存在“折点”的函数是_(填序号)答案解析因为f(x)3|x1|22，所以函数f(x)不存在零点，所以函数f(x)不存在“折点”；对于函数f(x)lg|x2019|，取x02019，则函数f(x)在(，2019)上有零点x2020，在(2019，)上有零点x2018，所以x02019是函数f(x)lg|x2019|的一个“折点”；对于函数f(x)x1，则f(x)x21(x1)(x1)令f(x)0，得x1或x1；令f(x)0，得1x1，所以函数f(x)在(，1)和(1，)上单调递增，在(1，1)上单调递减又f(1)0，即h(x)在区间1，)内是增函数，于是yf(x)在区间1，)内的最小值为h(1)e1.(2)令g(x)f(x)em(x1)，则g(x)0对任意x1，)恒成立，且发现g(1)0，g(x)exm.由(1)知当me1时，g(x)0，此时g(x)单调递增，于是g(x)g(1)0，成立；当me1时，则存在t(1，)，使得g(t)0，当x(1，t)时，g(x)0，此时g(x)ming(t)g(1)0，矛盾综上得me1，即实数m的取值范围为(，e119(15分)已知函数f(x)2xalnx，aR.(1)若函数f(x)在区间1，)内单调递增，求实数a的取值范围；(2)记函数g(x)x2f(x)2x2，若g(x)的最小值是6，求函数f(x)的解析式解(1)由题意知f(x)20在区间1，)内恒成立，所以a2x在区间1，)内恒成立令h(x)2x，x1，)，因为h(x)20.因为g(x)6x2a，当a0时，g(x)0恒成立，所以g(x)在区间(0，)内单调递增，无最小值，不合题意，所以a0.令g(x)0，则x或x(舍去)，由此可得函数g(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增，则x是函数g(x)的极小值点，也是最小值点，所以g(x)ming(x)极小值g6，解得a6，所以f(x)2x6lnx.20(15分)(2019舟山模拟)已知函数f(x)lnxx，g(x)ax22x(a0)(1)求函数f(x)在区间上的最值；(2)求函数h(x)f(x)g(x)的极值点解(1)依题意，f(x)1，令10，解得x1.因为f(1)1，f1，f(e)1e，且1e10)，h(x)2ax1，当a0，所以h(x)，其中x1，x2.因为a0，所以x10，所以当0x0；当xx2时，h(x)g(x)，求k的最大值(参考数据：ln51.6094，ln61.7918，ln(1)0.8814)解(1)f(x)5lnx，f(1)5，且f(x)，从而得到f(1)1.函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y5x1，即yx4.设直线yx4与g(x)(kR)的图象相切于点P(x0，y0)，从而可得g(x0)1，g(x0)x04，又g(x)，解得或k的值为1或9.(2)由题意知，当x(1，)时，5lnx恒成立，等价于当x(1，)时，k1)，则h(x)(x1)，记p(x)x4lnx(x1)，则p(x)10，p(x)在x(1，)上单调递增又p(5)1ln50，在x(1，)上存在唯一的实数m，且m(5,6)，使得p(m)m4lnm0，当x(1，m)时，p(x)0，即h(x)0，即h(x)0，则h(x)在x(m，)上单调递增，当x(1，)时，h(x)minh(m)，由可得lnmm4，h(m)m2，而m(5,6)，m2，又当m32时，h(m)8，p(32)21ln(32)0，m(5,32)，h(m).又kN*，k的最大值是7.22(15分)已知函数f(x)lnxmex的图象在点(1，f(1)处的切线与直线l：x(1e)y0垂直，其中e为自然对数的底数(1)求实数m的值及函数f(x)在区间1，)内的最大值(2)求证：函数f(x)有且仅有一个极值点求证：f(x)x22x1.(1)解由题意得f(x)mex，直线l：x(1e)y0的斜率为，故函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为1e，即f(1)1me1e，所以m1.当x1，)时，f(x)ex单调递减，即f(x)f(1)1e0，所以f(x)在区间1，)内单调递减，所以当x1，)时，f(x)maxf(1)ln1ee.(2)证明f(x)ex，令h(x)f(x)，则h(x)ex0，h(1)1e0，故f(x)单调递增；当x(x0，)时，h(x)0，故f(x)单调递减，所以函数f(x)在xx0处取得唯一的极大值，即函数f(x)有且仅有一个极值点由知f(x)ex在区间(0，)内为减函数，又f(1)1e0，因此存在实数x0满足方程f(x)ex0，此时f(x)在区间(0，x0)内为增函数，在区间(x0，)内为减函数，且f(x0)0，由此得到，x0lnx0.由单调性知f(x)maxf(x0)lnx0x0，又x0，故2，所以f(x)max2.又x22x1(x1)222，所以f(x)x22x1.
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