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第2课时等比数列的性质学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法知识点一等比数列的性质思考在等比数列an中，aa1a9是否成立？aa3a7是否成立？aan2an2(n2，nN*)是否成立？答案a5a1q4，a9a1q8，a1a9aq8(a1q4)2a，aa1a9成立同理aa3a7成立，aan2an2也成立梳理一般地，在等比数列an中，若mnst，则有amanasat(m，n，s，tN*)若mn2k，则amana(m，n，kN*)知识点二由等比数列衍生的等比数列思考等比数列an的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是(1)3an是等比数列；(2)3an是等比数列；(3)是等比数列；(4)a2n是等比数列答案由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确梳理(1)在等比数列an中按序号从小到大取出若干项：ak1，ak2，ak3，akn，若k1，k2，k3，kn，成等差数列，那么ak1，ak2，ak3，akn，是等比数列(2)如果an，bn均为等比数列，那么数列，anbn，|an|是等比数列1anamqnm(n，mN*)，当m1时，就是ana1qn1.()2在等比数列an中，若公比q0.跟踪训练1(1)在等比数列an中，a34，a716，则a5_；(2)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_考点等比数列的通项公式题点已知数列为等比数列求通项公式答案(1)8(2)64解析(1)q73q44，q22.a5a3q534q2428.(2)设该等比数列an的公比为q，即解得a1a2an(3)(2)(n4)，当n3或4时，取得最小值6，此时取得最大值26，a1a2an的最大值为64.类型二等比数列的性质命题角度1序号的数字特征例2已知an为等比数列(1)若an0，a2a42a3a5a4a625，求a3a5；(2)若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值考点等比数列的性质题点利用项数的规律解题解(1)a2a42a3a5a4a6a2a3a5a(a3a5)225，an0，a3a50，a3a55.(2)根据等比数列的性质，得a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79，a1a2a9a10(a5a6)595，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a9a10)log39510.反思与感悟抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题跟踪训练2在各项均为正数的等比数列an中，若a3a54，则a1a2a3a4a5a6a7_.考点等比数列的性质题点等比数列各项积的问题答案128解析a3a5a4，an0，a42.a1a2a3a4a5a6a7(a1a7)(a2a6)(a3a5)a4432128.命题角度2未知量的设法技巧例3有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数考点等比数列的性质题点等比数列的性质的其他应用问题解方法一设这四个数依次为ad，a，ad，由条件得解得或所以当a4，d4时，所求的四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二设这四个数依次为a，a，aq(q0)，由条件得解得或当a8，q2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a3，q时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.反思与感悟合理地设出未知数是解决此类问题的技巧一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为ad，a，ad.若四个同号的数成等比数列，可设为，aq，aq3；四个数成等差数列，可设为a3d，ad，ad，a3d.跟踪训练3有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数考点等比数列的性质题点等比数列的性质的其他应用问题解设这四个数分别为x，y,18y,21x，则由题意得解得或故所求的四个数为3,6,12,18或，.1在等比数列an中，a28，a564，则公比q为_考点等比数列基本量的计算题点求等比数列公比答案2解析由a5a2q3，得q38，所以q2.2在等比数列an中，an0，且a1a1027，则log3a2log3a9_.考点等比数列的性质题点等比数列的性质与对数运算综合答案3解析因为a2a9a1a1027，所以log3a2log3a9log3273.3在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为_考点等比数列的性质题点等比数列各项积的问题答案8解析设这8个数组成的等比数列为an，则a11，a82.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7(a2a7)(a3a6)(a4a5)(a1a8)3238.4已知an2n3n，判断数列an是不是等比数列？考点等比数列的判定题点判断数列为等比数列解不是等比数列a121315，a2223213，a3233335，a1a3a，数列an不是等比数列1解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法2所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量3巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要一、填空题1在等比数列an中，a20158a2012，则公比q的值为_考点等比数列基本量的计算题点求等比数列公比答案2解析a20158a2012a2012q3，q38，q2.2在数列an中，a11，点(an，an1)在直线y2x上，则a4的值为_考点等比数列的判定题点判断数列为等比数列答案8解析点(an，an1)在直线y2x上，an12an，a110，an0，an是首项为1，公比为2的等比数列，a41238.3已知在各项均为正数的等比数列an中，lg(a3a8a13)6，则a1a15的值为_考点等比数列的性质题点利用项数的规律解题答案10000解析lg(a3a8a13)lga6，a106，a8102100.a1a15a10000.4在正项等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则_.考点等比数列的性质题点利用项数的规律解题答案解析设公比为q，则由等比数列an各项为正数且an1an知0q0，q0，q1.q2(1)232.8设数列an为公比q1的等比数列，若a4，a5是方程4x28x30的两根，则a6a7_.考点等比数列的性质题点利用项数的规律解题答案18解析由题意得a4，a5，q3.a6a7(a4a5)q23218.9已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2_.考点等比中项题点利用等比中项解题答案6解析由题意知，a3a14，a4a16.a1，a3，a4成等比数列，aa1a4，(a14)2(a16)a1，解得a18，a26.10在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44_.考点等比数列的性质题点等比数列各项积的问题答案1024解析设等比数列an的公比为q，a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61，a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548，得q488，q162，a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42q1q43aq166aq6q160(aq6)(q16)102101024.11已知在等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，则b5b9_.考点等比数列的性质题点利用项数的规律解题答案8解析由等比数列的性质得a3a11a，a4a7.a70，a74，b7a74.再由等差数列的性质知b5b92b78.二、解答题12等差数列an的前n项和为Sn，已知S3a，且S1，S2，S4成等比数列，求an的通项公式考点等比数列基本量的计算题点利用基本量法解题解设an的公差为d.由S3a，得3a2a，故a20或a23.由S1，S2，S4成等比数列，得SS1S4.又S1a2d，S22a2d，S44a22d，故(2a2d)2(a2d)(4a22d)若a20，则d22d2，所以d0，此时Sn0，不合题意；若a23，则(6d)2(3d)(122d)，解得d0或d2.因此an的通项公式为an3或an2n1，nN*.13在等比数列an(nN*)中，a11，公比q0.设bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求bn的前n项和Sn及an的通项an；(3)试比较an与Sn的大小考点等比数列的性质题点等比数列的性质与对数运算综合(1)证明因为bnlog2an，所以bn1bnlog2an1log2anlog2log2q(q0)为常数，所以数列bn为等差数列且公差dlog2q.(2)解因为b1b3b56，所以(b1b5)b32b3b33b36，即b32.又因为a11，所以b1log2a10，又因为b1b3b50，所以b50，即即解得因此Sn4n(1).又因为dlog2q1，所以q，b1log2a14，即a116，所以an25n(nN*)(3)解由(2)知，an25n0，当n9时，Sn0，所以当n9时，anSn.又因为a116，a28，a34，a42，a51，a6，a7，a8，S14，S27，S39，S410，S510，S69，S77，S84，所以当n3,4,5,6,7,8时，an0，且a5a2n522n(n3)，则当n3时，log2a1log2a3log2a2n1_.考点等比数列的性质题点等比数列的性质与对数运算综合答案n2解析log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)log2(a1a2n1)log2(a5a2n5)log2n2.15在等差数列an中，公差d0，a1，a2，a4成等比数列，已知数列a1，a3，也成等比数列，求数列kn的通项公式考点等比数列基本量的计算题点利用基本量法解题解由题意得aa1a4，即(a1d)2a1(a13d)，得d(da1)0，又d0，a1d.又a1，a3，成等比数列，该数列的公比q3，a13n1.又a1(kn1)dkna1，数列kn的通项公式为kn3n1.
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