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专题七 选考内容第一讲 选修44坐标系与参数方程考情分析 1坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是曲线的参数方程与极坐标方程的综合应用2全国卷对此部分的考查以解答题的形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用考点一极坐标方程及其应用典例感悟典例(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.方法技巧1求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程熟练掌握互换公式是解决问题的关键2解决极坐标交点问题的一般思路(1)将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其转化为极坐标；(2)将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出交点的极坐标演练冲关(2018太原模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程解：(1)cos1，cos cossin sin1.又xy1，即曲线C的直角坐标方程为xy20，令y0，则x2；令x0，则y.M(2,0)，N.M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为.(2)M，N连线的中点P的直角坐标为，P的极角为，直线OP的极坐标方程为(R)考点二参数方程及其应用典例感悟典例(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解(1)曲线C的直角坐标方程为1.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.方法技巧参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解演练冲关(2018广东广州花都区二模)已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(为参数)(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2，设P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值解：(1)直线l的普通方程为y(x1)，曲线C1的普通方程为x2y21，由解得l与C1的交点坐标分别为(1,0)，故|AB| 1.(2)由题意得，曲线C2的参数方程为(为参数)，则点P的坐标是，所以点P到直线l的距离d，故当sin1时，d取得最小值，最小值为.考点三极坐标方程与参数方程的综合应用典例感悟典例(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )0，M为l3与C的交点，求M的极径解(1)消去参数t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y(x2)设P(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)联立得cos sin 2(cos sin )故tan ，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交点M的极径为.方法技巧极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长可先求出直角坐标系方程，然后求解(2)判断位置关系先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题演练冲关(2018沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的直角坐标方程为x2(y2)24.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为，0.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)设A，B分别为射线l与曲线C1，C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值解：(1)由曲线C1的参数方程(t为参数)，消去参数t得x2(y1)21，即x2y22y0，曲线C1的极坐标方程为2sin .由曲线C2的直角坐标方程x2(y2)24，得x2y24y0，曲线C2的极坐标方程为4sin .(2)联立得A(2sin ，)，|OA|2sin ，联立得B(4sin ，)，|OB|4sin ，|AB|OB|OA|2sin ，00)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：cos.(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为，求t的值解：(1)因为直线l的极坐标方程为cos，即cos sin 2，所以直线l的直角坐标方程为xy20.因为(为参数，t0)，所以曲线C的普通方程为y21(t0)，由消去x得，(1t2)y24y4t20，所以164(1t2)(4t2)0，解得0t0，t.5(2018重庆模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos3.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若点M在曲线C1上，点N在曲线C2上，求|MN|的最小值及此时点M的直角坐标解：(1)由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为1，由cos3，得cos sin 6，曲线C2的直角坐标方程为xy60.(2)设点M的坐标为(3cos ，sin )，点M到直线xy60的距离d，当sin1时，|MN|有最小值，最小值为3，此时点M的直角坐标为.6(2018昆明模拟)在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l过点A(2,1)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为2sin ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若|PQ|2|AP|AQ|，求直线l的斜率k.解：(1)由题意知直线l的参数方程为(t为参数)，因为2sin ，所以22sin ，把ysin ，x2y22代入得x2y22y，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2(4cos )t30，由(4cos )2430，得cos2，由根与系数的关系，得t1t24cos ，t1t23.不妨令|AP|t1|，|AQ|t2|，所以|PQ|t1t2|，因为|PQ|2|AP|AQ|，所以(t1t2)2|t1|t2|，则(t1t2)25t1t2，得(4cos )253，解得cos2，满足cos2，所以sin2，tan2，所以ktan .7(2019届高三湘东五校联考)平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l过点M(2，4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin22cos .(1)写出直线l的参数方程(为常数)和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|MB|40，求倾斜角的值解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，sin22cos ，即2sin22cos ，将xcos ，ysin 代入得曲线C的直角坐标方程为y22x.(2)把直线l的参数方程代入y22x，得t2sin2(2cos 8sin )t200，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程根与系数的关系得，t1t2，t1t2，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|MB|t1t2|40，得或.又(2cos 8sin )280sin20，所以.8(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解：(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tan k，则l的方程为ykx.l与O交于两点需满足1，解得k1，即或.综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.第二讲 选修45不等式选讲考情分析1不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是绝对值不等式的解法以及不等式的证明，其中绝对值不等式的解法以及绝对值不等式与函数综合问题的求解是命题的热点2该部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考时应注意分类讨论思想的应用 考点一绝对值不等式的解法典例感悟典例(2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)当x1时，由2x40，解得2x2时，由2x60，解得2x3，故f(x)0的解集为x|2x3(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当x2时等号成立故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，)方法技巧绝对值不等式的5种常用解法(1)基本性质法：对aR，|x|aaxaxa.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解演练冲关(2019届高三沈阳模拟)已知函数f(x)|xa|3x，其中aR.(1)当a1时，求不等式f(x)3x|2x1|的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值解：(1)当a1时，f(x)|x1|3x，由f(x)3x|2x1|，得|x1|2x1|0，当x1时，x1(2x1)0，得x2，无解；当x1时，1x(2x1)0，得x0；当x时，1x(2x1)0，得2x0时，不等式的解集为.由1，得a2.当a0时，不等式的解集为，不合题意当a0时，不等式的解集为.由1，得a4.综上，a2或a4.法二：当xa时，f(x)4xa，函数f(x)为增函数，由不等式f(x)0的解集为x|x1得，f(1)4(1)a0，得a4.当x0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24，当且仅当ab1时取等号(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2，当且仅当ab1时取等号方法技巧证明不等式的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法(2)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法演练冲关设不等式|x1|x1|1.解：(1)由已知，令f(x)|x1|x1|由|f(x)|2得1x1，即Ax|1x1，只需证|1abc|abc|，只需证1a2b2c2a2b2c2，只需证1a2b2c2(1a2b2)，只需证(1a2b2)(1c2)0，由a，b，cA，得1ab1，c20恒成立综上，1.考点三含绝对值不等式的恒成立问题典例感悟典例(2018全国卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0,1)时|x1|ax1|x成立等价于当x(0,1)时|ax1|0，则|ax1|1的解集为，所以1，故0.综上可得，不等式的解集为.(2)若对任意的tR，sR，都有g(s)f(t)，可得g(x)minf(x)max.函数f(x)|2x1|2x3|2x1(2x3)|4，f(x)max4.g(x)|x1|xa|x1(xa)|a1|，故g(x)min|a1|.|a1|4，解得a3或a5.故a的取值范围为a|a3或a51(2018广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)|xm|x|，mN*，存在实数x使f(x)2成立(1)求实数m的值；(2)若1，1，f()f()4，求证：3.解：(1)因为|xm|x|(xm)x|m|.所以要使不等式|xm|x|2有解，则|m|2，解得2m0)(1)当a1时，解不等式f(x)4；(2)若f(x)4，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)|x|2|x1|当x0时，由23x4，得x1时，由3x24，得1x2.综上，不等式f(x)4的解集为.(2)f(x)|x|2|xa|可见，f(x)在(，a上单调递减，在(a，)上单调递增当xa时，f(x)取得最小值a.若f(x)4恒成立，则应a4.所以a的取值范围为4，)3(2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值解：(1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5.4(2018开封模拟)已知函数f(x)|xm|，m0.(1)当m1时，求解不等式f(x)f(x)2x；(2)若不等式f(x)f(2x)1的解集非空，求m的取值范围解：(1)设F(x)f(x)f(x)|x1|x1|由F(x)G(x)解得x|x2或x0(2)f(x)f(2x)|xm|2xm|，m0.设g(x)f(x)f(2x)，当xm时，g(x)mxm2x2m3x，则g(x)m；当mx时，g(x)xmm2xx，则g(x)m；当x时，g(x)xm2xm3x2m，则g(x).则g(x)的值域为，不等式f(x)f(2x)，解得m2，由于m1时，由2x15，得x2，故1x2；当2x1时，由35，得xR，故2x1；当x2时，由2x15，得x3，故3x0，0，t213t.7(2018福州模拟)设函数f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)3f(x1)的解集；(2)已知关于x的不等式f(x)f(x1)|xa|的解集为M，若M，求实数a的取值范围解：(1)因为f(x)3f(x1)，所以|x1|3|x2|，即|x1|x2|3，则或或解得0x1或1x2或2x3，所以0x3，故不等式f(x)3f(x1)的解集为0,3(2) 因为M，所以当x时，f(x)f(x1)|xa|恒成立，而f(x)f(x1)|xa|x1|x|xa|0|xa|x|x1|，因为x，所以|xa|1，即x1ax1，由题意，知x1ax1对于x恒成立，所以a2，故实数a的取值范围为.8(2018郑州模拟)已知f(x)|2x1|ax5|(0a5)(1)当a1时，求不等式f(x)9的解集；(2)若函数yf(x)的最小值为4，求实数a的值解：(1)当a1时，f(x)|2x1|x5|f(x)9或或解得x1或x5，即所求不等式的解集为(，15，)(2)0a1，则f(x)当x时，f(x)单调递增，f(x)的最小值在上取得，在上，当0a2时，f(x)单调递增，当2a5时，f(x)单调递减，或解得a2.
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