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考点规范练56离散型随机变量的均值与方差基础巩固组1.已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望E(X)=()A.32B.2C.52D.3答案A解析E(X)=135+2310+3110=32.故选A.2.若随机变量X的分布列如下表,且E(X)=2,则D(2X-3)=()X02aP16p13A.2B.3C.4D.5答案C解析由题意可得16+p+13=1,解得p=12,因为E(X)=2,所以016+212+a13=2,解得a=3.所以D(X)=(0-2)216+(2-2)212+(3-2)213=1.所以D(2X-3)=4D(X)=4.故选C.3.若B(n,p),且E()=6,D()=3,则P(=1)的值为()A.32-2B.32-10C.2-4D.2-8答案B解析E()=np=6,D()=np(1-p)=3p=12,n=12,P(=1)=C1211212=3210.4.随机变量X的分布列为X124P0.40.30.3则E(5X+4)=()A.11B.15C.35D.39答案B解析E(X)=10.4+20.3+40.3=2.2.所以E(5X+4)=5E(X)+4=15.故选B.5.(2017浙江绍兴期中)已知随机变量的分布列为下表所示,若E()=14,则D()=()-101P13abA.56B.4148C.1D.23答案B解析由E()=-113+0a+1b=14,整理得b=712,由13+a+b=1,得a=1-13-712=112,所以D()=-1-14213+0-142112+1-142712=4148.6.设一随机试验的结果只有A和A,且P(A)=p,令随机变量X=1,A出现,0,A不出现,则X的方差D(X)等于.答案p(1-p)解析X服从两点分布,故D(X)=p(1-p).7.随机变量的分布列如下:-101Pabc其中a,b,c成等差数列,若E()=13,则D()的值是.答案59解析由题意得a+b+c=12b=a+cb=13,a+c=23,又E()=-a+c=13,所以a+c=23-a+c=13a=16,c=12.故D()=E(2)-E()2=16+12-19=59.8.盒中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中随机摸出3个小球,记摸到黑球的个数为X,则P(X=2)=,E(X)=.答案155698解析P(X=2)=C51C32C83=1556,P(X=0)=C53C83=1056,P(X=1)=C52C31C83=3056,P(X=3)=C33C83=156,所以的分布列为0123P105630561556156E(X)=130+215+3156=6356=98.能力提升组9.已知X的分布列为X-101P121316且Y=aX+3,E(Y)=73,则a的值为()A.1B.2C.3D.4答案B解析E(X)=-112+013+116=-13,E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-13a+3=73,所以a=2.故选B.10.若p为非负实数,随机变量的分布列为012P12-pp12则E()的最大值为()A.1B.32C.52D.2答案B解析由0p12,012-p12,得0p12,E()=p+132.11.某抽签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签,从中任意取3支,设X为这3支签的号码中最大的一个,则X的数学期望为()A.5B.5.25C.5.8D.4.6答案B解析由题意可知,X可以取3,4,5,6,P(X=3)=1C63=120,P(X=4)=C32C63=320,P(X=5)=C42C63=310,P(X=6)=C52C63=12.由数学期望的定义可求得E(X)=3120+4320+5310+612=5.25.12.设0pp2,E(1)E(2)B.p1E(2)C.p1p2,E(1)E(2)D.p1p2,E(1)E(2)答案A解析由题意可得随机变量1,2的分布列为112Pnm+nmm+n2123PCn2Cm+n2Cm1Cn1Cm+n2Cm2Cm+n2所以E(1)=nm+n+2mm+n=2m+nm+n,E(2)=Cn2Cm+n2+2Cm1Cn1Cm+n2+3Cm2Cm+n2=3m+nm+n.所以E(1)0,所以p1p2.14.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中抽取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)=.答案65解析由题意知,X可能的取值为0,1,2,3.若X=0,观察知题图中位于大正方体内部的27个小正方体无涂漆面,则P(X=0)=27125;若X=1,观察知题图中位于各面中部的9个小正方体涂1面漆,则P(X=1)=69125=54125;若X=2,观察知题图中位于各棱中部的3个小正方体涂2面漆,则P(X=2)=123125=36125;若X=3,观察知题图中位于大正方体顶点处的8个小正方体涂3面漆,则P(X=3)=8125.故E(X)=027125+154125+236125+38125=65.15.某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏,根据他的游玩经验,每次开启一个新的游戏,这三个关卡他能够通过的概率分别为12,13,14(这个游戏的游戏规则是:如果玩者没有通过上一个关卡,他照样可以玩下一个关卡,但玩该游戏的得分会有影响).则此人在开启一个这种新的游戏时,他能够通过两个关卡的概率为,设X表示他能够通过此游戏的关卡的个数,则随机变量X的数学期望为.答案141312解析随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.又P(X=2)=1-121314+121-1314+12131-14=14,P(X=0)=1-121-131-14=14,P(X=1)=121-131-14+1-12131-14+1-121-1314=1124,P(X=3)=121314=124.所以随机变量X的分布列为X0123P14112414124随机变量X的数学期望E(X)=014+11124+214+3124=1312.16.一个口袋里装有大小相同的6个小球,其中红色、黄色、绿色的球各2个,现从中任意取出3个小球,其中恰有2个小球同颜色的概率是.若取到红球得1分,取到黄球得2分,取到绿球得3分,记变量为取出的三个小球得分之和,则的期望为.答案356解析根据题意,知任取3个小球共有C63=20(种)取法,而其中恰有2个小球同颜色的有3C22C41=12(种)取法,故所求概率为P=1220=35.由题意得,随机变量的可能取值为4,5,6,7,8,P(=4)=C22C2120=110,P(=5)=2C22C2120=15,P(=6)=C21C21C2120=25,P(=7)=2C22C2120=15,P(=8)=C22C2120=110,因此E()=4110+515+625+715+8110=6.17.为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14,16;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12,23;两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量,求的分布列与数学期望E(),方差D().解(1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0,40,80元,两人都付0元的概率为P1=1416=124,两人都付40元的概率为P2=1223=13,两人都付80元的概率为P3=1-14-121-16-23=1416=124,则两人所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=124+13+124=512.(2)设甲、乙所付费用之和为,则的可能取值为0,40,80,120,160,则P(=0)=1416=124,P(=40)=1423+1216=14,P(=80)=1416+1223+1416=512,P(=120)=1216+1423=14,P(=160)=1416=124.所以的分布列为04080120160P1241451214124E()=0124+4014+80512+12014+160124=80,D()=(0-80)2124+(40-80)214+(80-80)2512+(120-80)214+(160-80)2124=40003.18.某公司采用招考的方式引进人才,规定必须在B,C,D三个测试点中任意选取两个进行测试,若在这两个测试点都测试合格,则可参加面试,否则不被录用,已知考生在每个测试点测试结果互不影响,若考生小李和小王一起前来参加招考,小李在测试点B,C,D测试合格的概率分别为23,13,12,小王在上述三个测试点测试合格的概率都是23.(1)小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大?请说明理由;(2)假设小李选择测试点B,C进行测试,小王选择测试点B,D进行测试,记X为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和,求随机变量X的分布列及数学期望E(X).解(1)设考生小李在B,C,D各测试点测试合格记为事件B,C,D,且各个事件相互独立,由题意P(B)=23,P(C)=13,P(D)=12.若选择在B,C测试点测试,则参加面试的概率为P1=P(BC)=P(B)P(C)=2313=29;若选择在B,D测试点测试,则参加面试的概率为P2=P(BD)=P(B)P(D)=2312=13;若选择在C,D测试点测试,则参加面试的概率为P3=P(CD)=P(C)P(D)=1312=16.因为P2P1P3,所以小李选择在B,D测试点测试参加面试的可能性最大.(2)记小李在B,C测试点测试合格为事件X1,X2,记小王在B,D测试点测试合格为事件Y1,Y2,则P(X1)=P(Y1)=P(Y2)=23,P(X2)=13,且X的所有可能取值为0,1,2,3,4,所以P(X=0)=P(X1X2Y1Y2)=1323232=281;P(X=1)=P(X1X2Y1Y2+XX2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2)=3232133+234=1381;P(X=2)=P(X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2)=323133+313233=1027;P(X=3)=P(X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2)=3232133+234=2881;P(X=4)=P(X1X2Y1Y2)=13232=881.所以X的分布列为X01234P281138110272881881E(X)=0281+11381+21027+32881+4881=73.
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